全国版2019版高考数学一轮复习第7章立体几何第5讲直线平面垂直的判定及性质学案.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 5 讲 直线、平面垂直的判定及性质 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 直线与平面垂直 1直线和平面垂直的定义 直线 l 与平面 内的 任意一条 直线都垂直，就说直线 l 与平面 互相垂直 2直线与平面垂直的判定定理 3直线与平面垂直的性质定理 考点 2 平面与平面垂直 1平面与平面垂直的判定定理 =【 ;精品教育资源文库 】 = 2平面与平面垂直的性质定理 必会结论 直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线 (2)若两条平行线中的一条垂直于一 个平面，则另一条也垂直于这个平面 (3)垂直于

2、同一条直线的两个平面平行 (4)过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 (5)过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)垂直于同一个平面的两平面平行 ( ) (2)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 ( ) (3)若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线，则 .( ) (4)二面角是指两个相交平面构成 的图形 ( ) (5)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) =【 ;精品教育资源文库 】 = 2 2018 浙江模拟 设 m

3、， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题正确的是 ( ) A若 m n， n ，则 m B若 m ， ，则 m C若 m ， n ， n ，则 m D若 m n， n ， ，则 m 答案 C 解析 对于选项 A， B， D，均能举出 m 的反例；对于选项 C，若 m ， n ，则m n，又 n ， m .故选 C. 3 课本改编 若 m， n 是两条不同的直线， ， ， 是三个不同的平面，则下列命题正确的是 ( ) A若 m? ， ，则 m B若 m， n， m n，则 C若 m ， m ，则 D若 ， ，则 答案 C 解析 A 中 m 与 的位置关系不确定，故错误； B 中

4、 ， 可能平行或相交，故错误；由面面垂直的判定定理可知 C 正确； D 中 ， 平行或相交 ，所以 D 错误故选 C. 4在如图所示的四个正方体中，能得出 AB CD 的是 ( ) 答案 A 解析 A 中， CD AB； B 中， AB 与 CD 成 60 角； C 中， AB 与 CD 成 45 角； D 中， AB与 CD 夹角的正切值为 2.故选 A. 板块二 典例探究 考向突破 考向 有关垂直关系的判断 例 1 2017 广州模拟 设 m， n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是 ( ) A若 ， m? ， n? ，则 m n B若 m ， m n， n ，则

5、 C若 m n， m? ， n? ，则 D若 ， m? ， n? ，则 m n 答案 B 解析 若 ， m? ， n? ，则 m 与 n 相交、平行或异面，故 A 错误； =【 ;精品教育资源文库 】 = m ， m n， n ，又 n ， ，故 B 正确； 若 m n， m? ， n? ，则 与 的位置关系不确定，故 C 错误； 若 ， m? ， n? ，则 m n 或 m， n 异面，故 D 错误故选 B. 触类旁通 判断垂直关系需注意的问题 (1)作图要熟练，借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准 (2)善于寻找反例，若存在反例，结论就被驳倒了 (3)要思考完整，反复验证所有可能的情

6、况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明 【变式训练 1】 2018 北京东城模拟 已知 m 和 n 是两条不同的直线， 和 是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出 m 的是 ( ) A ，且 m? B m n，且 n C ，且 m D m n，且 n 答案 B 解析 因为 ， m? ，则 m， 的位置关系不确定，可能平行、相交、 m 在 面内，故 A 错误；由线面垂直的性质定理可知 B 正确；若 ， m ，则 m， 的位置关系也不确定，故 C 错误；若 m n， n ，则 m， 的位置关系也不确定，故 D 错误故选B. 考向 直线与平面垂直的判定 与性质 命题角度 1 利用线线

7、垂直证明线面垂直 例 2 2018 湖北宜昌模拟 在正三棱柱 ABC A1B1C1中， BC 2BB1， E， F， M 分别为 A1C1， AB1， BC 的中点 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求证： EF 平面 BB1C1C； (2)求证： EF 平面 AB1M. 证明 (1)连接 A1B， BC1. 因为 E， F 分别为 A1C1， AB1的中点， 所以 F 为 A1B 的中点，所以 EF BC1. 因为 BC1?平面 BB1C1C， EF?平面 BB1C1C， 所以 EF 平面 BB1C1C. (2)在矩形 BCC1B1， BC 2BB1， 所以 tan CBC1 22 ，

8、 tan B1MB 2. 所以 tan CBC1tan B1MB 1. 所以 CBC1 B1MB 2 .所以 BC1 B1M. 因为 EF BC1，所以 EF B1M. 在正三棱柱 ABC A1B1C1中，底面 ABC 平面 BB1C1C. 因为 M 为 BC 的中点， AB AC，所以 AM BC. 因为平面 ABC 平面 BB1C1C BC， 所以 AM 平面 BB1C1C. 因为 BC1?平面 BB1C1C，所以 AM BC1 因为 EF BC1，所以 EF AM. 又因为 AM B1M M， AM?平面 AB1M， B1M?平面 AB1M，所以 EF 平面 AB1M. 命题角度 2 利

9、用线面垂直证明线线垂直 例 3 2017 江苏高考 如图，在三棱锥 A BCD 中， AB AD， BC BD，平面 ABD 平面 BCD，点 E， F(E 与 A， D 不重合 )分别在棱 AD， BD 上，且 EF AD. =【 ;精品教育资源文库 】 = 求证： (1)EF 平面 ABC； (2)AD AC. 证明 (1)在平面 ABD 内，因为 AB AD， EF AD， 所以 EF AB. 又因为 EF?平面 ABC， AB?平面 ABC， 所以 EF 平面 ABC. (2)因为平面 ABD 平面 BCD， 平面 ABD 平面 BCD BD， BC?平面 BCD， BC BD， 所以

10、 BC 平面 ABD. 因为 AD?平面 ABD，所以 BC AD. 又 AB AD， BC AB B， AB?平面 ABC， BC?平面 ABC， 所以 AD 平面 ABC. 又因为 AC?平面 ABC， 所以 AD AC. 触类旁通 证明线面垂直的常用方法及关键 (1)证明直线和平面垂直的常用方法有： 判定定理； 垂直于平面的传递性 (a b， a ?b )； 面面平行的性质 (a ， ?a )； 面面垂直的性质 (2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质 考向 面面垂直的判定与性质 例 4 2017 全国卷 如图，在四棱锥 P ABCD 中， AB CD，

11、且 BAP CDP 90. (1)证明：平面 PAB 平面 PAD； (2)若 PA PD AB DC， APD 90 ，且四棱锥 P ABCD 的体积为 83，求该四棱锥的侧面积 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)证明 ：由已知 BAP CDP 90 ， 得 AB AP， CD PD. 由于 AB CD，故 AB PD，从而 AB 平面 PAD. 又 AB?平面 PAB， 所以平面 PAB 平面 PAD. (2)如图，在平面 PAD 内作 PE AD，垂足为 E. 由 (1)知， AB 平面 PAD，故 AB PE， AB AD， 可得 PE 平面 ABCD. 设 AB x，则由已

12、知可得 AD 2x， PE 22 x. 故四棱锥 P ABCD 的体积 VP ABCD 13AB AD PE 13x3. 由题设得 13x3 83，故 x 2. 从而结合已知可得 PA PD AB DC 2， AD BC 2 2， PB PC 2 2. 可得四棱锥 P ABCD 的侧面积为 12PA PD12PA AB12PD DC12BC2sin60 6 2 3. 触类旁通 判定面面垂直的方法 (1)面面垂直的定义； (2)面面垂直的判定定理 (a ， a? ? ) 【变式训练 2】 如图，正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直， AB CD， AB=【 ;精品教育资源文库

13、】 = BC， DC BC 12AB 1，点 M 在线段 EC 上 (1)证明：平面 BDM 平面 ADEF； (2)若 AE 平面 MDB，求三棱锥 E BDM 的体积 解 (1)证明： DC BC 1， DC BC， BD 2. 在梯形 ABCD 中， AD 2， AB 2， AD2 BD2 AB2， ADB 90. AD BD. 又平面 ADEF 平面 ABCD， 平面 ADEF 平面 ABCD AD， BD 平面 ADEF. 又 BD?平面 BDM， 平面 BDM 平面 ADEF. (2)如图，连接 AC， AC BD O，连接 MO， 平面 EAC 平面 MBD MO， AE 平面

14、MDB， AE?平面 EAC， AE OM. 又 AB CD， EMMC AOOC ABCD 2， S EDM 23S EDC 23 121 2 23 . ADEF 为正方形， ED AD. =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 平面 ADEF 平面 ADCB， ED 平面 ABCD， BC?平面 ABCD， DE BC. AB CD， AB BC， BC CD. 又 ED DC D， BC 平面 EDC. VE BDM VB EDM 13S EDM BC 13 23 1 29 . 核心规律 转化思想：垂直关系的转化 在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样 的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决 满分策略 1.在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时，考生易忽视说明平面内的两条直线相交，而导致被扣分，这一点在证明中要注意口诀：线不在多，重在相交 2.面面垂直的性质定理是作辅助