全国版2019版高考数学一轮复习第11章算法初步复数推理与证明第4讲直接证明与间接证明增分练.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 4 讲 直接证明与间接证明 板块四 模拟演练 提能增分 A 级 基础达标 1 2018 绵阳周测 设 t a 2b， s a b2 1，则下列关于 t 和 s 的大小关系中正确的是 ( ) A ts B t s C tabb2 C.1aab 答案 B 解析 a2 ab a(a b)， a0， a2ab. 又 ab b2 b(a b)0， abb2， 由 得 a2abb2. 3下列不等式一定成立的是 ( ) A lg ? ?x2 14 lg x(x0) B sinx 1sinx2(x k ， k Z) C x2 12| x|(x R) D. 1x2 10 时

2、， x2 142 x 12 x 所以 lg ? ?x2 14 lg x，故 A 不正确； 对于 B，当 x k 时， sinx 正负不定，不能用基本不等式，所以 B 不正确； 对于 D，当 x 0 时， 1x2 1 1，故 D 不正确 由基本不等式可知选项 C 正确 4若 a0， b0， a b 1，则下列不等式不成立的是 ( ) A a2 b2 12 B ab 14 =【 ;精品教育资源文库 】 = C.1a 1b4 D. a b1 答案 D 解析 a2 b2 (a b)2 2ab 1 2ab1 2 ? ?a b2 2 12， A 成立； ab ? ?a b2 2 14， B 成立 又 1a

3、 1b a ba a bb 2 ba ab2 2 ba ab 4， C 成立， 应选 D. 5 2018 邹平期末 若 abc，则使 1a b 1b c ka c恒成立的最大的正整数 k为 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 答案 C 解析 abc， a b0， b c0， a c0， 且 a c a b b c. 又 a ca b a cb c a b b ca b a b b cb c 2 b ca b a bb c2 2 4， k a ca b a cb c， k4 ， 故 k 的最大整数为 4.故选 C. 6 2018 邯郸模拟 设 a， b 是两个实数，给出下列条件： a b 1

4、； a b 2； a b 2； a2 b2 2； ab 1.其中能推出： “ a， b 中至少有一个大于 1” 的条件是 _ (填序号 ) 答案 解析 若 a 12， b 23，则 a b 1， 但 a 1， b 1，故 推不出； 若 a b 1，则 a b 2，故 推不出； 若 a 2， b 3，则 a2 b2 2，故 推不出； 若 a 2， b 3，则 ab 1，故 推不出； 对于 ，反证法：假设 a1 且 b1 ，则 a b2 与 a b 2 矛盾， 因此假设不成立，故 a， b 中至少有一个大于 1. 7已知 a b c 0，求证： a3 a2c b2c abc b3 0. 证明 运用

5、 “ 立方和 ” 公式证明： a3 b3 (a b)( a2 ab b2)， 原式 a3 b3 (a2c b2c abc) (a b)( a2 ab b2) c(a2 ab b2) (a b c)( a2 ab b2) a b c 0， 原式 0， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即当 a b c 0 时， a3 a2c b2c abc b3 0. 8设 f(x) ax2 bx c(a0) ，若函数 f(x 1)与 f(x)的图象关于 y 轴对称，求证：f? ?x 12 为偶函数 证明 由函数 f(x 1)与 f(x)的图象关于 y 轴对称，可知 f(x 1) f( x)将 x 换成 x 1

6、2代入上式可得 f? ?x 12 1 f? ? ? ?x 12 ， 即 f? ?x 12 f? ? x 12 ， 由偶函数的定义可知 f? ?x 12 为偶函数 9等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a1 1 2， S3 9 3 2. (1)求数列 an的通项 an与前 n 项和 Sn； (2)设 bn Snn(n N*)，求证：数列 bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列 解 (1)由已知得 ? a1 2 1，3a1 3d 9 3 2，所以 d 2，故 an 2n 1 2， Sn n(n 2) (2)证明：由 (1)，得 bn Snn n 2.假设数列 bn中存在三项 bp， bq，

7、br(p， q， r 互不相等 )成等比数列， 则 b2q bpbr，即 (q 2)2 (p 2)(r 2)， 所 以 (q2 pr) 2(2q p r) 0. 因为 p， q， r N*，所以 ? q2 pr 0，2q p r 0， 所以 ? ?p r2 2 pr?(p r)2 0. 所以 p r，这与 p r 矛盾，所以数列 bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列 10已知函数 f(x) ax x 2x 1(a1) (1)证明：函数 f(x)在 ( 1， ) 上为增函数； (2)用反证法证明：方程 f(x) 0 没有负数根 =【 ;精品教育资源文库 】 = B 级 知能提升 1已知 x，

8、 y R， M x2 y2 1， N x y xy，则 M 与 N 的大小关系是 ( ) A M N B M N C M N D不能确定 答案 A =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 M N x2 y2 1 (x y xy) 12(x2 y2 2xy) (x2 2x 1) (y2 2y 1) 12(x y)2 (x 1)2 (y 1)20. 故 M N. 2已知实数 m， n 满足 m n0， m n 1，则 1m 1n的最大值为 _ 答案 4 解析 m n0， m n 1， m0， b0,2ca b，求证： (1)c2ab； (2)c c2 ab0， b0,2ca b2 ab， c ab

9、， 平方得 c2ab. (2)要证 c c2 ab0， f(1)0，求证： (1)a0 且 20， f(1)0， c0,3a 2b c0. 由 a b c 0，消去 b 得 ac0； 再由条件 a b c 0，消去 c 得 a b0， 20， 方程 f(x) 0 有两个实根 =【 ;精品教育资源文库 】 = 设方程的两根为 x1， x2，由根与系数的关系得 x1 x2 2b3a0， x1x2 c3a0，故两根为正 又 (x1 1) (x2 1) 2b3a 20，故两根均小于 1，命题得证 解法二： 4b2 12ac 4(a2 c2 ac) 4? ? ?a c2 2 3c24 0， 由 (1)知

10、 20， f(1)0， f(x) 0 在 (0,1)内有两个实根 5 2015 陕西高考 设 fn(x)是等比数列 1， x， x2， ? ， xn的各项和，其中 x0， n N，n2. (1)证明：函数 Fn(x) fn(x) 2 在 ? ?12， 1 内有且仅有一个零点 (记为 xn)，且 xn 12 12xn 1n ； (2)设有一个与上述等比数 列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为 gn(x)，比较 fn(x)和 gn(x)的大小，并加以证明 解 (1)证明： Fn(x) fn(x) 2 1 x x2 ? xn 2， 则 Fn(1) n 10， Fn? ?12 1 12

11、? ?12 2 ? ? ?12 n 21 ? ?12 n 11 12 2 12n0， 故 Fn(x)在 ? ?12， 1 内单调递增， 所以 Fn(x)在 ? ?12， 1 内有且仅有一个零点 xn. 因为 xn是 Fn(x)的零点，所以 Fn(xn) 0， 即 1 xn 1n1 xn 2 0，故 xn1212xn 1n . (2)由题设， gn(x) n xn2 . 设 h(x) fn(x) gn(x) 1 x x2 ? xn n xn2 ， x0. 当 x 1 时， fn(x) gn(x) 当 x1 时， h( x) 1 2x ? nxn 1 n n xn 12 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 若 0xn 1 2xn 1 ? nxn 1 n n2 xn 1 n n2 xn 1 n n2 xn 1 0. 若 x1， h( x)xn 1 2xn 1 ? nxn 1 n n2 xn 1 n n2 xn 1 n n2 xn 1 0. 所以 h(x)在 (0,1)上递增，在 (1， ) 上递减， 所以 h(x)h(1) 0，即 fn(x)gn(x) 综上所述，当 x 1 时， fn(x) gn(x)；当 x1 时， fn(x)gn(x)