第六章IIR数字滤波器的设计HD8课件.ppt

1、主要内容：主要内容：6.1数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念6.2 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计6.3用脉冲响应不变法设计用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器6.4用双线性变换法设计用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器第一节第一节 数字滤波器的基本概念数字滤波器的基本概念一、数字滤波器基本概念一、数字滤波器基本概念数字滤波器数字滤波器: 输入输出均为数字信号，经过一定运算输入输出均为数字信号，经过一定运算 关系改变输入信号所含频率成分的相对关系改变输入信号所含频率成分的相对 比例或者滤除某些频率成分的器件。比例或者滤除某些频率成分的器件。优点：优点：

2、 精度高，稳定，体积小，重量轻，灵活，不精度高，稳定，体积小，重量轻，灵活，不 要求阻抗匹配，能实现模拟滤波器要求阻抗匹配，能实现模拟滤波器(AF)无法无法 实现的特殊滤波功能。实现的特殊滤波功能。1. 数字滤波器的分类（回忆）数字滤波器的分类（回忆）2.数字滤波器的技术要求数字滤波器的技术要求3. 数字滤波器设计方法概述数字滤波器设计方法概述1、数字滤波器的分类、数字滤波器的分类 经典滤波器经典滤波器：即一般滤波器（输入信号中有用的频即一般滤波器（输入信号中有用的频 率成分和希望滤除的频率成分各占有率成分和希望滤除的频率成分各占有 不同的频带，通过以合适的选频滤波不同的频带，通过以合适的选频

3、滤波 器达到目的）器达到目的） 现代滤波器现代滤波器：如维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适如维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适 应滤波器等最佳滤波器（按随机信号应滤波器等最佳滤波器（按随机信号 内部的统计分布规律，从干扰中最佳内部的统计分布规律，从干扰中最佳 提取信号）提取信号）经典滤波器的几种类型：经典滤波器的几种类型： 数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应数字滤波器从实现的网络结构或者从单位脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应分类，可以分成无限脉冲响应(IIR)滤波器和有限脉冲滤波器和有限脉冲响应响应(FIR)滤波器。它们的系统函数分别为：滤波器。它们的系统函数分别为：IIR滤波器滤波器 F

4、IR滤波器滤波器 N1iiiM0iiiza1zb)z(H 1N0nnz )n(h)z(H用一个因果稳定的离散用一个因果稳定的离散LSI系统的系统的系统函数系统函数H(z)逼近逼近此性能指标此性能指标按设计任务，按设计任务，确定滤波器性能要求确定滤波器性能要求，制定技术指，制定技术指标标利用有限精度算法利用有限精度算法实现此系统函数实现此系统函数：如运算结构、：如运算结构、字长的选择等字长的选择等实际技术实现：软件法、硬件法或实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法芯片法2、数字滤波器的设计过程、数字滤波器的设计过程3、数字滤波器的技术要求数字滤波器的技术要求 我们通常用的数字滤波器一般属于选

5、频滤波器。假我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的传输函数设数字滤波器的传输函数H(e j)用下式表示：用下式表示：)( jj j e)H(e)H(e 幅频特性幅频特性|H(ej )|： 信号通过滤波器后的各频率成分衰减情况。信号通过滤波器后的各频率成分衰减情况。相频特性相频特性 ( )：各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。n通带：通带： 1| )(|1|1 jpeHan阻带：阻带：2| )(|aeHjs n过渡带：过渡带：sp| ：阻带截止频率：阻带截止频率：通带截止频率：通带截止频率：通带容限：通带容限：阻带容限：阻带容限

6、p s 1a2a 通带内和阻带内允许的衰减一般用通带内和阻带内允许的衰减一般用dB数表示，通带数表示，通带内允许的最大衰减用内允许的最大衰减用 p表示，阻带内允许的最小衰减表示，阻带内允许的最小衰减用用 s表示，表示， p和和 s分别定义为：分别定义为：dBeH20dBeHeH20pp0jjjp)(lg)()(lg dBeH20dBeHeH20ss0jjjs)(lg)()(lg 通通带带截截止止频频率率。为为，为为我我们们称称此此时时的的，时时，当当3dBdB 0.707eHccppjp 322)( 上式中，上式中， 归一化为归一化为1。| )(|0jeH 用一因果稳定的离散用一因果稳定的离散

7、LSI系统逼近给定的性能要求：系统逼近给定的性能要求：s s平面逼近：模拟滤波器的设计平面逼近：模拟滤波器的设计z z平面逼近：数字滤波器的设计平面逼近：数字滤波器的设计4、IIR数字滤波器的设计方法数字滤波器的设计方法 先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器 N1iiiM0iiiza1zb)z(H 即为求滤波器的各系数：即为求滤波器的各系数：iiba 和和第二节第二节 模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计 模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们选择，如：熟，且有若干典型的模拟滤波器供我们

8、选择，如： 1) 巴特沃斯巴特沃斯(Butterworth)滤波器滤波器 2) 切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)滤波器滤波器 3) 椭圆椭圆(Ellipse)滤波器滤波器 4) 贝塞尔贝塞尔(Bessel)滤波器滤波器 这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。和图表供设计人员使用。1、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法、模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法模拟低通滤波器的设计指标有模拟低通滤波器的设计指标有 p和和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率，分别称为通带截止频率和阻带截止频率， p是通带是通带(0p)中的最大衰减系数中

9、的最大衰减系数 s是阻带是阻带s的最小衰减系数的最小衰减系数dBeH20dBeHeH20pp0jajajap)(lg)()(lg dBeH20dBeHeH20ss0jajajas)(lg)()(lg c称为称为3dB截止频率：截止频率：707022jHca.)( dB3jH20ca )(lg 滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函滤波器的技术指标给定后，需要设计一个传输函数数Ha(s)，希望其希望其幅度平方函数幅度平方函数满足给定的指标满足给定的指标 p和和 s，一般滤波器的单位冲激响应为实数，有：一般滤波器的单位冲激响应为实数，有：jsaaaaasHsHjHjHjH)()()()()(*

10、22、巴特沃斯低通滤波器的设计方法、巴特沃斯低通滤波器的设计方法(1) 巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2 用下式表示：用下式表示：NcajH2211)( N越大，越接近理想滤波器，越大，越接近理想滤波器，N越大，滤波器的实现也越复杂。越大，滤波器的实现也越复杂。特点：特点：;c; 0(2)幅度平方函数极点分布及幅度平方函数极点分布及Ha(s)的构成的构成将幅度平方函数将幅度平方函数|Ha(j)|2写成写成s的函数：的函数：21( )()1()aaNcHs Hssj上式表明，极点上式表明，极点sk用下式表示：用下式表示：1121()222( 1)(

11、)kjNNkccsje 为形成稳定的滤波器，为形成稳定的滤波器，2N个极点中个极点中只取只取s平面左半平面的平面左半平面的N个极点构成个极点构成Ha(s)，而右半平面的而右半平面的N个极点构成个极点构成Ha(-s)。Ha(s)的表示式为的表示式为10( )()NcaNkkHsss设设N=3，极点有极点有6个，它们分别为个，它们分别为23012321334135jccjcjccjcsessesesse 取取s平面左半平面的极点平面左半平面的极点s0,s1,s2组成组成Ha(s)：)()()(32323 jcjcccaesesssH (3) 频率归一化频率归一化 由于各滤波器的幅频特性不同，为使设

12、计统一，将所有由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。这里采用对的频率归一化。这里采用对3dB截止频率截止频率c归一化，归一归一化，归一化后的化后的Ha(s)表示为表示为 101( )()aNkkccHsss式中，式中，s/c=j/c。 令令=/c，称为归一化频率称为归一化频率；令；令 p = j= j/c ， p =s/c称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输称为归一化复变量，这样归一化巴特沃斯的传输函数为函数为101( )()aNkkHppp式中，式中，pk为归一化极点，用下式表示：为归一化极点，用下式表示：121()22,0,1,1kjNkpekN带入带入Ha(

13、p)表达式，得到的表达式，得到的Ha(p)的分母是的分母是p的的N阶多项式，阶多项式，用下式表示：用下式表示：NNNappbpbbpH11101)(归一化的传输函数系数归一化的传输函数系数Ha (p) 的系数以及极点可以查表得到。的系数以及极点可以查表得到。表表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数巴特沃斯归一化低通滤波器参数 (4)阶数阶数N的确定的确定 阶数阶数N的大小主要影响幅度特性下降的速度，它应该的大小主要影响幅度特性下降的速度，它应该由技术指标确定。将由技术指标确定。将 = p代入幅度平方函数中代入幅度平方函数中:2)(lg10)(lg20ppjapjapeHeH NcppajH

14、2211)( 102101pNcp 将将 = s代入幅度平方函数中代入幅度平方函数中:2)(lg10)(lg20ssjasjaseHeH NcssajH2211)( 102101sNcs 102101pNcp 102101sNcs 1101101010 spNsp ,pssp 令：令：110110k1010sppsspsplgklgN用上式求出的用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。的最小整数。 关于关于3dB截止频率截止频率c，如果技术指标中没有给出，如果技术指标中没有给出，可以按照下面两式求出：可以按照下面两式求出：102101pNcp 102

15、101sNcs Npcp2110)110( Nscs2110)110( 通常是用一个算出通常是用一个算出c，然后用另一个然后用另一个(反过来反过来)来检验。来检验。总结以上，低通巴特沃斯滤波器的总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤设计步骤如下：如下：(1) 根据技术指标根据技术指标p, p,s, s，求出滤波器的阶数求出滤波器的阶数N。(2) 求出归一化极点求出归一化极点pk，得到归一化传输函数得到归一化传输函数Ha(p)。 (3) 将将Ha(p)去归一化。将去归一化。将p=s/c代入代入Ha(p)，得到实际的滤波器得到实际的滤波器 传输函数传输函数Ha(s)。121()22,0,1,1kj

16、NkpekNNNNappbpbbpH11101)(spsplgklgNcspaapHsH )()(例：例： 已知通带截止频率已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减通带最大衰减 p=2dB，阻带阻带截止频率截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减阻带最小衰减 s=30dB，按照以上技术指按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。标设计巴特沃斯低通滤波器。解：解： (1) 确定阶数确定阶数N：0.10.11010.024210122.42lg0.02424.25,5lg2.4psaspassppkffNN (2) 求极点：求极点：归一化传输函数为归一化传输函数为401( )()akkHppp12

17、1()22,0,1,1kjNkpekN 上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在上式分母可以展开成为五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解形式。不如直接查表简单，由一起，形成因式分解形式。不如直接查表简单，由N=5，直接直接查表得到：查表得到：极点：极点：-0.3090j0.9511、-0.8090j0.5878、 -1.00005432432101( )aHppb pb pb pb pb其中：其中： b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361(3) 为将为将Ha(p)去归一化，先求去归一化，先求3dB截止频率截止频率

18、c。)/(2755. 52)110(2110sradkNpcp 将将p=s/c代入代入Ha(p)中得到：中得到：554233245432( )10cacccccHssbsbsbsbsb)/(525.102)110(2110sradkNcss 检验：检验： 可以看出，满足可以看出，满足 s=30dB 的真实的真实fs在在10.525kHz处，与处，与12kHz比，还有富裕量。比，还有富裕量。Matlab的实现的实现n调用的函数见教材调用的函数见教材P160 ：buttap, buttord, buttern设计程序见教材设计程序见教材P161 第三节第三节 用脉冲响应不变法用脉冲响应不变法 设计

19、设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器 利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是从已利用模拟滤波器来设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波器传递函数知的模拟滤波器传递函数Ha(s)设计数字滤波器的系设计数字滤波器的系统函数统函数H(z)。 因此，它归根结底是一个由因此，它归根结底是一个由S平面映射到平面映射到Z平面平面的变换，这个变换通常是复变函数的映射变换，为的变换，这个变换通常是复变函数的映射变换，为了保证了保证转换后的转换后的H(z)稳定且满足技术要求稳定且满足技术要求，这个映，这个映射变换必须满足以下两条基本要求。射变换必须满足以下两条基本要求。(2)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频数

20、字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频 响，响，s平面的虚轴映射为平面的虚轴映射为z平面的单位圆，相应的频平面的单位圆，相应的频率之间成率之间成线性线性关系。关系。(1) 因果稳定因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍 是因果稳定的。即是因果稳定的。即 S平面的左半平面必须映射平面的左半平面必须映射到到Z平面单位圆的内部平面单位圆的内部。两条基本要求：两条基本要求：工程上常用的转换方法：脉冲响应不变法和双线性变换法工程上常用的转换方法：脉冲响应不变法和双线性变换法一、脉冲响应不变法的转换原理一、脉冲响应不变法的转换原理 通过对连续函数通过对连续函数ha(t)等间

21、隔采样得到离散序列等间隔采样得到离散序列ha(nT)。令令h(n)= ha(nT) ，T为采样间隔。为采样间隔。它是一它是一种时域上的转换方法。种时域上的转换方法。)()()()()(zHnhnThthsHZaaa 变换变换等间隔采样等间隔采样拉氏逆变换拉氏逆变换设模拟滤波器的传输函数为设模拟滤波器的传输函数为Ha(s),相应的单位冲激响应是相应的单位冲激响应是ha(t)( )( )aaHsLT h t 设模拟滤波器设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点只有单阶极点，且分母多项式的阶，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：用部分分式表示： 1

22、( )NiaiiAHsss式中式中si为为Ha(s)的单阶极点。将的单阶极点。将Ha(s)进行逆拉氏变换得到进行逆拉氏变换得到ha(t)：NitsiatueAthi1)()( 式中式中u(t)是单位阶跃函数。对是单位阶跃函数。对ha(t)进行等间隔采样，采样进行等间隔采样，采样间隔为间隔为T，得到：得到：1( )()()iNs nTaiih nh nTAeu nT对上式进行对上式进行Z变换，得到数字滤波器的系统函数变换，得到数字滤波器的系统函数H(z)： 11( )1iNis TiAH zez11 zeAssATsiiii( )( ) ()aanhth ttnT设设ha(t)的采样信号用的采样

23、信号用 表示，表示，)(tha二、二、S平面和平面和Z平面之间的映射关系平面之间的映射关系拉氏变换：拉氏变换：snTnastnastaaenThdtenTtthdtethsH )()()()()( sTsTezeznnazHznh )()( 上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的上式表示采样信号的拉氏变换与相应的序列的Z变换之间变换之间的的映射关系映射关系可用下式表示：可用下式表示：sTez sTez 由：由： jrezjsTjTjeere 得到：得到： TerT j S平面平面Z平面平面RezjImz =0 (s平面虚轴平面虚轴) r=1 (z平面单位圆平面单位圆) 0 (s左半平面左半平

24、面) r0 (s右半平面右半平面) r1 (z平面单位圆外部平面单位圆外部) r与与 的关系的关系 与与 的关系：的关系： = T =0 (s平面实轴平面实轴) =0 (z平面正实轴平面正实轴) = 0 = 0T (s平面平行于实轴的直线平面平行于实轴的直线) (z平面始于原点，辐角为平面始于原点，辐角为 0T的辐射线的辐射线) ：从从 - /T /T ：从：从 - (s平面为平面为2 /T的一个水平带的一个水平带) (z平面辐角转了一周，覆盖整个平面辐角转了一周，覆盖整个z平面平面) Z平面平面jImzRez j S平面平面- /T /T3 /T-3 /T多值映射多值映射 将将s=j代入上式

25、，得代入上式，得 我们知道模拟信号我们知道模拟信号ha(t)的傅里叶变换的傅里叶变换Ha(j)和其采样信和其采样信号号 的傅里叶变换的傅里叶变换 之间的关系满足：之间的关系满足：)(tha)( jHa ksaajkjHTjH)(1)(sTezksaazHjksHTsH )()(1)( 存在的问题：混叠失真存在的问题：混叠失真可得：可得：由：由： ksajksHTzH)(1)( TkjHTeHkaj 21)(数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。数字滤波器的频率响应是模拟滤波器频率响应的周期延拓。 只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，且带限于折叠只有当模拟滤波器的频率响应是限带的，

26、且带限于折叠频率以内时，才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内频率以内时，才能使数字滤波器的频率响应在折叠频率以内重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真。即：重现模拟滤波器的频率响应，而不产生混叠失真。即： TjHTeHaj 1)(| 但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不但是，任何一个实际的模拟滤波器频率响应都不是严格限带的（非理想），是严格限带的（非理想）， 变换后就会产生周期延变换后就会产生周期延拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的拓分量的频谱交叠，即产生频率响应的混叠失真混叠失真。这。这时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，时数字滤波器的频响就不同于原模拟滤波器的频响，

27、而是有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠而是有一定的失真。当模拟滤波器的频率响应在折叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠频率以上处衰减越大、越快时，变换后频率响应混叠失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字失真就越小。这时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得到良好的效果。滤波器才能得到良好的效果。脉冲响应不变法的频率混叠现象脉冲响应不变法的频率混叠现象优点：优点： 脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完脉冲响应不变法使得数字滤波器的单位脉冲响应完 全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，也就是时域逼时域逼 近良好近良好。 模拟频

28、率模拟频率和数字频率和数字频率之间之间呈线性关系呈线性关系=T。 因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤因而，一个线性相位的模拟滤波器（例如贝塞尔滤 波器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性波器）通过脉冲响应不变法得到的仍然是一个线性 相位的数字滤波器。相位的数字滤波器。缺点：缺点： 有频率响应的有频率响应的混叠效应混叠效应。 所以，所以， 脉冲响应不变脉冲响应不变 法只适用于限带的模拟滤波器法只适用于限带的模拟滤波器(例如，衰减特性例如，衰减特性 很好的低通或带通滤波器很好的低通或带通滤波器)，而且高频衰减越快，而且高频衰减越快 ，混叠效应越小。，混叠效应越小。 对于对于高通和带阻

29、滤波器高通和带阻滤波器，由于它们在高频部分，由于它们在高频部分 不衰减，不衰减， 因此因此会产生混叠现象会产生混叠现象。第四节第四节 用双线性变换法用双线性变换法 设计设计IIR数字低通滤波器数字低通滤波器一、变换原理一、变换原理 了解决上一节的混叠问题，我们应想办法让了解决上一节的混叠问题，我们应想办法让S到到Z域的映射域的映射为为单值映射单值映射。方法：方法： 先采用线性压缩的方法，将模拟角频率先采用线性压缩的方法，将模拟角频率 压缩至折叠频率压缩至折叠频率以内。即：以内。即： 若：若： ： - 0 , 压缩后得到压缩后得到 1 1：-/T 0 /T )21(21TtgT非线性压缩非线性压

30、缩SS1单值映射单值映射S1Z)21(21TtgTTsez1 找找Z与与S的关系：的关系：，得：由：)21(21TtgT2)(2)(2)21cos()21sin(22222111111TjTjTjTjeejeeTTTT)()(222221111TjTjTjTjeeeeTj)1 ()1 (2)()(21111112222TsTsTsTsTsTseeTeeeeTs)1 ()1 (211zzTs)2()2(sTsTz一般来说，为使一般来说，为使AF与与DF的某一频率有对应关系，可引入常数的某一频率有对应关系，可引入常数C：)21(1TtgC )1()1(11 zzCs)()(sCsCz 及：及： 变

31、换常数变换常数C的选取：的选取： 常数常数C用来调节频率间的对应关系：用来调节频率间的对应关系： 若希望若希望AF与与DF在在低频处有较为确切的对应关系低频处有较为确切的对应关系， 可以选择：可以选择：TC2 解释：解释：在低频处有较为确切的对应关系，即要求低频处：在低频处有较为确切的对应关系，即要求低频处：1 当当 1较小时，处于低频处，此时有：较小时，处于低频处，此时有：TTtg1121)21( 而而 和和 1的对应公式为：的对应公式为：TCTtgC1121)21( TC2 sTsTzzzTs 22)1()1(211二、优点、问题及其解决办法二、优点、问题及其解决办法 1、优点：、优点：)

32、21(21TtgT 2、问题：、问题：)21(2)21(21 tgTTtgT 系的对应关系为非线性关与 3、解决：、解决：0 T/0 0011)2(222 tgTtgSZ0 指标转换指标转换预畸预畸指标转换指标转换不预畸不预畸220 tgT SZ00112222)2(2 tgTTtgTtg产生畸变产生畸变不产生畸变不产生畸变T 22tgT ()jH e()aHj34214321预畸变特征双线性变换时频率的预畸变双线性变换时频率的预畸变 利用模拟滤波器设计利用模拟滤波器设计IIR数字低通滤波器的步骤数字低通滤波器的步骤。(1) 确定数字低通滤波器的技术指标：确定数字低通滤波器的技术指标：p、 p

33、、s、 s(2) 将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的将数字低通滤波器的技术指标转换成模拟低通滤波器的 技术指标：技术指标：如果采用如果采用脉冲响应不变法脉冲响应不变法，边界频率的转换关系为，边界频率的转换关系为如果采用如果采用双线性变换法双线性变换法，边界频率的转换关系为，边界频率的转换关系为T )21(2 tgT (3) 按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器按照模拟低通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器Ha(s)。(4) 将模拟滤波器将模拟滤波器Ha(s)，从从s平面转换到平面转换到z平面，得到数字低通平面，得到数字低通 滤波器系统函数滤波器系统函数H(z)。spsp

34、,例：设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于例：设计低通数字滤波器，要求在通带内频率低于0.2rad时，时， 容许幅度误差在容许幅度误差在1dB以内；在频率以内；在频率0.3到到之间的阻带衰之间的阻带衰 减大于减大于15dB。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。指定模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。 试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。试分别用脉冲响应不变法和双线性变换法设计滤波器。解：解： (1) 用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。用脉冲响应不变法设计数字低通滤波器。 数字低通的技术指标为数字低通的技术指标为 p=0.2rad, p=1dB; s=0.3rad, s=15d

35、B 模拟低通的技术指标为模拟低通的技术指标为 T=1s,p=0.2rad/s, p=1dB; s=0.3rad/s, s=15dB设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数设计巴特沃斯低通滤波器。先计算阶数N及及3dB截止频率截止频率c。0.10.1lglg0.31.50.21010.092101lg0.0925.884lg1.5psspspssppspkNkN 根据阶数根据阶数N=6，查表得到归一化传输函数为：查表得到归一化传输函数为：234561( )13.86377.46419.14167.46413.8637aHppppppp由式：由式：Npcp2110)110( 得到：得到：c=0.7032

36、rad/s 最后，去归一化，将最后，去归一化，将p=s/c代入代入Ha(p)中，得到实际的传中，得到实际的传输函数输函数Ha(s)62652433425665432( )3.86377.46419.14167.46413.86370.12092.7163.6913.1791.8250.1210.1209accccccHsssssssssssss 用脉冲响应不变法将用脉冲响应不变法将Ha(s)转换成转换成H(z)。首先将首先将Ha(s)进行部分进行部分 分式分解，然后再转换分式分解，然后再转换 z=esT。1112121120.28710.44662.14281.1454( )10.12970.

37、69491 1.06910.36991.85580.630410.99720.2570zzH zzzzzzzz(2) 用双线性变换法设计数字低通滤波器。用双线性变换法设计数字低通滤波器。 数字低通技术指标仍为数字低通技术指标仍为 p=0.2rad, p=1dB; s=0.3rad, s=15dB 模拟低通的技术指标为模拟低通的技术指标为21tan,122tan0.10.65/ ,12tan0.151.019/ ,15ppPpssTTrad sdBrad sdB 设计巴特沃斯低通滤波器。阶数设计巴特沃斯低通滤波器。阶数N计算如下：计算如下：lglg1.0191.5680.650.092lg0.0

38、925.306lg1.568spspssppspkNkN 取取N=6。并求得：并求得：c=0.7662rad/s 根据根据N=6，查表查表6.2.1得到的归一化传输函数得到的归一化传输函数Ha(p)与脉冲与脉冲响应不变法得到的相同。为去归一化，将响应不变法得到的相同。为去归一化，将p=s/c代入代入Ha(p)，得实际的得实际的Ha(s)2220.2024( )(0.3960.5871)(1.0830.5871)(1.4800.5871)aHsssssss 用双线性变换法将用双线性变换法将Ha(s)转换成数字滤波器转换成数字滤波器H(z)111 61212121120.0007378(1)( )

39、( )(1 1.2680.7051)(1 1.0100.358)110.90440.2155azszzH zHszzzzzz习题习题n1n9n10n14n19IIR数字滤波器技术指标数字滤波器技术指标脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法模拟滤波器技术指标模拟滤波器技术指标原型变换原型变换设计模拟低通原型滤波器设计模拟低通原型滤波器巴特沃斯逼近法巴特沃斯逼近法切比雪夫逼近法切比雪夫逼近法其他逼近法其他逼近法模拟低通原型滤波器技术指标模拟低通原型滤波器技术指标原型变换原型变换各经典类模拟滤波器各经典类模拟滤波器脉冲响应不变法脉冲响应不变法双线性变换法双线性变换法IIR数字滤波器数字滤波器