全国版2019版高考数学一轮复习第5章数列第2讲等差数列及其前n项和学案.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 讲 等差数列及其前 n 项和 板块一 知识梳理 自主学习 必备知识 考点 1 等差数列的有关概念 1定义：如果一个数列从 第 2 项 起，每一项与它的前一项的 差 都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列符号表示为 an 1 an d(n N*， d 为常数 ) 2等差中项：数列 a， A， b 成等差数列的充要条件是 A a b2 ，其中 A 叫做 a， b 的 等差中项 考点 2 等差数列的有关公式 1通项公式： an a1 (n 1)d. 2前 n 项和公式： Sn na1 n?n 1?2 d n?a1 an?2 . 必会结论 等差数列的常用

2、性质 (1)通项公式的推广： an am (n m)d(n， m N*) (2)若 an为等差数列，且 k l m n(k， l， m， n N*)，则 ak al am an.若 m n2p(m， n， p N*)，则 am an 2ap. (3)若 an是等差数列，公差为 d，则 a2n也是等差数列，公差为 2d. (4)若 an， bn是等差数列，则 pan qbn也是等差数列 (5)若 an是等差数列，公差为 d, 则 ak， ak m， ak 2m， ?( k， m N*)是公差为 md 的等差数列 (6)等差数列 an的前 n 项和为 Sn, 则 Sn， S2n Sn， S3n S

3、2n仍成等差数列，其公差为 n2d. 考点自测 1判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)等差数列的公差是相邻两项的差 ( ) (2)若一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列 ( ) (3)等差数列的前 n 项和公式是常数项为 0 的二次函数 ( ) (4)数列 an为等差数列的充要条件是对任意 n N*，都有 2an 1 an an 2.( ) (5)等差数列 an的单调性是由公差 d 决定的 ( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2 课本改编 在等差数列 an中，已知 a4 a8 16，则该数列前 11 项和 S

4、11 ( ) A 58 B 88 C 143 D 176 =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 B 解析 因为 an是等差数列，所以 a4 a8 2a6 16?a6 8，则该数列的前 11 项和为 S11 11?a1 a11?2 11a6 88.故选 B. 3设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S3 9， S6 36，则 a7 a8 a9等于 ( ) A 63 B 45 C 36 D 27 答案 B 解析 S3， S6 S3， S9 S6 成等差数列，即 9,27， a7 a8 a9 成等差数列， a7 a8 a9 54 9 45.故选 B. 4若等差数列 an的前 5 项之和 S5

5、 25，且 a2 3，则 a7 ( ) A 12 B 13 C 14 D 15 答案 B 解析 由 S5 ?a2 a4?52 ，得 25 ?3 a4?52 ，解得 a4 7，所以 7 3 2d，即 d 2，所以 a7 a4 3d 7 32 13.故选 B. 5 课本改编 在数列 an中， a1 2,2an 1 2an 1，则 a101 _. 答案 52 解析 由 2an 1 2an 1，得 an 1 an 12，故数列 an是首项为 2，公差为 12的等差数列，所以 a101 2 100 12 52. 6 2018 苏北四市模拟 在等差数列 an中，已知 a2 a8 11，则 3a3 a11

6、的值为_ 答案 22 解析 设等差数 列 an的公差为 d，由题意可得 a2 a8 11 2a5，则 a5 112 ，所以 3a3 a11 3(a5 2d) a5 6d 4a5 4 112 22. 板块二 典例探究 考向突破 考向 等差数列的基本运算 例 1 (1)2017 全国卷 记 Sn为等差数列 an的前 n 项和若 a4 a5 24， S6 48，则 an的公差为 ( ) A 1 B 2 C 4 D 8 答案 C 解析 设 an的公差为 d，则 由? a4 a5 24，S6 48， 得 ? ?a1 3d? ?a1 4d? 24，6a1 652 d 48， =【 ;精品教育资源文库 】

7、= 解得 d 4.故选 C. (2)2018 吉林模拟 已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 6a3 2a4 3a2 5，则 S7 ( ) A 28 B 21 C 14 D 7 答案 D 解析 由 6a3 2a4 3a2 5，得 6(a1 2d) 2(a1 3d) 3(a1 d) 5a1 15d 5(a1 3d) 5，即 5a4 5，所以 a4 1，所以 S7 7 ?a1 a7?2 72 a42 7a4 7.故选 D. 触类旁通 等差数列计算中的两个技巧 (1)等差数列的通项公式及前 n 项和公式，共涉及五个量 a1， an， d， n， Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的

8、思想解决问题 (2)数列的通项公式和前 n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而 a1和 d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法 【变式训练 1】 (1)2016 全国卷 已知等差数列 an前 9 项 的和为 27， a10 8，则a100 ( ) A 100 B 99 C 98 D 97 答案 C 解析 设 an 的 公 差 为 d ， 由 等 差 数 列 前 n 项 和 公 式 及 通 项 公 式 ， 得? S9 9a1982 d 27，a10 a1 9d 8，解得? a1 1，d 1， an a1 (n 1)d n 2， a100 100 2 98.故选 C. (2)

9、设 Sn为等差数列 an的前 n 项 和， a12 8， S9 9，则 S16 _. 答案 72 解析 设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d， 由已知，得? a12 a1 11d 8，S9 9a1 982 d 9， 解得 ? a1 3，d 1. S16 163 16152 ( 1) 72. 考向 等差数列的性质 命题角度 1 等差数列项的性质 例 2 (1)等差数列 an中，若 a4 a6 a8 a10 a12 120，则 a9 13a11的值是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 14 B 15 C 16 D 17 答案 C 解析 因为 an是等差数列，所以 a4 a6 a8

10、 a10 a12 5a8 120， a8 24.所以 a9 13a11 a8 d 13(a8 3d) 23a8 16. (2)若两个等差数列 an和 bn的前 n 项和分别是 Sn， Tn，已知 SnTn 7nn 3，则 a5b5 _. 答案 214 解析 a5b5 2a52b5 a1 a9b1 b992?a1 a9?92?b1 b9? S9T9 214. 命题角度 2 等差数列前 n 项和性质的应用 例 3 (1)已知等差数列 an的公差为 2，项数是偶数，所有奇数项之和为 15，所有偶数项之和为 25，则这 个数列的项数为 ( ) A 10 B 20 C 30 D 40 答案 A 解析 设

11、这个数列有 2n 项，则由等差数列的性质可知：偶数项之和减去奇数项之和等于 nd，即 25 15 2n，故 2n 10，即数列的项数为 10.故选 A. (2)2018 杭州学军中学月考 设 Sn是等差数列 an的前 n项和，若 S3S6 13，则 S6S12 ( ) A.310 B.13 C.18 D.19 答案 A 解析 令 S3 1，则 S6 3， S9 1 2 3 6.S12 S9 4 10， S6S12 310.故选 A. 触类旁通 等差数列性质的应用技巧 (1)等差数列项的性质：利用等差数列项的性质解决基本量的运算体现了整体求值思想，应用时常将 an am 2ak(n m 2k，

12、n， m， k N*)与 am an ap aq(m n p q， m， n， p，q N*)相结合，可减少运算量 (2)等差数列和的性质：在等差数列 an中， Sn 为其前 n 项和，则数列 Sm， S2m Sm， S3m S2m， ? 也是等差数列，且有 S2n n(a1 a2n) ? n(an an 1)； S2n 1 (2n 1)an；若 n 为偶数，则 S 偶 S 奇 nd2 ；若 n 为奇数，则 S 奇 S 偶 a 中 (中间项 ) 考向 等差数列的判定与证明 =【 ;精品教育资源文库 】 = 例 4 2018 辽宁大连双基测试 数列 an满足 an 1 an2an 1， a1 1

13、. (1)证明：数列 ? ?1an是等差数列； (2)求数列 ? ?1an的前 n 项和 Sn，并证明： 1S1 1S2 ? 1Sn nn 1. 解 (1)证明： an 1 an2an 1， 1an 1 2an 1an，化简得 1an 1 2 1an， 即 1an 1 1an 2， 故数列 ? ?1an是以 1 为首项， 2 为公差的等差数列 (2)由 (1)知 1an 2n 1，所以 Sn n?1 2n 1?2 n2. 证明： 1S1 1S2 ? 1Sn 112 122 ? 1n2 112 123 ? 1n?n 1? ? ?1 12 ? ?12 13 ? ? ?1n 1n 1 1 1n 1

14、nn 1. 触类旁通 等差数列的判定方法 (1)定义法：对于 n2 的任意自然数，验证 an an 1为同一常数； (2)等差中项法：验证 2an 1 an an 2(n3 ， n N*)成立； (3)通项公式法：验证 an pn q； (4)前 n 项和公式法：验证 Sn An2 Bn. 提醒 在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前 n 项和公式法主要适用于选择题、填空题中的简单判断 【变式训练 2】 2018 昆明模拟 在数列 an中， a1 35， an 1 2 1an，设 bn 1an 1，数列 bn的前 n 项和是 Sn. (1)证明数列 bn是等差数列，并求 Sn；

15、(2)比较 an与 Sn 7 的大小 解 (1)证明： bn 1an 1， an 1 2 1an， bn 1 1an 1 1 1an 1 1 bn 1， bn 1bn 1， 数列 bn是公差为 1 的等差数列 =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 a1 35， bn 1an 1，得 b1 52， Sn 5n2 n?n 1?2 n22 3n. (2)由 (1)知， bn 52 n 1 n 72. 由 bn 1an 1，得 an 1 1bn 1 1n 72. an Sn 7 n22 3n 61n 72. 当 n4 时， y n22 3n 6 是减函数， y1n 72也是减函数， 当 n4 时， an Sn 7 a4 S4 7 0. 又 a1 S1 7 39100， S3 S11，则当 n为多少时， Sn最大？ 解题视点 可利用 Sn na1 n?n 1?2 d 及二次函数的性质求解；也可以利用首项 a10，公差 d0，所以 a1130， S3 S11可知 d0， a80，且 Sp Sq(p q)，