全国通用版2019版高考数学一轮复习第十章计数原理与概率随机变量及其分布课时分层作业七十二10.9离散型随机变量的均值与方差（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层作业 七十二 离散型随机变量的均值与方差 一、选择题 (每小题 5分 ,共 25分 ) 1.已知离散型随机变量 X的分布列为 X 1 2 3 P q2 则 E(X)= ( ) A. B. C.2 D. 【解析】 选 C.由 + +q2=1,得 3q2- q=0,即 q= 或 q=0(舍去 ), 故分布列为 X 1 2 3 P E(X)=1 +2 +3 =2. 2.已知离散型随机变量 X的概率分布列为 ( ) X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其方差 D(X)= ( ) A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4 【解析】 选 C.因为 0.5

2、+m+0.2=1,所以 m=0.3,所以 E(X)=1 0.5+3 0.3+5 0.2=2.4,D(X)=(1-2.4)20.5+(3-2.4)2 0.3+(5-2.4)2 0.2=2.44. 3.(2018 太原模拟 )口袋中有 5只球 ,编号分别为 1,2,3,4,5,从中任取 3只球 ,以 X表示取出的球的最大号码 ,则 X的数学期望 E(X)的值是 ( ) A.4 B.4.5 C.4.75 D.5 【 解析】 选 B.由题意知 ,X可以取 3,4,5,P(X=3)= = ,P(X=4)= = , P(X=5)= = = , =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 E(X)=3 +4 +

3、5 =4.5. 【 变式备选】 (2018新乡模拟 )设某人在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的 ,且概率都是 0.4,则此人三次上班途中遇红灯的次数的数学期望为 ( ) A.0.4 B.1.2 C.0.43 D.0.6 【解析】 选 B.因为途中遇到红灯的次数 X服从二项分布 ,即 X B(3,0.4),所以 E(X)=3 0.4=1.2. 4.(2018黄山模 拟 )已知 X+Y=8,若 X B(10,0.6),则 E(Y)和 D(Y)分别是 ( ) A.6 和 2.4 B.2 和 2.4 C.2 和 5.6 D.6 和 5.6 【解析】 选 B.因为 X B(10,0.6),则 n=10

4、,p=0.6,所以 E(X)=10 0.6=6,D(X)=10 0.6 (1-0.6)=2.4, 又 X+Y=8,则 Y=8-X, 所以 E(Y)=8-E(X)=8-6=2, D(Y)=(-1)2D(X)=2.4 1=2.4. 【 变式备选】 1.设随机变量 的分布列为 P(=k)= ,k=0,1,2,3,则 E()= ( ) A. B. C. D. 【解析】 选 B.由条件知 c+ + + =1,所以 c= ,故 的分布列为 0 1 2 3 P 故 E( )=0 +1 +2 +3 = . 2.如图 ,将一个各面都涂了油漆的正方体切割为 125个同样大小的小正方体 .经过搅拌后 ,从中随机取一

5、个小正方体 ,记它的涂漆面数为 X,则 X的均值 E(X)等于 ( ) A. B. =【 ;精品教育资源文库 】 = C. D. 【解题指南】 先确定 X的值 ,再由 古典概型的概率公式分别求 其概率 ,最后套公式求 E(X). 【解析】 选 B.由题意知 X可取 0,1,2,3,且 P(X=0)= = , P (X=1)= = , P(X=2)= = ,P (X=3)= . 故 E(X)= +2 +3 = . 5.某射击运动员在一次射击比赛中所得环数 X的分布列如下 : X 3 4 5 6 P x 0.1 0.3 y 已知 X的均值 E(X)=4.3,则 D(X)= ( ) A.1.38 B

6、.1.41 C.1.42 D.1.56 【解析】 选 B.由题意知 ,x+0.1+0.3+y=1, 又 E(X)=3x+4 0.1+5 0.3+6y=4.3,两式联立解得 x=0.4,y=0.2. 所以 D(X)=(3-4.3)2 0.4+(4-4.3)2 0.1+(5-4.3)2 0.3+(6-4.3)2 0.2 =0.676+0.009+0.147+0.578 =1.41. 二、填空题 (每小题 5分 ,共 15分 ) 6.(2018中山模拟 )已知随机变量 X服从二项分布 B(n,p).若 E(X)=30,D(X)=20,则 p=_. 【解析】 由于 X B(n,p),且 E(X)=30

7、,D(X)=20, 所以 解得 p= . 答案 : 7.(2018南昌模拟 )随机变量 X的取值为 0,1,2,若 P(X=0)= ,E(X)=1,则 D(X)=_. 【解析】 设 X=1时的概率为 p,则 E(X)=0 +1 p+2 =1,解得 p= , =【 ;精品教育资源文库 】 = 故 D(X)=(0-1)2 +(1-1)2 +(2-1)2 = . 答案 : 8.据统计 ,一年中一个家庭万元以上的财产被窃的概率为 0.005,保险公司开办一年期万元以上家庭财产保险 ,交保险费 100元 ,若一年内万元以上财产被窃 ,保险公司赔偿 a元 (a1 000),为确保保险公司有可能获益 ,则

8、a的取值范围是 _. 【解题指南】 转化为求保险公司在参保人身上的收益的期望问题 ,由此列不等式求解 . 【解析】 X表示保险公司在参加保险者身上的收益 ,其概率分布列为 X 100 100-a P 0.995 0.005 E(X)=0.995 100+(100-a) 0.005=100- .若保险公司获益 ,则期望大于 0,解得 a4)=P (t=6)= . X=1 对应为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为 2分钟且为第二位顾客准备泡茶工具所需的时间超过 2分钟 ,或为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为 3分钟 ,或为第一位顾客准备泡茶工具所需的时间为 4分钟 , 所以 P (X=1)=P

9、(t=2) P (t2)+P (t=3)+P (t=4)= + + = ; X=2 对应为两位顾客准备泡茶工具所需的时间均为 2分钟 ,所以 P(X=2)=P(t=2) P(t=2)= = . 所以 X的分布列为 =【 ;精品教育资源文库 】 = X 0 1 2 P 所以 X的均值 E(X)=0 +1 +2 = . =【 ;精品教育资源文库 】 = 1.(5分 )(2018福州模拟 )甲、乙两人进行乒乓球比赛 ,约定每局胜者得 1分 ,负者得 0分 ,比赛进行到有一人比对方多 2分或打满 6局时停止 .设甲在每局中获胜的概率为 ,乙在每局中获胜的概率为 ,且各局胜负相互独立 ,则比赛停止时已打

10、局数 X的期望 E(X)为 ( ) A. B. C. D. 【解析】 选 B.依题意 ,知 X的所有可能值为 2,4,6,设每两局比赛为一轮 ,则该轮结束时比赛停止的概率为+ = .若该轮结束时比赛还将继续 ,则甲、乙在该轮中必是各得一分 ,此时 ,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响 .从而有 P(X=2)= ,P(X=4)= = , P(X=6)= = ,故 E(X)=2 +4 +6 = . 2.(5分 )(2018哈尔滨模拟 )为了响应国家发展足球的 倡议 ,哈尔滨市某校在秋季运动会中 ,安排了足球射门比赛 ,现有 10名同学参加足球射门比赛 ,已知每名同学踢进的概率均为 0.6,每名

11、同学有 2次射门机会 ,且各同学射门之间没有影响 ,现规定 :踢进两个得 10分 ,踢进一个得 5分 ,一个未进得 0分 ,记 X为 10个同学的得分总和 ,则 X的数学期望为 ( ) A.30 B.40 C.60 D.80 【解析】 选 C.每位同学的进球个数 B(2,0.6), 所以 E( )=2 0.6=1.2, 所以 E(X)=10 5E( )=50 1.2=60. 3.(5分 )在一袋中有 20个大小相同的球 ,其中记上 0号的有 10个 ,记上 n号的有 n个 (n=1,2,3,4),现从袋中 任取一球 ,X表示所取球的标号 .若 Y=aX+b,E(Y)=1, D(Y)=11,则

12、ab 的值为 _. 【解析】 X的取值为 0,1,2,3,4,其分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以 E(X)=0 +1 +2 +3 +4 =1.5,D(X)=(0-1.5)2 +(1-1.5)2 +(2-1.5)2+(3-1.5)2 +(4-1.5)2 =2.75. 由 D(Y)=a2D(X)得 2.75a2=11,得 a= 2, 又 E(Y)=aE(X)+b, =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以当 a=2时 ,由 1=2 1.5+b,得 b=-2; 当 a=-2时 ,由 1=-2 1.5+b,得 b=4, 即 或 故 ab=-4或 -8. 答案 :-4或 -8 4.(12分 )(

13、2016山东高考 )甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动 ,每轮活动由甲、乙各猜一个成语 ,在一轮活动中 ,如果两人都猜对 ,则“星队”得 3分 ;如果只有一个人猜对 ,则“星队”得 1分 ;如果两人都没猜对 ,则“星队”得 0分 .已知甲每轮猜对的概率是 ,乙每轮猜对的概率是 ;每轮活动中甲、乙猜对与否 互不影响 .各轮结果亦互不影响 .假设“星队”参加两轮活动 ,求 : (1)“星 队”至少猜对 3个成语的概率 . (2)“星队”两轮得分之和 X的分布列和数学期望 E(X). 【解题指南】 (1)要弄清“至少猜对 3个”所包含的事件 . (2)找全两轮得分之和为 X的可能值 ,然后计算每种

14、可能值的概率 . 【解析】 (1)由题意 ,“星队”至少猜对 3个成语包含“甲对一乙对二”与“甲对二乙对一”“甲乙全对” , 所以 P= + + = + + = . (2)“星队”两轮得分之和为 X的可能值为 :0,1,2,3,4,6. P(X=0)= = ; P(X=1)=( + ) 2= ; P(X=2)= + + + = ; P(X=3)= 2= = ; P(X=4)= 2= ; P(X=6)= = . 可得随机变量 X的分布列为 X 0 1 2 3 4 6 P =【 ;精品教育资源文库 】 = 所 以 E(X)=0 +1 +2 +3 +4 +6 = . 【易错提醒】 解答本题易出现如下

15、两点错误 : (1)对至少猜对 3个成语所对的事件不清晰造成错解 . (2)得分之和的分布列 ,与每个成语答对的人数的对应关系处理不当 造成错解 . 5.(13分 )(2018海口模拟 )汽车租赁公司为了调查 A,B两种车型的出租情况 ,现随机抽取了这两种车型各100 辆汽车 ,分别统计了每辆车某个星期内的出租天数 ,统计数据如下表 : A 型车 出租天数 1 2 3 4 5 6 7 车辆数 5 10 30 35 15 3 2 B 型车 出租天数 1 2 3 4 5 6 7 车辆数 14 20 20 16 15 10 5 (1)从出租天数为 3的汽车 (仅限 A,B两种车型 )中随机抽取一辆

16、,估计这辆汽车恰好是 A型车的概率 . (2)根据这个星期的统计数据 ,估计 该公司 一辆 A型车与一辆 B型车一周内合计出租天数恰好为 4的概率 . (3)如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同 ,该公司需要从 A,B两种车型中购买一辆 ,请你根据所学的统计知识 ,建议应该购买哪一种车型 ,并说明你的理由 . 【解析】 (1)估计这辆汽车是 A型车的概率 P= =0.60. (2)设“事件 Ai表示一辆 A型车在一周内出租天数恰好为 i” ,“事件 Bj表示一辆 B型车在一周内出租天数恰好为 j” ,其中 i,j=1,2,3,? ,7,则该公司一辆 A型车与一辆 B型车一周内合计出租天数恰好为 4的概率为 P(A1B3+A2B2+A3B1)=P(A1B3)+P(A2B2)+P(A3B1) =P(A1)P(B3)+P(A2)P(B2)+P(A3)P(B1)= + + = , 故该公司一辆 A型车 ,一辆 B型车一周内合计