全国通用版2019版高考数学一轮复习第十章计数原理与概率随机变量及其分布课时分层作业六十六10.3二项式定理（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层作业 六十六 二项式定理 一、选择题 (每小题 5分 ,共 35分 ) 1.化简 1+3x+3x2+x3= ( ) A.x4 B.(x+1)3 C.(x+1)4 D.(x-1)3 【解析】 选 B.原式 = + x+ x2+ x3=(1+x)3=(x+1)3. 2. 的展开式中 ,x2y4的系数是 ( ) A.30 B.-30 C.60 D.-60 【解析】 选 C.Tk+1= (-2y)k= (-2)k x6-kyk, 由题意 ,k=4, 所以 x2y4的系数为 (-2)4 =60. 3.(2016四川高考 )设 i为虚数单位 ,则 (x+i)6的展

2、开式中含 x4的项为 ( ) A.-15x4 B.15x4 C.-20i x4 D.20i x4 【解析】 选 A.二项式 (x+i)6展开的通项 Tr+1= x6-rir,则其展开式中含 x4的项是 6-r=4,即 r=2,则展开式中含 x4的项为 x4i2=-15x4. 4.(2018九江模拟 )在 (1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中 ,含 x3的项的系数是 ( ) A.74 B.121 C.-74 D.-121 【解析】 选 D.展开式中含 x3项的系数为 (-1)3+ + (-1)3+ (-1)3 =-121. 5.若 (1+mx)6=a0+a1x+a2x

3、2+ +a6x6,且 a1+a2+ +a6=63,则实数 m的值为 ( ) A.1 或 3 B.-3 C.1 D.1或 -3 【解析】 选 D.令 x=0,得 a0=(1+0)6=1. 令 x=1,得 (1+m)6=a0+a1+a2+ +a6, 又 a1+a2+a3+ +a6=63, 所以 (1+m)6=64=26,故 m=1或 m=-3. 6.(2018衡水模拟 ) 的展开式 中的常数项是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.352 B.-352 C.1 120 D.-1 120 【解题指南】 把三项的乘方问题转化为二项式定理求解 . 【解析】 选 C.原式 = = + (-4)+

4、 (-4)2+ (-4)3+(-4)4,所以其常数项为 42+ 4(-4)2+(-4)4=1 120. 【 一题多解】 解答本题还可用如下方法 : 选 C.原式 = = , Tk+1= (2x)8-k =(-1)k28-k x8-2k, 由 8-2k=0,得 k=4, 所以常数项为 :(-1)4 24 =1 120. 7.(2018海口模拟 )若 (x2-a) 的展开式中 x6的系数为 30,则 a等于 ( ) A. B. C.1 D.2 【解析】 选 D.依题意 ,注意到 的展开式的通项公式是 Tr+1= x10-r = x10-2r, 的展开式中含 x4(当 r=3时 )、 x6(当 r=

5、2 时 )项的系数分别为、 ,因此由题意得 -a =120-45a=30,由此解得 a=2. 【 变式备选】 (2018济南模拟 )(x+2)2(1-x)5中 x7的系数与常数项之差的绝对值为 ( ) A.5 B.3 C.2 D.0 =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 选 A.常数项为 2 2 =4,x7系数为 (-1)5=-1,因此 x7的系数与常数项之差的绝对值为 5. 二、填空题 (每小题 5分 ,共 15分 ) 8.(2x-3y)4的展开式中二项式系数最大的项为 _. 【解析】 展开式共有五项 ,二项式系数最大的项为 T2+1= (2x)2(-3y)2=216x2y2. 答案

6、:216x2y2 【易错警示】 解答本题易 误填 6,出错的原因是题意理解不准 ,误填二项式系数 . 9.(2018兰州模拟 )设 (x-a)8=a0+a1x+a2x2+ +a8x8,若 a5+a8=-6,则实数 a的值为 _. 【解析】 由二项展开式的通项公式可得 a5= (-a)3=-56a3,a8= (-a)0=1.因为 a5+a8=-6,所以 -56a3+1=-6,即 a3= ,所以 a= . 答案 : 10.(2018山东高考 )已知 (1+3x)n的展开式中含有 x2项的系数是 54,则 n=_. 【解析】 由题意 ,得 (3x)2=54x2,即 =6,解得 n=4. 答案 :4

7、1.(5分 ) +(x+1)6+(2x2+y)8的展开式中含 x2项的系数和为 ( ) A.24 B.-9 C.39 D.55 【解析】 选 D.对 , T2+1= (x2)2 =4 x2=24x2, 对 (x+1)6,T4+1= x2 14=15x2, 对 (2x2+y)8,T7+1= 2x2y7=16x2y7. 所以 ,所求和为 24+15+16=55. 【易错警示】 解答本题易误选 C,出错的原因是认为 (2x2+y)8展开式中没有符合条件的项 . 2.(5分 )(2018洛阳模拟 )已知 bxn+1=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+ +an(x-1)n对任意 x R恒成立 ,且

8、 a1=9,a2=36,则 b= ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 选 D.因为 bxn+1=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+ +an(x-1)n,而bxn+1=b1+(x-1)n+1=b + (x-1)+ (x-1)2+ + (x-1)n+1,所以 b =a1=9,b =a2=36,故n=9,b=1. 【 变式备选】 若 x4(x+3)8=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+ +a12(x+2)12,则 log2(a1+a3+a5+ +a11)等于 ( ) A.27 B.28 C.7 D.8 【解析】 选 C.令 x=-1得 a0

9、+a1+a2+ +a12=28 ; 令 x=-3得 a0-a1+a2-a3+ +a12=0 . - 得 2(a1+a3+ +a11)=28, 所以 a1+a3+ +a11=27, 所以 log2(a1+a3+ +a11)=7. 3.(5分 )(2018 大连模拟 )设 a= sin xdx,则二项式 的展开式中的常数项是_. 【解析】 a= sin xdx=(-cos x) =2,二项展开式的通项是 Tr+1= (2 )6-r = 26-r (-1)rx3-r,令 3-r=0,得 r=3,故二项展开式中的常数项是 - 23=-160. 答案 :-160 4.(12分 )求证 :1+2+22+

10、+25n-1(n N*)能被 31 整除 . 【证明】 因为 1+2+22+ +25n-1= =25n-1=32n-1=(31+1)n-1 = 31n+ 31n-1+ + 31+ -1 =31( 31n-1+ 31n-2+ + ), 显然 31n-1+ 31n-2+ + 为整数 , 所以原式能被 31 整除 . 【 变式备选】 求 S= + + + 除以 9的余数 . 【解析】 S= + + + =227-1=89-1 =(9-1)9-1= 99- 98+ + 9- -1 =9( 98- 97+ + )-2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为 98- 97+ + 是整数 , 所以 S被

11、9除的余数为 7. 5.(13分 )(2018长春模拟 )已知二项式 , (1)若展开式中第 5项 ,第 6项与第 7项的二项式系数成等差数列 ,求展开式中二项式系数最大项的系数 . (2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79,求展开式中系数最大的项 . 【解析】 (1)由题意可得 + =2 ,整理得 n2-21n+98=0, 解得 n=7或 n=14, 当 n=7时 ,展开式中二项式系数最大的项是 T4和 T5, 所以 T4的系数为 23= , T5的系数为 24=70. 当 n=14时 ,展开式中二项式系数最大的项是 T8, 所以 T8的系数为 27=3 432. (2)由题意可得 + + =79,整理得 n2+n-156=0. 解得 n=12或 n=-13(舍去 ). 设 Tk+1项的系数最大 , 因为 = (1+4x)12, 所以 解得 9.4 k 10.4,所以 k=10. 所以展开式中系数最大的项为 T11, T11= 210 x10=16 896x10.