全国通用版2019版高考数学一轮复习第十四单元椭圆双曲线抛物线高考达标检测四十一圆锥曲线的综合问题--直线与圆锥曲线的位置关系（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考达标检测（四十一） 圆锥曲线的综合问题 直线与圆锥曲线的位置关系 一、选择题 1已知过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A， B 两点，且点 A 在第一象限，若 |AF| 3，则直线 l 的斜率为 ( ) A 1 B. 2 C. 3 D 2 2 解析：选 D 由题意可知焦点 F(1,0)，设 A(xA， yA)， 由 |AF| 3 xA 1，得 xA 2，又点 A 在第一象限， 故 A(2,2 2)，故直线 l 的斜率为 2 2. 2若直线 y kx 2 与抛物线 y2 x 有一个公共点，则实数 k 的值为 ( ) A. 18 B 0

2、 C. 18 或 0 D 8 或 0 解析：选 C 由? y kx 2，y2 x， 得 ky2 y 2 0， 若 k 0，直线与抛物线有一个交点，则 y 2， 若 k0 ，则 1 8k 0， k 18， 综上可知 k 0 或 18. 3已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)，过点 P(3,6)的直线 l 与 C 相交于 A， B 两点，且 AB 的中点为 N(12,15)，则双曲线 C 的离心率为 ( ) A 2 B.32 C.3 55 D. 52 解析：选 B 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由 AB 的中点为 N(12,15)， 得 x1 x2 24， y1

3、 y2 30， 由? x21a2 y21b2 1，x22a2y22b2 1，两式相减得 ： x1 x2 x1 x2a2 y1 y2 y1 y2b2 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 y1 y2x1 x2 b2 x1 x2a2 y1 y2 4b25a2. 由直线 AB 的斜率 k 15 612 3 1， 4b25a2 1， 则b2a254， 双曲线的离心率 e ca 1 b2a232. 4已知抛物线 C： y2 8x 与点 M( 2,2)，过 C 的焦点且斜率为 k 的直线与 C 交于 A， B两点若 MA MB 0，则 k ( ) A.12 B. 22 C. 2 D 2 解析：选 D

4、如图所示，设 F 为焦点， 取 AB 的中点 P，过 A， B分别作准线 l 的垂线，垂足分别为 G， H，连接 MF， MP， 由 MA MB 0，知 MA MB，则 |MP| 12|AB| 12(|AG| |BH|)， 所以 MP 为直角梯形 BHGA 的中位线， 所以 MP AG BH，所以 GAM AMP MAP， 又 |AG| |AF|， AM 为公共边，所以 AMG AMF， 所以 AFM AGM 90 ，则 MF AB，所以 k 1kMF 2. 5已知 F 是双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的右焦点， A， B 分别为其左、右顶点 O 为坐标原点， D 为其上一点

5、， DF x 轴过点 A 的直线 l 与线段 DF 交于点 E，与 y 轴交于点 M，直线 BE 与 y 轴交于点 N，若 3|OM| 2|ON|，则双曲线的离心率为 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 解析：选 C 如图，设 A( a,0)， B(a,0)， M(0， 2m)， N(0， 3m) 则直线 AM 的方程为 y 2max 2m，直 线 BN 的方程为 y 3max 3m. 直线 AM， BN 的交点 D(c， y0)， 2mca 2m 3mca 3m，则 ca 5， 双曲线的离心率为 5. =【 ;精品教育资源文库 】 = 6斜率为 1 的直线 l 与椭圆 x24 y2 1

6、相交于 A， B 两点，则 |AB|的最大值为 ( ) A 2 B.4 55 C.4 105 D.8 105 解析：选 C 设 A， B 两点的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)，直线 l 的方程为 y x t， 由? x2 4y2 4，y x t 消去 y，得 5x2 8tx 4(t2 1) 0. 则 x1 x2 85t， x1x2 t25 . |AB| 1 k2|x1 x2| 1 k2 x1 x2 2 4x1x2 2 ? ? 85t 2 4 t25 4 25 5 t2， 故当 t 0 时， |AB|max 4 105 . 二、填空题 7焦点是 F(0,5 2)，并截直线 y

7、2x 1 所得弦的中点的横坐标是 27的椭圆的标准方程为 _ 解析：设所求的椭圆方程为 y2a2x2b2 1(ab0)，直线被椭圆所截弦的端点为 A(x1， y1)，B(x2， y2) 由题意，可得弦 AB 的中点坐标为 ? ?x1 x22 ， y1 y22 ， 且 x1 x22 27， y1 y22 37. 将 A， B 两点坐标代入椭圆方程中，得? y21a2 x21b2 1，y22a2x22b2 1.两式相减并化简，得 a2b2y1 y2x1 x2y1 y2x1 x2 2 6747 3， 所以 a2 3b2.又 c2 a2 b2 50，所以 a2 75， b2 25. 故所求椭圆的标准方

8、程为 y275x225 1. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案： y275x225 1 8经过双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的右焦点，倾斜角为 60 的直线与双曲线有且只有一个交点，则该双曲线的离心率为 _ 解析： 经过双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的右焦点， 倾斜角为 60 的直线与双曲线有且只有一个交点， 根据双曲线的几何性质知所给直线应与双曲线的一条渐近线 y bax 平行， ba tan 60 3，即 b 3a， c a2 b2 2a，故 e ca 2. 答案： 2 9抛物线 x2 4y 与直线 x 2y 2 0 交于 A， B 两点，且 A，

9、 B 关于直线 y 2x m对称，则 m 的值为 _ 解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2), 联立? x2 4y，x 2y 2 0 消去 y，得 x2 2x 4 0. 则 x1 x2 2， x1 x22 1. y1 y2 12(x1 x2) 2 3， y1 y22 32. A， B 关于直线 y 2x m 对称， AB 的中点在直线 y 2x m 上， 即 32 21 m，解得 m 72. 答案： 72 三、解答题 10椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的离心率为33 ，过右焦点 F2(c,0)垂直于 x 轴的直线与椭圆交于 P， Q 两点且 |PQ| 4 33 ，又

10、过左焦 点 F1( c,0)作直线 l 交椭圆于两点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)若椭圆 C 上两点 A， B 关于直线 l 对称，求 AOB 面积的最大值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解： (1)由题意可知 |PQ| 2b2a 4 33 . 又椭圆的离心率 e ca 1 b2a233 ，则b2a223， 由 解得 a2 3， b2 2， 椭圆的方程为 x23y22 1. (2)由 (1)可知左焦点 F1( 1,0), 依题意，直线 l 不垂直 x 轴，当直线 l 的斜率 k0 时，可设直线 l 的方程为 y k(x1)(k0) ，则直线 AB 的方程可设为 y 1kx m， A(

11、x1， y1)， B(x2， y2)， 联立? y 1kx m，x23y22 1，整理得 (2k2 3)x2 6kmx 3k2m2 6k2 0， ( 6km)2 4(2 k2 3)(3k2m2 6k2) 0， 则 m2k2 2k2 3 0， x1 x2 6km2k2 3， x1x2 3k2m2 6k22k2 3 . 设 AB 的中点为 C(xC， yC)， 则 xC x1 x22 3km2k2 3， yC 2k2m2k2 3. 点 C 在直线 l 上， 2k2m2k2 3 k?3km2k2 3 1 ， 则 m 2k 3k， 此时 m2 2 3k2 4k2 6k2 10 0 与 矛盾，故 k0

12、时不成立 . 当直线 l 的斜率 k 0 时， A(x0， y0)， B(x0， y0)(x0 0， y0 0)， AOB 的面积 S 122 y0 x0 x0y0. x203y202 12 x203y20263 x0y0， x0y062 . 当且仅当 x203y20212时取等号 AOB 的面积的最大值为 62 . 11已知抛物线 E： y2 2px(p 0)的焦点 F， E 上一点 (3， m)到焦点的距离为 4. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求抛物线 E 的 方程； (2)过 F 作直线 l，交抛物线 E 于 A， B 两点，若直线 AB 中点的纵坐标为 1，求直线 l的方程

13、 解： (1)抛物线 E： y2 2px(p 0)的准线方程为 x p2， 由抛物线的定义可知 3 ? ? p2 4， 解得 p 2， 抛物线 E 的方程为 y2 4x. (2)法一： 由 (1)得抛物线 E 的方程为 y2 4x，焦点 F(1,0)， 设 A， B 两点的坐标分别为 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则? y21 4x1，y22 4x2， 两式相减，整理得 y2 y1x2 x1 4y2 y1(x1 x2) 线段 AB 中点的纵坐标为 1， 直线 l 的斜率 kAB 4y2 y1 4 2， 直线 l 的方程为 y 0 2(x 1)，即 2x y 2 0. 法二： 由

14、(1)得抛物线 E 的方程为 y2 4x，焦点 F(1,0)， 设直线 l 的方程为 x my 1， 由? y2 4x，x my 1 消去 x，得 y2 4my 4 0. 设 A， B 两点的坐标分别为 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 线段 AB 中点的纵坐标为 1， y1 y22 4m2 1，解得 m 12， 直线 l 的方程为 x 12y 1，即 2x y 2 0. 12 (2018 海口调研 )已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左，右顶点分别为 A， B，其离心率 e 12，点 M 为椭圆上的一个动点， MAB 面积的最大值是 2 3. (1)求椭圆 C 的方程

15、； (2)若过椭圆 C 右顶点 B 的直线 l 与椭圆的另一个交点为 D，线段 BD 的垂直平分线与 y轴交于点 P，当 PB PD 0 时，求点 P 的坐标 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解： (1)由题意可知? e ca 12，122 ab 2 3，a2 b2 c2，解得 a 2， b 3，所以椭圆方程为 x24y23 1. (2)由 (1)知 B(2,0)，设直线 BD 的方程为 y k(x 2)， D(x1， y1)， 把 y k(x 2)代入椭圆方程 x24y23 1， 整理得 (3 4k2)x2 16k2x 16k2 12 0， 所以 2 x1 16k23 4k2?x18k2 63 4k2，则 D?8k2 63 4k2， 12k3 4k2 ， 所以 BD 中点的坐标为 ? ?8k23 4k2， 6k3 4k2 ， 则直线 BD 的垂直平分线方程为 y 6k3 4k2 1k? ?x 8k23 4k2 ，得 P?0， 2k3 4k2 . 又 PB PD 0，即 ? ?2， 2k3 4k2 ? ?8k2 63 4k2， 14k3 4k2 0， 化简得 64k4 28k2 36 4k2 2 0?64k4 28k2 36 0， 解 得 k 34. 故 P?