车辆优化设计理论与实践第3章课件.ppt
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1、车辆优化设计理论与实践江苏大学江苏大学汽车与交通工程学院汽车与交通工程学院 车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件第第3章章 无约束优化方法无约束优化方法n 3.1 概述n 3.2 坐标轮换法n 3.3 鲍威尔方法n 3.4 最速下降法n 3.5 牛顿型方法n 3.6 共轭梯度法n 3.7 变尺度法n 3.8无约束优化方法的选用 车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.1 概述o 当机械优化设计的很多问题,都是在一定的限制条件下追求某一指标为最小,所以它们都属于约束优化问题。但是,也有些实际问题,其数学模型本身数学模型本身就是一个无约束优化问题就是
2、一个无约束优化问题,或者除了在非常接近最终极小点的情况下,都可以按无约束问题来处理。o 另外研究无约束优化问题的另一个原因是,通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础。除此以外,约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来达到。所以无约束优化问题的无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分,也是优化方解法是优化设计方法的基本组成部分,也是优化方法的基础。法的基础。车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.1 概述o 按下述公式不断进行,形成迭代的下降算法。o 各种无约束优化方法的区别就在于确定其搜索方向的方法不同。所以,搜索方向 的构成问题乃是无约束
3、优化方法的关键。 o 根据构成搜索方向所使用的信息性质的不同,无约束优化方法可以分为两类。一类是只利用目标函数值的无约束优化方法,如坐标轮换法,鲍威尔(Powell)法等。另一类是利用目标函数的一阶或二阶导数的无约束优化方法,如最速下降法、共轭梯度法、牛顿法及变尺度法等。 ( )(1)( )kkkkSXX( )kS车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.1 概述o 对于无约束优化问题的求解,可以直接应用第2章讲述的极值条件来确定极值点位置。 o 除了一些特殊情况外,一般说来非线性方程组的求解与求无约束极值一样也是一个困难问题,甚至前者比后者更困难。一般用数值计算方法直接
4、求解无约束极值问题。 o 数值计算方法最常用的是搜索方法,其基本思想是从给定的初始点出发,沿某一搜索方向进行搜索,确定最佳步长使函数值沿方向下降最大。车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.2 坐标轮换法3.2.1 坐标轮换法的算法原理o 1基本思想 将一个n维问题转化为一系列的一维优化问题来求解,是一个降维的思想,具体来说,就是沿着坐标方向轮流搜索,每次n1个变量固定,只对一个变量作一维搜索,首先沿第一个坐标轴方向 进行一维搜索,求出该方向上目标函数最小的点或函数值有所下降的点 ,再以为起点,沿第二坐标轴方向 进行一维搜索,找到点 ,依次进行至 ,得到迭代点 ,到此完
5、成一轮迭代 。1= 1 00TE, ,2=1 00TE0, , ,(1)1X(1)2X=01TnE0, ,(1)nX车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.2 坐标轮换法o 图3-1 坐标轮换法的迭代过程车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.2 坐标轮换法o2步长的确定 步长的选择可有下面三种方法。 1)随即选择法 随机选择步长,只要保证函数值下降。 2)最优步长法 利用一维搜索来完成该方向上的最优步长,该方法的每一步均可最大限度地减小目标函数值,故可期望收敛得更快些,但程序稍微复杂。 3)加速步长法 这方法是开始选一个不大的初始步长,在每一次
6、搜索中,都是以 开始,随后在函数值下降的情况下以 , , 倍增的速度加大步长,直至函数值不再下降,取其前步长为最终步长,这种办法较简单,程序易编制。 000204车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.2 坐标轮换法例3-1 求min ,o 初始点为o 解:从 出发,沿 方向搜索,得 点:o 由 得 42112( )=2+2f Xxxx(0)03X (0)X1E(1)1X0130111)0()1(1EXX21411)6()2()(13. 31车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.2 坐标轮换法o 得:o 从 出发,沿 方向搜索,求得o 由 得(
7、1)13.13=3X(1)1X2E(1)2X10313. 3222)1(1)1(2EXX2242)287. 2()13. 1 ()(44. 12(1)23.13=1.56X车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.2 坐标轮换法o 将 ,进行第二轮迭代,按此法迭代下去,经7步(14次)迭代,可得到点 ,目标函数值为0.002,此问题的最优解应为, (1)(0)2XX2.221.11TX *2,1TX *0fX车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.2 坐标轮换法3迭代步骤o 取初始点,判别收敛精度,维数n。o 求单变量极值问题的最优解,以求出 。
8、min o 判别是否满足 ,若 ,则转;若in,则令 ,转到。o 检验是否满足精度要求 若满足判别准则,则迭代停止,即所求;否则 转。1)()()()(1)()(1kiikikikiEXfEXf)()(1)(kiikikiEXX( )( )( )1kkkiiiiXXEinin1ii ( )(0)nXX车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.2 坐标轮换法4坐标轮换法讨论o坐标轮换法具有程序简单,易于掌握的优点,但它的计算效率较低,因此它虽然步步在登高,但相当于沿两个垂直方向在爬山,路途迂回曲折,收敛很慢,因此它适用于维数较低(一般10)的目标函数求优。o另外对于如图3-
9、2所示的有“脊线”的目标函数等值线的情形,如果迭代点出现在脊线上点时,沿两个坐标轴方向均不能使函数值下降,而只有在一定范围内的方向才能使函数值下降,这就出现了病态而导致迭代失效。车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.2 坐标轮换法 3.2.2 算法的MATLAB实现o在在MATLAB中编程实现的坐标轮换法函数为:中编程实现的坐标轮换法函数为:minZB。o 功用:用坐标轮换法求解函数的极值。功用:用坐标轮换法求解函数的极值。o 调用格式:调用格式:x,minf = minZB(f,x0, delta,gama,sita,var,eps) 其中,其中,f: 目标函数目标
10、函数;o x0: 初始点;初始点;o delta: 初始步长;初始步长;ogama: 加速系数;加速系数;osita:收缩系数;收缩系数;ovar:自变量向量;:自变量向量;o eps: 精度;精度;车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.2 坐标轮换法o 3.2.3 算法举例例例3-2用坐标轮换法求下列函数的极小值。用坐标轮换法求下列函数的极小值。 sttsststf3423),(22车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.3 鲍威尔法3.3.1 鲍威尔法的基本原理o鲍威尔法是直接利用函数值来构造共轭方向的一种共轭方向法。其基本思想是在不用导数
11、的前提下,在迭代中逐次构造共轭方向。鲍威尔的基本算法是:在每一轮迭代中总有一个始点(第一轮的始点是任选的初始点)和个线性独立的搜索方向。o从始点出发顺次沿个方向作一维搜索得一终点,由始点和终点决定了一个新的搜索方向。用这个方向替换原来个方向中的一个,于是形成新的搜索方向组。替换的原则是去掉原方向组的第一个方向而将新方向排在原方向的最后。o此外规定,从这一轮的搜索终点出发沿新的搜索方向作一维搜索而得到的极小点,作为下一轮迭代的始点。这样就形成算法的循环。因为这种方法在迭代中逐次生成共轭方向,而共轭方向是较好的搜索方向,所以鲍威尔法又称作方向加速法。车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学
12、课件教学课件3.3 鲍威尔法o鲍威尔法的寻优过程如图所示。鲍威尔法的寻优过程如图所示。 车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.3 鲍威尔法例3-3 用Powell法求解。o 解:由o 得o 由 221212131222fXxxx xx(0)24TX 0142111)0()1(EXX41(1)24X 1042222)1()2(EXX车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.3 鲍威尔法o 得o 得22(2)22X (3)(2)(0)224242SXX 1723(3)26173817X 车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.
13、3 鲍威尔法o 第一轮迭代结束。以 作为新的起始点, 作为新的起始方向进行下一轮迭代。o 由o 得o 由 得)3(X)2(S(0)(3)XX(2)(1)SS17121(1)26173817X (3)(2)SS289182(2)370289478289X 车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.3 鲍威尔法o 由o 得o 本例中 (3)(2)(0)3702672289172894783816828917289SXX983(3)*11XX (3)(3)723128942012168289TSHS车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.3 鲍威尔法o把
14、二维情况的基本算法扩展到维,则鲍威尔基本算法的要点是:在每一轮迭代中总有一个始点(第一轮的始点是任选的初始点)和个线性独立的搜索方向。从始点出发顺次沿个方向作一维搜索得一终点,由始点和终点决定了一个新的搜索方向。用这个方向替换原来个方向中的一个,于是形成新的搜索方向组。替换的原则是去掉原方向组的第一个方向而将新方向排在原方向的最后。o在鲍威尔基本算法中,每一轮迭代都用连结始点和终点所产生出得搜索方向去替换原向量组中得第一个向量,而不管它的“好坏”,这是产生向量组线性相关的原因所在。因此在改进的算法中首先判断原向量组是否需要替换。如果需要替换,还要进一步判断原向量组中哪个向量最坏,然后再用新产生
15、的向量替换这个最坏的向量,以保证逐次生成共轭方向。车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.3 鲍威尔法3.3.2 算法的MATLAB实现o在MATLAB中编程实现的Powell法函数为:minPowell。o 功用:用Powell法求解函数的极值。o 调用格式:x,minf = minPowell(f,x0, P,var,eps)o 其中,f: 目标函数;o x0: 初始点;o P: 线性无关的初始向量组;o var:自变量向量;o eps: 精度;o
16、 x: 目标函数最小值时的自变量值;o minf:目标函数的最小值。车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.3 鲍威尔法3.3.3 算法举例o 例例3-5用坐标轮换法求下列函数的极小值。用坐标轮换法求下列函数的极小值。 sttsststf3423),(22车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.4 最速下降法最速下降法 3.4.1最速下降法的算法原理o 如前所述,函数的梯度方向是函数上升最快的方向,也就是说,函数的负梯度方向是函数下降最快的方向。因此,将搜索方向取该点的负梯度方向(最速下降方向),就能使函数值在该点附近的范围内下降最快。按此规律不
17、断走步,就形成了最速下降法迭代公式:(1)( )( )()kkkkfXXX车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.4 最速下降法最速下降法 3.4.1最速下降法的算法原理o 由于最速下降法是以负梯度方向作为搜索方向,所以最速下降法又称梯度法。为了使目标函数值沿搜索方向 能获得最大的下降值,其步长因子应取一维搜索的最佳步长。o 在最速下降法中,相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。而搜索方向就是负梯度方向,因此相邻两个搜索方向互相垂直。这就是说在最速下降法中,迭代点向函数极小点靠近的过程,走的是曲折的路线。这一次的搜索方向与前一次的搜索方向互相垂直,形成“之”字形的锯齿现象
18、。从直观上可以看到,在远离极小点的位置,每次迭代可使函数值有较多的下降。 车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.4 最速下降法最速下降法 最速下降法的搜索过程 车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.4 最速下降法最速下降法例 3-6 用最速下降法求目标函数 的极小点。o 解: 取初始点 o 则初始点处函数值及梯度分别为2212()25f Xxx(0)2,2TX(0)()104fX(0)1(0)224()50100 xfXxX车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.4 最速下降法最速下降法o 沿负梯度方向进行一维搜索,有
19、o 为一维搜索最佳步长o 第一次迭代设计点位置和函数值 0(1)(0)(0)0002424()21002 100fXXX 006260.02003072312520(1)0241.9198772 1000.003071785X(1)()3.686164fX车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.4 最速下降法最速下降法o 从而完成了最速下降法的第一次迭代。继续作下去,经10次迭代后,得到最优解*0 0TX,*()0fX车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.4 最速下降法最速下降法 3.4.2 算法的MATLAB实现o在在MATLAB中编程实现的
20、最速下降法函数为:中编程实现的最速下降法函数为:minZSXJ。o 功用:用最速下降法法求解函数的极值。功用:用最速下降法法求解函数的极值。o 调用格式:调用格式:x,minf = minZSXJ(f,x0,var,eps)o 其中,其中,f: 目标函数目标函数;o x0: 初始点;初始点;o var:自变量向量;:自变量向量;o eps: 精度;精度;o x: 目标函数最小值时的自变量值;目标函数最小值时的自变量值;o minf:目标函数的最小值。:目标函数的最小值。车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.4 最速下降法最速下降法 3.4.3 算法举例o 例例3-7
21、用最速下降法求下列函数的极小值。用最速下降法求下列函数的极小值。1)2()4(),(22ststf车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.5 牛顿型方法3.5.1 牛顿法的算法原理o 牛顿方法和最速下降法一样,也是求解极值问题古老的算法之一。o 在第2章中我们已讨论过一维搜索的牛顿方法。对于一元函数,假定已给出极小点的一个较好的近似点,则在处将函数 进行泰勒展开到二次项,得二次函数。按极值条件得 的极小点,用它作为的第一个近似点。然后再在处进行泰勒展开,并求得第二个近似点。如此迭代下去,得到一维情况下的牛顿迭代公式+1kkkkfxxxfx车辆优化设计理论与实践车辆优化设
22、计理论与实践教学课件教学课件3.5 牛顿型方法3.5.1 牛顿法的算法原理o 对于多元函数 o 多元函数求极值的牛顿法迭代公式 ()f X()()f XX2( )( )( )( )( )( )1()()()()()()2TTkkkkkkffXfXXXXXXXX(1)()0kX2( )( )(1)( )()()()0kkkkffXXXX12(1)( )( )( )()()kkkkffXXXX车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.5 牛顿型方法例3-8 用牛顿法求 的极小值。o 解: 取初始点 ,则初始点处的函数梯度、海赛矩阵及其逆阵分别是221212(,)25f x x
23、xx(0)2 2TX,1(0)224()50100 xfXx12(0)102()1050fX车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.5 牛顿型方法o 代入牛顿法迭代公式,得o 从而经过一次迭代即求得极小点 及函数极小值 。 12(1)(0)(0)(0)102402()()121000050ffXXXX *0,0X*()0fX车辆优化设计理论与实践车辆优化设计理论与实践教学课件教学课件3.5 牛顿型方法o 3.5.1 牛顿法的算法原理o 对于多元函数 o 多元函数求极值的牛顿法迭代公式 ()f X()()f XX2( )( )( )( )( )( )1()()()()()
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