全国通用版2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用课时达标检测十六导数与函数的综合问题（文科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（十六） 导数与函数的综合问题 一般难度题 全员必做 1 (2017 全国卷 )设函数 f(x) (1 x2)ex. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)当 x0 时， f(x) ax 1，求 a 的取值范围 解： (1)f( x) (1 2x x2)ex. 令 f( x) 0，得 x 1 2或 x 1 2. 当 x ( ， 1 2)时， f( x) 0； 当 x ( 1 2， 1 2)时， f( x) 0； 当 x ( 1 2， ) 时， f( x) 0. 所以 f(x)在 ( ， 1 2)， ( 1 2， ) 上单调递减，在 ( 1 2， 1

2、 2)上单调递增 (2)f(x) (1 x)(1 x)ex. 当 a1 时，设函数 h(x) (1 x)ex，则 h( x) xex 0(x 0) 因此 h(x)在 0， ) 上单调递减， 又 h(0) 1，故 h(x)1 ， 所以 f(x) (x 1)h(x) x 1 ax 1. 当 0 a 1 时，设 函数 g(x) ex x 1， 则 g( x) ex 1 0(x 0)， 所以 g(x)在 0， ) 上单调递增，而 g(0) 0， 故 ex x 1. 当 0 x 1 时， f(x) (1 x)(1 x)2， (1 x)(1 x)2 ax 1 x(1 a x x2)， 取 x0 5 4a

3、12 ， 则 x0 (0,1)， (1 x0)(1 x0)2 ax0 1 0， 故 f(x0) ax0 1. 当 a0 时，取 x0 5 12 ， 则 x0 (0,1)， f(x0) (1 x0)(1 x0)2 1 ax0 1. 综上， a 的取值范围是 1， ) 2 (2018 沈阳监测 )已知函数 f(x) aln x(a0)， e 为自然对数的底数 (1)若过点 A(2， f(2)的切线斜率为 2，求实数 a 的值； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)当 x0 时，求证 f(x) a? ?1 1x ； (3)若在区间 (1， e)上 exa e1a x0)， 则 g( x) a?

4、?1x 1x2 . 令 g( x)0，即 a? ?1x 1x2 0，解得 x1， 令 g( x)x 1ln x. 令 h(x) x 1ln x，则 h( x)ln x 1 1xx 2 ， 由 (2)知，当 x (1， e)时， ln x 1 1x0， h( x)0，即 h(x)在 (1， e)上单调递增， h(x)0) =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 k 2 时， f( x) 1x2 2x ? ?1x 1 2 11 ，当且仅当 x 1 时，等号成立 所以函数 f(x)的图象的切线斜率中的最大值为 1. (2)因为关于 x 的方程 f(x) k 有解，令 g(x) f(x) k 1x kl

5、n x k，则问题等价于函数 g(x)存在零点 g( x) 1x2 kx kx 1x2 .当 k0， g(e1 1k) 1e1 1k k? ?1 1k k 1e1 1k 10 时，令 g( x) 0，得 x 1k.g( x)，g(x)随 x 的变化情况如下表： x ? ?0， 1k 1k ? ?1k， g( x) 0 g(x) 极小值 所以 g? ?1k k k kln 1k kln k 为函数 g(x)的最小值，当 g? ?1k 0，即 00，所以函数 g(x)存在零点综上，当 k0， f(x)在 (1， ) 单调递 增 所以，存在 x01 ，使得 f(x0)1，故当 x ? ?1， a1

6、a 时， f( x)0.f(x)在 ? ?1， a1 a 单调递减，在 ? ?a1 a， 单调递增 所以，存在 x01 ，使得 f(x0)aa 1，所以不合题意 若 a1，则 f(1) 1 a2 1 a 12 0 恒成立，则函数 f(x)在 (0， ) 上单调递增，无单调递减区间； 当 m0 时，由 f( x) 1 mxx 0，得 x ? ?0， 1m ， 由 f( x) 1 mxx 0 时，函数 f(x)的单调递增区间是 ? ?0， 1m ，单调递减区间是 ? ?1m， . (2)由 (1)知：当 m0 时， f(x)在 (0， ) 上单调递增， f(1) 0，显然不符合题意； =【 ;精品

7、教育资源文库 】 = 当 m0 时， f(x)max f? ?1m ln 1m 1 m m ln m 1， 只需 m ln m 10 即 可 令 g(x) x ln x 1，则 g( x) 1 1x x 1x ， x (0， ) ， g(x)在 (0,1)上单调递减，在 (1， ) 上单调递增 g(x)min g(1) 0. g(x)0 对 x (0， ) 恒成立， 也就是 m ln m 10 对 m (0， ) 恒成立， 由 m ln m 1 0，解得 m 1. 若 f(x)0 在 (0， ) 上恒成立，则 m 1. (3)证明： f b f ab a ln b ln a a bb a ln

8、 b ln ab a 1ln baba 1 1a 1. 由 (2)得 f(x)0 在 (0， ) 上恒成立，即 ln x x 1，当且仅当 x 1 时取等号 又由 01， 0ln baba 1，即ln baba 11. 则ln baba 1 1a 11a 1 1 aa 1 a2a a 1a a . 较高难度题 学霸做 1 (2017 天津高考 )设 a， b R， |a|1. 已知函数 f(x) x3 6x2 3a(a 4)x b， g(x) exf(x) (1)求 f(x)的单调区间； (2)已知函数 y g(x)和 y ex的图象在公共点 (x0， y0)处有相同的切线， 求证： f(x)

9、在 x x0处的导数等于 0； 若关于 x 的不等式 g(x)e x在区间 x0 1， x0 1上恒成立，求 b 的取值范围 解： (1)由 f(x) x3 6x2 3a(a 4)x b， 可得 f( x) 3x2 12x 3a(a 4) 3(x a)x (4 a) 令 f( x) 0，解得 x a，或 x 4 a. 由 |a|1 ，得 a 4 a. 当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表： x ( ， a) (a,4 a) (4 a， ) =【 ;精品教育资源文库 】 = f( x) f(x) 所以 f(x)的单调递增区间为 ( ， a)， (4 a， ) ，单调递减区间为

10、 (a,4 a) (2) 证明：因为 g( x) exf(x) f (x)， 由题意知? g x0 ex0，g x0 ex0， 所以? f x0 x0 ex0，ex0f x0 f x0 ex0， 解得? f x0 1，f x0 0. 所以 f(x)在 x x0处的导数等于 0. 因为 g(x)e x， x x0 1， x0 1， 由 ex 0，可得 f(x)1. 又因为 f(x0) 1， f( x0) 0， 所以 x0为 f(x)的极大值点，结合 (1)知 x0 a. 另一方面，由于 |a|1 ，故 a 1 4 a， 由 (1)知 f(x)在 (a 1， a)内单调递增，在 (a， a 1)内

11、单调递减， 故当 x0 a 时， f(x) f(a) 1 在 a 1， a 1上恒成立，从而 g(x)e x在 x0 1， x0 1上恒成立 由 f(a) a3 6a2 3a(a 4)a b 1， 得 b 2a3 6a2 1， 1 a1. 令 t(x) 2x3 6x2 1， x 1,1， 所以 t( x) 6x2 12x，令 t( x) 0， 解得 x 2(舍去 )或 x 0. 因为 t( 1) 7， t(1) 3， t(0) 1， 因此 t(x)的值域为 7,1 所以 b 的取值范围是 7,1 2 (2016 四川高考 )设函数 f(x) ax2 a ln x， g(x) 1x eex，其中

12、 a R， e 2.718为自然对数的底数 (1)讨论 f(x)的单调性； (2)证明：当 x 1 时， g(x) 0； (3)确定 a 的所有可能取值，使得 f(x) g(x)在区间 (1， ) 内恒成立 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解： (1)由题意得 f( x) 2ax 1x 2ax2 1x (x 0) 当 a0 时， f( x) 0， f(x)在 (0， ) 内单调递减 当 a 0 时，由 f( x) 0 得， x 12a， 当 x ? ?0， 12a 时， f( x) 0， f(x)单调递减； 当 x ? ?12a， 时， f( x) 0， f(x)单调递增 (2)证明：令 s

13、(x) ex 1 x，则 s( x) ex 1 1. 当 x 1 时， s( x) 0，所以 ex 1 x， 从而 g(x) 1x 1ex 1 0. (3)由 (2)知，当 x 1 时， g(x) 0. 当 a0 ， x 1 时， f(x) a(x2 1) ln x 0. 故当 f(x) g(x)在区间 (1， ) 内恒成立时，必有 a 0. 当 0 a 12时， 12a 1. 由 (1)有 f? ?12a f(1) 0，而 g? ?12a 0， 所以此时 f(x) g(x)在区间 (1， ) 内不恒成立 当 a 12时，令 h(x) f(x) g(x)(x1) 当 x 1 时， h( x) 2ax 1x 1x2 e1 x x 1x 1x2 1x x3 2x 1x2 x2 2x 1x2 0. 因此， h(x)在区间 (1， ) 上单调递增 又因为 h(1) 0，所以当 x 1 时， h(x) f(x) g(x) 0 恒成立， 综上， a ? ?12， .