浙江专版2019版高考数学一轮复习第十二章概率与统计12.3离散型随机变量及其分布学案.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 12.3 离散型随机变量及其分布 考纲解读 考点 考纲内容 要求 浙江省五年高考统计 2013 2014 2015 2016 2017 1.离散型随机变量及其分布列 1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念 ,了解分布列对于刻画随机现象的重要性 . 2.理解两点分布和超几何分布的意义 ,并能进行简单的应用 . 理解 19(1), 7分 8,2分 2.离散型随机变量的均值与方差 理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念 ,能计算简单离散型随机变量的均值、方差 ,并能解决一些实际问 题 . 理解 19(2), 7分 9,5分 12,4分 8,2分

2、 分析解读 1.随机变量及其分布是概率统计部分的重要内容 ,是高中数学的主干知识 ,也是高考的热点 . 2.主要考查随机变量分布列的性质及运算求解能力 . 3.考查一般以解答题形式出现 ,以随机变量分布列为载体 ,综合计数原理、古典概型、等可能事件等考查学生分析问题、解决问题的能力及运算求解能力 . 4.预计 2019年高考试题中 ,对随机变量及其分布的考查必不可少 . 五年高考 考点一 离散型随机变量及其分布列 1.(2017课标全国 理 ,13,5 分 )一批产品的二等品率为 0.02,从这批产品中每次随机取一件 ,有放回地抽取 100次 ,X表示抽到的二等品件数 ,则 DX= . 答案

3、1.96 2.(2013浙江 ,19,14分 )设袋子中装有 a个红球 ,b个黄球 ,c 个蓝球 ,且规定 :取出一个红球得 1分 ,取出一个黄球得 2分 ,取出一个蓝球得 3分 . (1)当 a=3,b=2,c=1时 ,从该袋子中任取 (有放回 ,且每球取到的机会均等 )2个球 ,记随机变量 为取出此 2球所得分数之和 ,求 的分布列 ; (2)从该袋 子中任取 (每球取到的机会均 等 )1个球 ,记随机变量 为取出此球所得分数 .若 E= ,D= ,求abc. 解析 (1)由题意得 =2,3,4,5,6. 故 P(=2)= = , P(=3)= = , P(=4)= = , P(=5)=

4、= , =【 ;精品教育资源文库 】 = P(=6)= = . 所以 的分布列为 2 3 4 5 6 P (2)由题意知 的分布列为 1 2 3 P 所以 E()= + + = , D()= + + = , 化简得 解得 a=3c,b=2c,故 abc=3 21. 3.(2017课标全国 理 ,18,12 分 )某超市计划按月订购一种酸奶 ,每天进货量相同 ,进货成本每瓶 4元 ,售价每瓶6元 ,未售出的酸奶降价处理 ,以每瓶 2元的价格当天全部处理完 .根据往年销售经验 ,每天需求量与当天最高气温 (单位 :) 有关 .如果最高气温不低于 25,需求量为 500瓶 ;如果最高气温位于区间 2

5、0,25),需求量为 300瓶 ;如果最高气温低于 20,需求量为 200 瓶 .为了确定六月份的订购计划 ,统计了前三年六月份各天的最高气温数据 ,得下面的频数分布表 : 最高气温 10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40) 天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 . (1)求六月份这种酸奶一天的需求量 X(单位 :瓶 )的分布列 ; (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位 :元 ).当六月份这种酸奶一天的进货量 n(单位 :瓶 )为多少时 ,Y的数学期望达到最大值 ? 解析 本题考查随机变

6、量的分布列 ,数学期望 . (1)由题意知 ,X所有可能取值为 200,300,500,由表格数据知 P(X=200)= =0.2,P(X=300)= =0.4,P(X=500)= =0.4. 因此 X的分布列为 X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4 (2)由题意知 ,这种酸奶一天的需求量至多为 500瓶 ,至少为 200瓶 ,因此只需考虑 200n500. 当 300n500 时 , 若最高气温不低于 25,则 Y=6n-4n=2n; 若最高气温位于区间 20,25),则 Y=6300+2(n -300)-4n=1 200-2n; 若最高气温低于 20,则 Y=6200+2

7、(n -200)-4n=800-2n. 因此 EY=2n0.4+(1 200 -2n)0.4+(800 -2n)0.2=640 -0.4n. 当 200n10 000)=0.5+0.2=0.7, 由二项分布 ,3天中至少有 1天最大获利超过 10 000元的概率为 p=1-(1-p1)3=1-0.33=0.973. 10.(2015陕西 ,19,12分 )设某校新、老校区之间开车单程所需时间为 T,T只与道路畅通状况有关 ,对其容量为100的样本进行统计 ,结果如下 : T(分钟 ) 25 30 35 40 频数 (次 ) 20 30 40 10 (1)求 T的分布列与数学期望 ET; (2)

8、刘教授驾车从老校区出发 ,前往新校区作一个 50分钟的讲座 ,结束后立即返回老校区 ,求刘教授从 离开老校区到返回老校区共用时间不超过 120分钟的概率 . 解析 (1)由统计结果可得 T的频率分布为 T(分 钟 ) 25 30 35 40 频率 0.2 0.3 0.4 0.1 以频率估计概率得 T的分布列为 T 25 30 35 40 P 0.2 0.3 0.4 0.1 从而 ET=250.2+300.3+350.4+400.1=32( 分钟 ). (2)设 T1,T2分别表示往、返所需时间 ,T1,T2的取值相互独立 ,且与 T的分布列相同 . 设事件 A表示 “ 刘教授共用时间不超过 1

9、20分钟 ”, 由于讲座时间为 50分钟 ,所以事件 A对应于 “ 刘教授在路途中的时间不超过 70 分钟 ”. 解法一 :P(A)=P(T1+T27 0)=P(T1=25,T245)+P(T 1=30,T240)+P(T 1=35,T235)+P(T 1=40,T230) =0.21+0.31+0.40.9+0.10.5=0.91. 解法二 :P( )=P(T1+T270)=P(T1=35,T2=40)+P(T1=40,T2=35)+P(T1=40,T2=40) =0.40.1+0.10.4+0.10.1=0.09. 故 P(A)=1-P( )=0.91. 11.(2014天津 ,16,13

10、分 )某大学志愿者协会有 6名男同学 ,4名女同学 .在这 10名同学中 ,3名同学来自数学学院 ,其余 7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院 .现从这 10名同学中随机选取 3名同学 ,到希望小学进行支教活动 (每位同学被选到的可能性相同 ). (1)求选出的 3名同学是来自互不相同学院的概率 ; (2)设 X为选出的 3名同学中女同学的人数 ,求随机变量 X的分布列和数学期望 . 解析 (1)设 “ 选出的 3名同学是来自互不相同的学院 ” 为事件 A,则 P(A)= = . 所以选出的 3名同学是来自互不相同的学院的概率为 . (2)随机变量 X的所有可能取值为 0,1,2,3

11、. P(X=k)= (k=0,1,2,3). 所以随机变量 X的分布列是 X 0 1 2 3 P =【 ;精品教育资源文库 】 = 随机变量 X的数学期望 E(X)=0 +1 +2 +3 = . 12.(2014江西 ,21,14分 )随机将 1,2,?,2n(nN *,n2) 这 2n个连续正整数分成 A,B两组 ,每组 n个数 .A 组最小数为 a1,最大数为 a2;B组最小数为 b1,最大数为 b2.记 =a 2-a1,=b 2-b1. (1)当 n=3时 ,求 的分布列和数学期望 ; (2)令 C表示事件 “ 与 的取值恰好相等 ”, 求事件 C发生的概率 P(C); (3)对 (2)

12、中的事件 C, 表示 C的对立事件 ,判断 P(C)和 P( )的大小关系 ,并说明理由 . 解析 (1)当 n=3时 , 的所有可能取值为 2,3,4,5. 将 6个正整数平均分成 A,B 两组 ,不同的分组方法共有 =20种 ,所以 的分布列为 2 3 4 5 P E=2 +3 +4 +5 = . (2) 和 恰好相等的所有可能取值为 n-1,n,n+1,?,2n -2. 又 和 恰好相等且等于 n-1时 ,不同的分组方法有 2种 ; 和 恰好相等且等于 n时 ,不同的分组方法有 2种 ; 和 恰好相等且等 于 n+k(k=1,2,?,n -2)(n3) 时 ,不同的分组方法有 2 种 ,

13、 所以当 n=2时 ,P(C)= = , 当 n3 时 ,P(C)= . (3)由 (2)知当 n=2时 ,P( )= ,因此 P(C)P( ), 而当 n3 时 ,P(C)120 发电机最多可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行 ,则该台年利润为 5 000万元 ;若某台发电机未运行 ,则该台年亏损 800万元 .欲使水电站年总利润的均值达到最大 ,应安装发电机多少台 ? 解析 (1)依题意 ,p1=P(40120)= =0.1. 由二项分布知 ,在未来 4年中至多有 1年的年入流量超过 120的概率为 p= (1-p3)4+ (1-p3)3p3= +4 =0.947 7. (2)记水电站

14、年总利润为 Y(单位 :万元 ). (i)安装 1台发电机的情形 . 由于水库年入流量总大于 40,故一台发电机运行的概率为 1,对应的年利润 Y=5 000,E(Y)=5 0001=5 000. (ii)安装 2台发电机的情形 . 依题意知 ,当 40X80时 ,一台发电机运行 ,此时 Y=5 000-800=4 200,因此 P(Y=4 200)=P(40X80)=p1=0.2;当X80 时 ,两台发电机运行 ,此时 Y=5 0002=10 000, 因此 P(Y=10 000)=P(X80)=p 2+p3=0.8,由此得 Y的分布列如下 : Y 4 200 10 000 P 0.2 0.8 所以 ,E(Y)=4 2000.2+10 0000.8=8 840.