欠阻尼振动课件.ppt
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- 阻尼 振动 课件
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1、第第9章章 振动和波振动和波 按照物质运动的形态,经典物理学分成力(包括声)、热、电、光等子学科。然而,某些形式的运动是横跨所有这些学科的,其中最典型的要算振动和波了。在力学中有机械振动和机械波,在电学中有电磁振荡和电磁波,声是一种机械波,光则是一种电磁波。量子力学又称波动力学。本章的意义绝不局限于力学,它将为学习整个物理学打基础。 DSP芯片一、简谐振动一、简谐振动 平衡与振动平衡与振动 处于静止状态的物体,我们称之为平衡,此时物体不受力或所受的合力为零。如果处于平衡位置的物体受到某种扰动而离开了平衡位置,则我们根据该物体以后能否保持平衡而将平衡分为以下四种:稳定平衡、亚稳平衡、不稳平衡和随
2、遇平衡,如图所示。 平衡与振动平衡与振动 我们仅讨论处于稳定平衡(严格地说,稳定平衡是理想情况,绝对的稳定平衡是没有的)或亚稳平衡而扰动较小的情况,此时物体将会发生振动。我们把振动的物体称为振子。 恢复力与弹性力恢复力与弹性力 图中的“弹簧振子”有一个平衡位置 O,在那个位置,弹簧既没有伸长也没有缩短,对物体不施加作用力,物体得以平衡。试把物体从平衡位置移开,例如移到P点,然后放手,拉长的弹簧有收缩的趋势,它施加于物体的作用力驱使物体向平衡位置移动。这种驱使物体向平衡位置移动的力叫作恢复力。 恢复力和惯性这一对矛盾不断斗争,它们的作用交替消长,力学系统就在平衡位置左右一定范围内来回振动。 恢复
3、力与弹性力恢复力与弹性力 弹簧振子的恢复力是弹簧的弹性力,其大小正比于弹簧的伸长或缩短。它满足胡克定律: kxF式中 x 是物体对平衡位置的位移,k 叫作弹性系数(或倔强系数),k 越大表示弹簧越硬。 由胡克定律可知弹性力有两个特点: 1. 因为弹性力 F 的指向总与位移 x 的方向相反,故弹性力 F 总是指向平衡位置,总是力图把质点拉回到平衡位置; 2. 因为 F 的数值大小正比于位移 x 的大小,所以物体偏离平衡位置越远,则它受到的拉回平衡点的力也越大。 恢复力与弹性力恢复力与弹性力 重力也可以成为恢复力。如图所示的单摆,如将小球从平衡位置拉到P点再松手,小球将在平衡位置O点附近往复摆动。
4、它的结构虽与上述弹簧振子完全不同,但它们的运动性质是十分相似的。 sinmgmgF式中负号表示 F 与角位移方向相反。 可见,单摆所受的虽不是弹性力,但小角度摆动时在形式上与弹性力完全相似。我们把这种与弹性力具有相似表达式的力,叫做准弹性力。 可以证明:一维保守力在稳定平衡位置附近一定是准弹性力。恢复力与弹性力恢复力与弹性力 取 V0 =0, x0 = 0,得弹性势能为: 221)(kxxV 势能的曲线示于图。由图可见,在一个严格的弹性力作用下的质点只可能作束缚运动,对任何大的能量 E,质点都不能作自由运动,而只能在下列有限范围内运动,即: maxminxxx其中: kExkEx2 ,2max
5、min 简谐振动的描述简谐振动的描述 1. 简谐振动解 如图所示,设弹簧振子的质量为 m,弹簧的倔强系数为 k,选取 x 轴,以平衡位置 O 为原点,则振子的运动方程为: kxxm 令:mk2解为:) cos(0tAx其中 为待定常数,由初始条件确定。称这种运动为简谐振动。 0 ,A简谐振动的描述简谐振动的描述 2. 简谐振动的特征参量 描绘一个简谐振动的特征参量有三个:振幅、角频率和相位。 (1) 振幅 A) cos(0tAxA 代表质点偏离中心(平衡位置)的最大距离,它正比于(E)1/2,即它的平方正比于系统的机械能,A2 E ;简谐振动的描述简谐振动的描述 2. 简谐振动的特征参量 (2
6、) 角频率(也称圆频率)) cos(0tAx振动的特征之一是运动具有周期性。完成一次完整的振动所经历的时间称为周期,用 T 表示。由上式可知周期 T 与角频率的关系为:T = 2 /。周期的倒数称为频率,= 1/T = /2。周期的单位是“秒”;频率的单位是“秒-1”,这有个专门的名称“赫兹(Hz)”;角频率的单位是“弧度秒(rad/s)”。对于弹簧振子,频率与周期为 kmTmk2 ,21可见弹簧振子的频率(或周期)由其固有参量和决定,而与初始条件无关,故称为振子的固有频率。 简谐振动的描述简谐振动的描述 2. 简谐振动的特征参量 (3) 相位(或位相) ) cos(0tAx0 t其中时刻 t
7、 = 0 的相位,称为初相位。相位是相对的,通过计时零点的选择,我们总可以使初相位:而多个简谐运动之间的相位差是重要的。00简谐振动的描述简谐振动的描述 3. 简谐振动的描述 (1) x-t曲线图示法 简谐振动可以用三角函数表示,也可用下边的曲线图表示,图上已将振幅、周期和初相标出。 简谐振动的描述简谐振动的描述 3. 简谐振动的描述 (2) 振幅矢量法 简谐振动还可以用旋转振幅矢量(也称相矢量)来表示。自原点画一条长等于振幅的矢量A,开始时 ( t=0 ),让矢量A与 x 轴的夹角等于振动的初位相,令A 以角速度(就是振动角频率)逆时针方向旋转,则矢量在轴上的投影就是振动的位移(如图)。 这
8、种表示简谐振动的方法清晰明了,它能比较直观地把振幅、频率和初位相表示出来,我们以后将经常用到这种表示法。 简谐振动的描述简谐振动的描述 3. 简谐振动的描述 (3) 复数法 利用三角函数与复数的关系,简谐振动也可用复数表示 ) (0tiAextieAx 或 0iAeA 其中:是复数,称复振幅,它已包含了初位相。但要注意,有意义的是上式的实部。 谐振子的能量谐振子的能量 下面计算简谐振动的能量。振子的坐标和速度为: ) cos(0tAx) sin( 0tAdtdxv其中 mk /2动能: ) (2cos1 2121) (sin2210202222tkAtmAmvEk势能: ) (2cos1 21
9、21) (cos2121020222tkAtkAkxV机械能: 2020222221) (cos) (sin22121kAttkAkxmvE此式表示简谐振动的机械能是守恒的。 谐振子的能量谐振子的能量 由前式可见动能和势能的变化频率都是原振子振动频率的两倍。不难求出,一个周期内动能、势能的时间平均值都等于总能量的二分之一。 dttkATdtETETkTk) (2cos1 2121110200E21dttkATVdtTVTT) (2cos1 2121110200E21简谐振动的演示 振动的合成与分解振动的合成与分解 简谐振动是最简单、最基本的振动,任何一个复杂的振动都可以看成若干个简谐振动的合成
10、。数学上称这种分解为傅里叶(Fourier)变换。 专用FFT芯片 1.方向、频率相同,初位相不同方向、频率相同,初位相不同的两个简谐振动的合的两个简谐振动的合 成成 设物体同时参与两个同方向、同频率的简谐振动,每个振动的位移与时间关系可表为 ) cos() cos(222111tAxtAx 利用振幅矢量法,由图不难看出,合运动仍是同频率的简谐振动,即 (余弦定理)) cos(21tAxxx2211221112212221coscossinsintan)cos(2AAAAAAAAA1.方向、频率相同,初位相不同方向、频率相同,初位相不同的两个简谐振动的合的两个简谐振动的合 成成由此可知,合振动
11、的振幅取决于两振动的位相差 , 2 , 1 , 0 ,2 ) 1 (12kk则 21AAA , 2 , 1 , 0 ,) 12( )2(12kk|21AAA12 ) 3(为一般值 则 则 2121 |AAAAA2.方向相同,频率不同的两个简方向相同,频率不同的两个简谐振动的合成谐振动的合成 设 ) cos() cos(22221111tAxtAx为简单起见,设 AAA2122cos22cos2)cos()cos(21212121221121ttAttAxxx若2121 , |2121 ,2有 2cos22cos22112121ttAx2.方向相同,频率不同的两个简方向相同,频率不同的两个简谐振
12、动的合成谐振动的合成 2cos22cos22112121ttAx此简谐振动的频率与原来两振动频率几乎相等 2121 ,2而振幅随时间的变化为 22cos22121tA由于振幅所涉及的是绝对值,故其变化周期由下式决定 T 2 21故振幅变化频率: | | 2 12121T2.方向相同,频率不同的两个简方向相同,频率不同的两个简谐振动的合成谐振动的合成 | | 2 12121T即两频率之差。这一现象称为拍,v称为拍频,拍的振动曲线如图所示。当两振动的振幅不等,即 A1 A2 时,也有拍现象,此时合振幅仍有时大时小的变化,但不会达到零。 2.方向相同,频率不同的两个简方向相同,频率不同的两个简谐振动
13、的合成谐振动的合成 校正乐器,例如校正钢琴,往往拿待校的钢琴同已校好的钢琴作比较,弹奏两架钢琴的同一个音键,细听有无拍的现象。如果听得出有拍的现象,说明尚未校准,必须再校,使得拍频越来越小直到拍完全消失为止,这一音键才算校准。 3. 方向垂直、频率相同的两个简谐方向垂直、频率相同的两个简谐振动的合成(二维振动)振动的合成(二维振动) 振动系统可以同时参与方向互相垂直的两个振动,例如单摆,就可以同时参与这样的两个振动。设一个振动沿 x 方向,一个沿 y 方向,即: ) cos() cos(yyxxtAytAx这实际上就是合振动的坐标参量方程。 二、阻尼振动二、阻尼振动 理想振动,振幅保持不变,振
14、动能量也保持不变。这只是实际情况的一种抽象,实际振动系统的振动,当无外界能量补充时,振幅都要随时间逐渐衰减,衰减的原因,一是有摩擦力存在,将振动能量逐渐变为热能耗散了;二是振动能量以波的形式向四周传播,使振动能量逐渐变为波的能量,本节讨论有摩擦力存在的振动。 人造卫星太阳能帆板的减振运动方程及其解运动方程及其解 我们主要考虑摩擦力与速度成正比的情形。当速度不大时,粘滞阻力就属这种情形。在考虑了粘滞阻力后,弹簧振子的运动方程变为 xhkxxm 其中h 称为阻尼系数。令: mk20mh20 是阻力不存在时振子的固有角频率, 称为阻尼因数或衰减常数。于是运动方程为: 0 220 xxx 这是常系数二
15、阶线性常微分方程。 运动方程及其解运动方程及其解 0 220 xxx 对于复杂问题,复数法能显示其优越性。该方程的解法是,视 x 为复数,用试探解 rtex 代入,其中 r 为待定常数。可解得: 20222021 ,rr于是方程的解可写成如下形式: trtreAeAx2121其中 A1, A2 为待定常数,由初始条件决定。 欠阻尼振动欠阻尼振动, , trtreAeAx212120222021 ,rr01. 振动解 令 220f将特解代入通解,得 ttitieeAeAxff 2 1)(取上式的实部得: ) cos(0 0teAxft此时振子的运动严格讲己不再是周期运动,但仍可看作振幅逐渐衰减的
16、周期运动,其振幅和周期为 teAA 02T 欠阻尼振动,欠阻尼振动, 2. 阻尼振子的能量 0) cos(0 0teAxft 000cos ( ) sin( )tfffdxvA ettdt 动能: 222 200011cos( )sin( )22tkfffEmvmA ett势能: ) (cos)(21) (cos212102 2202202 220202teAmteAmkxVftfft机械能: 2222 22200011221sin2( )2cos ( )2tffffEmvkxmA ett欠阻尼振动欠阻尼振动, 2. 阻尼振子的能量 022 2220001sin2( )2cos ( )2tff
17、ffEmA ett可见机械能并不守恒。当 0时,有 0f于是 2 22020 2202212121kAeAmeAmEttf对时间微商,得: 0) sin( ) ( cos2200 220tteAmdtdEffft和(9.2.11)式比较知: vhvhvdtdE)(2这是摩擦力的功率,即损失的能量用于克服摩擦力作功。 欠阻尼振动,欠阻尼振动, 3. 品质因数 0 衰减常数的大小反映了阻尼的大小。我们也可用一周中振子损失的能量在总能量中所占的比例来描写阻尼的大小。通常将 t 时刻时振子的能量 E 与经一周后损失的能量 E 之比的 2倍称为振子的品质因数,并用 Q 表之: EEQ2小阻尼情况下,根据
18、上面的能量表示式(9.2.15),可得 TTtteeeAmeAmQ 2 2 22020 22020112)1 (21212 欠阻尼振动,欠阻尼振动, 3. 品质因数 0TTtteeeAmeAmQ 2 2 22020 22020112)1 (21212因 T/20所以 2 220TQ可见,Q 仅由振动系统本身的性质决定。 奥迪轿车前后箱减振器 临界阻尼与过阻尼临界阻尼与过阻尼 过阻尼情况为 0此时 r1, r2 皆为实数 0 , 020222021rr由解的表达式(9.2.5)知: )exp()exp(20222021tAtAx其中 A1, A2 可由初条件决定,此时已没有振动现象(非三角函数)
19、。 临界阻尼与过阻尼临界阻尼与过阻尼 临界阻尼情况为 0此时 21rr 我们只得到了阻尼方程(9.2.3)的一个特解,为了求另一个特解,可令 tetAx )(代入阻尼方程,得阻尼方程的通解为: tetAAx 21)(其中 A1, A2 可由初条件决定,此时也没有振动现象。 临界阻尼状态之所以重要,是因为它所对应的回复时间,即由静止开始从偏离平衡位置的某处回复到平衡位置(在一定观察精度内)所需的时间,比欠阻尼和过阻尼状态都要短。 临界阻尼与过阻尼临界阻尼与过阻尼 阻尼的作用: 000欠阻尼:振动存在,但周期变长,振幅随时间减小,最终振动停止; 临界阻尼:不可能振动,但趋于平衡最快; 过阻尼:不可
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