浙江专版2019版高考数学一轮复习第十章圆锥曲线与方程10.6圆锥曲线的综合问题学案.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 10.6 圆锥曲线的综合问题 考纲解读 考点 考纲内容 要求 浙江省五年高考统计 2013 2014 2015 2016 2017 圆锥曲线的综合问题 1.了解圆锥曲线的简单应用 . 2.理解数形结合的思想 . 3.能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题 . 掌握 9,5 分 21(2),9分 9(文 ),5分 22(文 ), 约 9分 21,15分 17(文 ),4分 22(文 ), 约 10分 19,15分 19(文 ),15分 19(2),7分 19(2)(文), 9分 21(2), 约 9分 分析解 读 1.圆锥曲线的综合问题是高考的热点之一 ,主要

2、考查两大问题 :一是根据条件求出平面曲线的方程 ;二是通过方程研究平面曲线的性质 . 2.考查点主要有 :(1)圆锥曲线的基本概念和性质 ;(2)与圆锥曲线有关的最值、对称、位置关系等综合问题 ;(2)有关定点、定值问题 ,以及存在性等探索性问题 . 3.预计 2019年高考试题中 ,圆锥曲线的综合问题仍是压轴题之一 ,复习时应引起高度重视 . 五年高考 考点 圆锥曲线的综合问题 1.(2014福建 ,9,5分 )设 P,Q分别为圆 x2+(y-6)2=2和椭圆 +y2=1 上的点 ,则 P,Q 两点间的最大距离是 ( ) A.5 B. + C.7+ D.6 答案 D 2.(2014湖北 ,9

3、,5分 )已知 F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点 ,P 是它们的一个公共点 ,且 F 1PF2= ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为 ( ) A. B. C.3 D.2 答案 A 3.(2017浙江 ,21,15分 )如图 ,已知抛物线 x2=y,点 A ,B ,抛物线上的点 P(x,y) .过点 B作直线 AP的垂线 ,垂足为 Q. (1)求直线 AP斜率的取值范围 ; (2)求 |PA|PQ| 的最大值 . 解析 本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识 ,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力 . =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)设直线 AP的斜率

4、为 k,k= =x- , 因为 - b0),动直线 l与椭圆 C只有一个公共点 P,且点 P在第一象限 . (1)已知直线 l的斜率为 k,用 a,b,k表示点 P的坐标 ; (2)若过原点 O的直线 l1与 l垂直 ,证明 :点 P到直线 l1的距离的最大值为 a-b. 解析 (1)设直线 l的方程为 y=kx+m(kb0)的一个顶点 ,C1的长轴 是圆 C2:x2+y2=4 的直径 .l1,l2是过点 P且互相垂直的两条直线 ,其中 l1交圆 C2于 A,B两点 ,l2交椭圆 C1于另一点 D. (1)求椭圆 C1的方程 ; (2)求 ABD 面积取最大值时直线 l1的方程 . 解析 (1

5、)由题意得 所以椭圆 C1的方程为 +y2=1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线 l1的斜率存在 ,不妨设其为 k,则直线 l1的方程为 y=kx-1. 又圆 C2:x2+y2=4,故点 O到直线 l1的距离 d= , 所以 |AB|=2 =2 . 又 l2l 1,故直线 l2的方程为 x+ky+k=0. 由 消去 y,整理得 (4+k2)x2+8kx=0, 故 x0=- . 所以 |PD|= . 设 ABD 的面积为 S,则 S= |AB|PD|= , 所以 S= = , =【 ;精品教育资源文库 】 = 当且仅当 k= 时取等号 . 所以所求直

6、线 l1的方程为 y= x-1. 6.(2017课标全国 理 ,20,12 分 )已知椭圆 C: + =1(ab0),四点 P1(1,1),P2(0,1),P3 ,P4 中恰有三点在椭圆 C上 . (1)求 C的方程 ; (2)设直线 l不经过 P2点且与 C相交于 A,B两点 .若直线 P2A与直 线 P2B的斜率的和为 -1,证明 :l过定点 . 解析 本题考查了圆锥曲线的方程以及圆锥曲线与直线位置关系中的定点问题 . (1)由于 P3,P4两点关于 y轴对称 ,故由题设知 C经过 P3,P4两点 . 又由 + + 知 ,C不经过点 P1,所以点 P2在 C上 . 因此 解得 故 C的方程

7、为 +y2=1. (2)设直线 P2A与直线 P2B的斜率分别为 k1,k2. 如果 l与 x轴垂直 ,设 l:x=t,由题设知 t0, 且 |t|0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=- ,x1x2= . 而 k1+k2= + = + = , =【 ;精品教育资源文库 】 = 由题设 k1+k2=-1,故 (2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0. 即 (2k+1) +(m-1) =0. 解得 k=- . 当且仅当 m-1时 ,0, 于是 l:y=- x+m, 即 y+1=- (x-2), 所以 l过定点 (2,-1). 7.(2017课标全国 文 ,20,

8、12 分 )设 A,B为曲线 C:y= 上两点 ,A与 B的横坐标之和为 4. (1)求直线 AB的斜率 ; (2)设 M为曲线 C上一点 ,C 在 M处的 切线与直线 AB平行 ,且 AMBM, 求直线 AB 的方程 . 解析 本题考查直线与抛物线的位置关系 . (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x 2,y1= ,y2= ,x1+x2=4, 于是直线 AB 的斜率 k= = =1. (2)由 y= ,得 y= , 设 M(x3,y3),由题设知 =1, 解得 x3=2,于是 M(2,1). 设直线 AB的方程为 y=x+m, 故线段 AB的中点为 N(2,2+m),|MN

9、|=|m+1|. 将 y=x+m代入 y= 得 x2-4x-4m=0. 当 =16(m+1)0, 即 m-1时 ,x1,2=22 . 从而 |AB|= |x1-x2|=4 . 由题设知 |AB|=2|MN|, 即 4 =2(m+1),解得 m=7. 所以直线 AB 的方程为 y=x+7. 8.(2017山东理 ,21,14分 )在平面直角坐标系 xOy中 ,椭圆 E: + =1(ab0)的离心率为 ,焦距为 2. =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求椭圆 E的方程 ; (2)如图 ,动直线 l:y=k1x- 交椭圆 E于 A,B两点 ,C是椭圆 E上一点 ,直线 OC的斜率为 k2,且

10、k1k2= .M是线段OC延长线上一点 ,且 |MC|AB|=23,M 的半径为 |MC|,OS,OT是 M 的两条切线 ,切点分别为 S,T.求 SOT 的最大值 ,并求取得最大值时直线 l的斜率 . 解析 本题考查椭圆的方程 ,直线与椭圆、圆的位置关系 ,考查最值的求解方法和运算求解能力 . (1)由题意知 e= = ,2c=2,所以 a= ,b=1, 因此椭圆 E的方程为 +y2=1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 联立 消 y整理得 (4 +2)x2-4 k1x-1=0, 由题意知 0, 且 x1+x2= ,x1x2=- , 所以 |AB|= |x1-x2|= . 由

11、题意可知圆 M的半径 r= |AB|= . 由题设知 k1k2= ,所以 k2= , 因此直线 OC 的方程为 y= x. 联立 得 x2= ,y2= , =【 ;精品教育资源文库 】 = 因此 |OC|= = . 由题意可知 sin = = , 而 = = , 令 t=1+2 ,则 t1, (0,1), 因此 = = = 1, 当且仅当 = ,即 t=2时等号成立 ,此时 k1= , 所以 sin , 因此 ,所以 SOT 的最大值为 . 综上所述 :SOT 的最大值为 ,取得最大值时直线 l的斜率 k1= . 9.(2016北京 ,19,14分 )已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率

12、为 ,A(a,0),B(0,b),O(0,0),OAB 的面积为 1. (1)求椭圆 C的方程 ; (2)设 P是椭圆 C上一点 ,直线 PA 与 y轴交于点 M,直线 PB 与 x轴交于点 N.求证 :|AN|BM| 为定值 . 解析 (1)由题意得 解得 a2=4,b2=1. 所以椭圆 C的方程为 +y2=1. =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)由 (1)知 ,A(2,0),B(0,1). 设 P(x0,y0),则 +4 =4. 当 x00 时 ,直线 PA的方程为 y= (x-2). 令 x=0,得 yM=- ,从而 |BM|=|1-yM|= . 直线 PB 的方程为 y= x+1

13、. 令 y=0,得 xN=- ,从而 |AN|=|2-xN|= . 所以 |AN|BM|= = = =4. 当 x0=0 时 ,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2, 所以 |AN|BM|=4. 综上 ,|AN|BM| 为定值 . 10.(2015课标 ,20,12 分 )已知椭圆 C:9x2+y2=m2(m0),直线 l不过原点 O且不平行于坐标轴 ,l 与 C有两 个交点 A,B,线段 AB的中点为 M. (1)证明 :直线 OM 的斜率与 l的斜率的乘积为定值 ; (2)若 l过点 ,延长线段 OM与 C交于点 P,四边形 OAPB 能否为平行四边形 ?若能 ,求此时 l的斜率 ;若不

14、能 ,说明理由 . 解析 (1)证明 :设直线 l:y=kx+b(k0,b0),A(x 1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 将 y=kx+b代入 9x2+y2=m2得 (k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故 xM= = ,yM=kxM+b= . 于是直线 OM 的斜率 kOM= =- ,即 kOMk= -9. 所以直线 OM 的斜率与 l的斜率的乘积为定值 . (2)四边形 OAPB能为平行四边形 . 因为直线 l过点 ,所以 l不过原点且与 C有两个交点的充要条件是 k0,k3. =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 (1)得 OM的方程为 y=- x. 设点 P的横坐

15、标为 xP. 由 得 = ,即 xP= . 将 代入 l的方程得 b= , 因此 xM= . 四边形 OAPB为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分 ,即 xP=2xM. 于是 =2 ,解得 k1=4- ,k2=4+ . 因为 ki0,ki3,i=1,2, 所以当 l的斜率为 4- 或 4+ 时 ,四边形 OAPB为平行四边形 . 11.(2014课标 ,20,12 分 )已知点 A(0,-2),椭圆 E: + =1(ab0)的离心率为 ,F是椭圆 E的右焦点 ,直线 AF的斜率为 ,O 为坐标原点 . (1)求 E的方程 ; (2)设过点 A的动直线 l与 E相交于 P,Q两点 .当 OPQ 的面积最大时 ,求 l的方程 . 解析 (1)设 F(c,0),由条件知 , = , 得 c= . 又 = ,所以 a=2,b2=a2-c2=1. 故 E的方程为 +y2=1. (2)当 lx 轴时不合题意 ,故设 l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2). 将 y=kx-2代入 +y2=1得 (1+4k2)x2-16kx+12=0. 当 =16(4k 2-3)0,即 k2 时 ,x1,2= .