浙江专版2019版高考数学一轮复习第八章立体几何8.4直线平面垂直的判定和性质学.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 8.4 直线、平面垂直的判定和性质 考纲解读 考点 考纲内容 要求 浙江省五年高考统计 2013 2014 2015 2016 2017 垂直的判定和性质 1.理解以下判定定理 : 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直 ,那么该直线与此平面垂直 . 如果一个平面经过另一个平面的垂线 ,那么这两个平面互相垂直 . 2.理解以下性质定理 ,并能够证明 :垂直于同一个平面的两条直线平行 . 如果两个平面垂直 ,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直 . 3.理解直线与平面所成角、二面角的概念 . 4.能证明一些空间位置关系的简单命题 . 理解 1

2、0,5分 20(2), 9分 5(文 ), 5分 20(文 ), 约 6分 6(文 ),5分 20(1), 7分 20(文 ), 约 8分 17(1), 7分 18(文 ) (1),7分 18(文 ), 约 8分 5,5分 5(文 ),5分 17(1), 8分 19(2), 约 3分 分析解读 1.直线与平面垂直 ,平面与平面垂直的判定和性质 ,线面间的角与距离的计算是高考的重点 ,特别是以多面体为载体的线面位置关系的论证 ,更是高考的热点 ,试题以中等难度为主 . 2.高考常考的题 型有 : 判断并证明两个平面的垂直关系 ,直线与平面的垂直关系 ,直线与直线的垂直关系 . 线面、面面垂直的性

3、质定理的应用 ,求直线与平面、平面与平面所成角等综合问题 .多以棱柱、棱锥为背景 . 3.预计 2019年高考试题中 ,垂直关系仍然是考查的重点和热点 .考查仍会集中在垂直关系的判定和垂直的性质的应用上 ,其解决的方法主要是传统法和向量法 ,复习时应引起高度重视 . 五年高考 考点 垂直的判定和性质 1.(2014浙江文 ,6,5分 )设 m,n是两条不同的直线 , 是两个不同的平面 ( ) A.若 mn,n, 则 m B.若 m, 则 m C.若 m,n,n, 则 m D.若 mn,n, 则 m 答案 C 2.(2017课标全国 文 ,10,5 分 )在正方体 ABCD-A1B1C1D1中

4、,E为棱 CD 的中点 ,则 ( ) A.A1EDC 1 B.A1EBD C.A1EBC 1 D.A1EAC 答案 C 3.(2015安徽 ,5,5分 )已知 m,n是两条不同直线 , 是两个不同平面 ,则下列命题正确的是 ( ) A.若 , 垂直于同一平面 ,则 与 平行 B.若 m,n平行于同一平面 ,则 m与 n平行 C.若 , ,则在 内 与 平行的直线 D.若 m,n ,则 m与 n 垂直于同一平面 答案 D =【 ;精品教育资源文库 】 = 4.(2014广东 ,7,5分 )若空间中四条两两不同的直线 l1,l2,l3,l4,满足 l1l 2,l2l 3,l3l 4,则下列结论一定

5、正确的是 ( ) A.l1l 4 B.l1l 4 C.l1与 l4既不垂直也不平行 D.l1与 l4的位置关系不确定 答案 D 5.(2016浙江文 ,18,15分 )如图 ,在三棱台 ABC-DEF中 ,平面 BCFE 平面ABC,ACB=90,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3. (1)求证 :BF 平面 ACFD; (2)求直线 BD与平面 ACFD所成角的余弦值 . 解析 (1)证明 :延长 AD,BE,CF相交于一点 K,如图所示 . 因为平面 BCFE 平面 ABC,且 ACBC, 所以 AC 平面 BCK,因此 BFAC. 又因为 EFBC,BE=EF=FC=1,BC=2,

6、 所以 BCK 为等边三角形 ,且 F为 CK的中点 ,则 BFCK. 所以 BF 平面 ACFD. (2)因为 BF 平面 ACK,所以 BDF 是直线 BD与平面 ACFD所成的角 . 在 RtBFD 中 ,BF= ,DF= ,得 cosBDF= , 所以 ,直线 BD与平面 ACFD所成角的余弦值为 . 6.(2015浙江 ,17,15分 )如图 ,在三棱柱 ABC-A1B1C1中 ,BAC=90,AB=AC=2,A 1A=4,A1在底面 ABC的射影为 BC 的中点 ,D 是 B1C1的中点 . (1)证明 :A1D 平面 A1BC; (2)求二面角 A1-BD-B1的平面角的余弦值

7、. 解析 (1)证明 :设 E为 BC 的中点 ,由题意得 A1E 平面 ABC,所以 A1EAE. =【 ;精品教育资源文库 】 = 因为 AB=AC,所以 AEBC. 故 AE 平面 A1BC. 由 D,E分别为 B1C1,BC的中点 ,得 DEB 1B且 DE=B1B,从而 DEA 1A且 DE=A1A,所以 A1AED 为平行四边形 . 故 A1DAE. 又因为 AE 平面 A1BC,所以 A1D 平面 A1BC. (2)解法一 :作 A1FBD 且 A1FBD=F, 连接 B1F. 由 AE=EB= ,A 1EA=A 1EB=90, 得 A1B=A1A=4. 由 A1D=B1D,A1

8、B=B1B,得 A 1DB 与 B 1DB全等 . 由 A1FBD, 得 B1FBD, 因此 A 1FB1为二面角 A1-BD-B1的平面角 . 由 A1D= ,A1B=4,DA 1B=90, 得 BD=3 ,A1F=B1F= , 由余弦定理得 cosA 1FB1=- . 解法二 :以 CB的中点 E为原点 ,分别以射线 EA,EB为 x,y轴的正半轴 ,建立空间直角坐标系 E-xyz,如图所示 . 由题意知各点坐标如下 :A1(0,0, ),B(0, ,0),D(- ,0, ),B1(- , , ). 因此 =(0, ,- ), =(- ,- , ), =(0, ,0). 设平面 A1BD

9、的法向量为 m=(x1,y1,z1),平面 B1BD的法向量为 n=(x2,y2,z2). 由 即 可取 m=(0, ,1). 由 即 可取 n=( ,0,1). 于是 |cos|= = . 由题意可知 ,所求二面角的平面角是钝角 ,故二面角 A1-BD-B1的平面角的余弦值为 - . 7.(2014浙江 ,20,15分 )如图 ,在四棱锥 A-BCDE中 ,平面 ABC 平面BCDE,CDE=BED=90,AB=CD=2,DE=BE=1,AC= . (1)证明 :DE 平面 ACD; (2)求二面角 B-AD-E的大小 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 (1)证明 :在直角梯形 B

10、CDE中 ,由 DE=BE=1,CD=2,得 BD=BC= , 由 AC= ,AB=2,得 AB2=AC2+BC2,即 ACBC, 又平面 ABC 平面 BCDE,从而 AC 平面 BCDE, 所以 ACDE. 又 DEDC, 从而 DE 平面 ACD. (2)解法一 :作 BFAD, 与 AD 交于点 F,过点 F作 FGDE, 与 AE交于点 G,连接 BG, 由 (1)知 DEAD, 则 FGAD. 所以 BFG 是二面角 B-AD-E 的平面角 . 在直角梯形 BCDE中 ,由 CD2=BC2+BD2,得 BDBC, 又平面 ABC 平面 BCDE,得 BD 平面 ABC,从而 BDA

11、B. 由 AC 平面 BCDE,得 AC CD. 在 RtACD 中 ,由 DC=2,AC= ,得 AD= . 在 RtAED 中 ,由 ED=1,AD= ,得 AE= . 在 RtABD 中 ,由 BD= ,AB=2,AD= ,得 BF= ,AF= AD.从而 GF= . 在 ABE,ABG 中 ,利用余弦定理分别可得 cosBAE= ,BG= . 在 BFG 中 ,cosBFG= = . 所以 ,BFG= ,即二面角 B-AD-E的大小是 . 解法二 :以 D为原点 ,分别以射线 DE,DC为 x轴 ,y轴的正半轴 ,建立空间直角坐标系 D-xyz,如图所示 . 由题意及 (1)知各点坐标

12、如 下 :D(0,0,0),E(1,0,0),C(0,2,0),A(0,2, ),B(1,1,0). =【 ;精品教育资源文库 】 = 设平面 ADE的法向量为 m=(x1,y1,z1),平面 ABD的法向量为 n=(x2,y2,z2),可算得 =(0,-2,- ), =(1,-2,-), =(1,1,0), 由 即 可取 m=(0,1,- ). 由 即 可取 n=(1,-1, ). 于是 |cos|= = = , 由题图可知 ,所求二面角是锐角 ,故二面角 B-AD-E的大小是 . 8.(2017课标全国 文 ,18,12 分 )如图 ,在四棱锥 P-ABCD 中 ,ABCD, 且 BAP=

13、CDP=90. (1)证明 :平面 PAB 平面 PAD; (2)若 PA=PD=AB=DC,APD=90, 且四棱锥 P-ABCD的体积为 ,求该四棱锥的侧面积 . 解析 本题考查立体几何中面面垂直的证明和几何体侧面积的计算 . (1)证明 :由已知 BAP=CDP=90, 得 ABAP,CDPD. 由于 ABCD, 故 ABPD, 从而 AB 平面 PAD.又 AB?平面 PAB, 所以平面 PAB 平面 PAD. (2)在平面 PAD内作 PEAD, 垂足为 E. 由 (1)知 ,AB 平面 PAD, 故 ABPE, 可得 PE 平面 ABCD. 设 AB=x,则由已知可得 AD= x,

14、PE= x. 故四棱锥 P-ABCD的体积 VP-ABCD= ABADPE= x3. 由题设得 x3= ,故 x=2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 从而 PA=PD=2,AD=BC=2 ,PB=PC=2 . 可得四棱锥 P-ABCD的侧面积为 PAPD+ PAAB+ PDDC+ BC2sin 60=6+2 . 9.(2017北京文 ,18,14分 )如图 ,在三棱锥 P-ABC中 ,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D 为线段 AC 的中点 ,E为线段 PC上一点 . (1)求证 :PABD; (2)求证 :平面 BDE 平面 PAC; (3)当 PA 平面 BDE时

15、,求三棱锥 E-BCD的体积 . 解析 本题考查线面垂直的判定和性质 ,面面垂直的判定及线面平行的性质 ,三棱锥的体积 .考查空间想象能力 . (1)因为 PAAB,PABC, 所以 PA 平面 ABC. 又因为 BD?平面 ABC, 所以 PABD. (2)因为 AB=BC,D为 AC中点 , 所以 BDAC. 由 (1)知 ,PABD, 所以 BD 平面 PAC. 所以平面 BDE 平面 PAC. (3)因为 PA 平面 BDE,平面 PAC 平面 BDE=DE, 所以 PADE. 因为 D为 AC 的中点 , 所以 DE= PA=1,BD=DC= . 由 (1)知 ,PA 平面 ABC,

16、 所以 DE 平面 ABC. 所以三棱锥 E-BCD的体积 V= BDDCDE= . 10.(2017山东文 ,18,12分 )由四棱柱 ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥 C1-B1CD1后得到的几何体如图所示 .四边形 ABCD为正方形 ,O 为 AC 与 BD的交点 ,E 为 AD 的中点 ,A1E 平面 ABCD. (1)证明 :A1O 平面 B1CD1; (2)设 M是 OD的中点 ,证明 :平面 A1EM 平面 B1CD1. 证明 本题考查线面平行与面面垂直 . (1)取 B1D1的中点 O1,连接 CO1,A1O1, 由于 ABCD-A1B1C1D1是四棱柱 , 所以 A1O1

17、OC,A 1O1=OC, 因此四边形 A1OCO1为平行四边形 , 所以 A1OO 1C. 又 O1C?平面 B1CD1,A1O?平面 B1CD1, =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 A1O 平面 B1CD1. (2)因为 ACBD,E,M 分别为 AD和 OD的中点 , 所以 EMBD, 又 A1E 平面 ABCD,BD?平面 ABCD, 所以 A1EBD, 因为 B1D1BD, 所以 EMB 1D1,A1EB 1D1, 又 A1E,EM?平面 A1EM,A1EEM=E, 所以 B1D1 平面 A1EM, 又 B1D1?平面 B1CD1,所以平面 A1EM 平面 B1CD1. 11.(

18、2017课标全国 理 ,19,12分 )如图 ,四面体 ABCD中 ,ABC 是正三角形 ,ACD 是直角三角形 ,ABD=CBD,AB=BD. (1)证明 :平面 ACD 平面 ABC; (2)过 AC的平面交 BD 于点 E,若平面 AEC把四面体 ABCD分成体积相等的两部分 ,求二面角 D-AE-C的余弦值 . 解析 本题考查面面垂直的证明 ,二面角的求法 . (1)由题设可得 ,ABDCBD, 从而 AD=DC. 又 ACD 是直角三角形 ,所以 ADC=90. 取 AC的中点 O,连接 DO,BO,则 DOAC,DO=AO. 又由于 ABC 是正三角形 ,故 BOAC. 所以 DO