旋转体的体积该直线称为旋转体的旋转轴课件.ppt
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- 旋转体 体积 直线 称为 旋转轴 课件
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1、 6-3 定积分的应用定积分的应用主要内容:主要内容:1. 定积分的几何应用定积分的几何应用。2. 定积分的物理应用举例定积分的物理应用举例。3. 经济应用问题举例经济应用问题举例。一、定积分的几何应用一、定积分的几何应用 下面利用微元法来讨论定积分在几何及物理方面的一些应用。设函数 f (x) 在区间a , b上连续,具体问题中所求的整体量为 Q:(1) 在区间a , b上任取一个微小区间x , x + dx, 然后写出在这个小区间上的部分量Q的近似值, 记为dQ = f (x)dx (称为 Q 的微元);(2) 将微元Q 在a , b上无限“累加”,即在a , b上积分,badxxf )(
2、得 Q =上述两步解决问题的方法称为微元法微元法。其面积微元 dA = f (x)dx,由曲线围成的平面图形可分为以下几种情况: 面积 A = ; badxxf )(1.平面图形的面积平面图形的面积(1) 由曲线 y = f (x) 0,直线 x = a、x = b,及 x 轴所围成的图形 (如右图),y = f (x)yxOaxx+dxb其面积微元 dA = f2(x) - f1(x)dx,(2) 由上、下两条曲线 y = f1(x)、y = f2(x) (f2(x) f1(x)及直线 x = a、x = b 所围成的图形(如右图),dxxfxfba )()( 12面积 A =y = f2(
3、x)yxOaxx+dxby = f1(x)这时应取横条矩形为 dA ,(3) 由左、右两条曲线 x = g1(y)、x = g2(y) ( g2(y) g1(y)及 y = c、y = d 所围成的图形 (如下图), 其面积微元 dA = g2(y) - g1(y)dy,dyygygba 12 )()(面积 A =注意:即取 y 为积分变量。例1 求由抛物线 y = 1 x2 与 x 轴所围成的平面图形面积(如下图)。解: 抛物线 y = 1 x2 与 x 轴交点为(-1,0)与(1,0),故面积dxxA1 1 2 )1 (dxx1 0 2 )1 (2103| )3 (2xx34故所求面积 1
4、02)(dxxxA例2 求由曲线 y = x2 及 y = 所围成的平面图形面积(如下图)。x解:先求出曲线 y = x2 与y = 的交点(0,0) , (1,1),x31| )3132(10323xx4 2 2)24(dyyyA例3 求抛物线 y2 = 2x 与直线 y = x - 4 所围成的平面图形面积(如下图)。解:422xyxy联立方程组求出交点(2,-2) , (8,4),取 y 为积分变量,故所求面积4 2 32| )642(yyy= 18一平面图形绕这个平面内的一条直线旋转一周所得的立体称为旋转体旋转体,下面求其体积 V。从而得体积微元:旋转体的体积为 dxxfdxyVbab
5、a)( 2 22.旋转体的体积旋转体的体积该直线称为旋转体的旋转轴旋转轴。如果旋转体是由曲线 y = f (x) 与直线 x = a、x = b (a b)及 x 轴围成的曲边梯形绕 x 轴旋转而成(见下图),在a , b上任取一个微小区间x , x+dx,dV =y2dx =f 2(x)dx 其体积为dcdcdyydxxV 22 )(如果旋转体是由曲线 x =(y) 与直线 y = c、y = d (c 0)上弧长(见下图)。)(2axaxeeay于是弧长微元为解:dxeeaxax2)(411dxeeaxax)(21dxeeaaxax 0 )(aaxaxeea 0 | )()(1eea)(2
6、axaxeeayy- aaOx因为 ,tatytatxsin)( , )cos1 ()(dttytxds22)()(由于 t0 , 2,所以弧长微元为2 0 2sin2dttas)cos1 ()sin(tayttax例7 求摆线 (a 0)在 0 t 2的一段弧长。解:dtta)cos1 (2dtta|2sin|2于是这段摆线长为:2sint所以 0,ata8| )2cos(42 0 二、定积分的物理应用举例定积分的物理应用举例 则力 F 对物体所作的功为:则变力对物体所作的功就要用定积分计算。举例说明如下: 1.变力所作的功变力所作的功从物理学知道, 如果有一常力 F 作用在一物体上,使物体
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