高考数学一轮复习专项检测试题28函数的奇偶性周期性和对称性.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 函数的奇偶性、周期性和对称性 一、奇偶性 1、奇函数的定义：一般地，如果对于函数 ()fx的定义域内任意一个 x ，都有 )()( xfxf ? ，那么 函数 ()fx就叫做奇函数。 （ 1）定义域必须关于原点对称； （ 2）对定义中的任意一个 x ，都有 )()( xfxf ? ； （ 3）图象特征：奇函数图象关于原点对称。（这是判断奇函数的直观方法） 2、偶函数定义：一般地，如果对于函数 ()fx的定义域内任意一个 x ，都有 )()( xfxf ? ，那么函数 ()fx就叫做偶函数。 （ 1）定义域必须关于原点对称； （ 2）对定义中的任意一个 x ，都

2、有 )()( xfxf ? ； （ 3）图象特征：偶函数图象关于 y 轴对称。（这是判断偶函数的直观方 法） 二、周期性 周期函数的定义：对于 ()fx定义域内的每一个 x ，都存在非零常数 T ，使得 ( ) ( )f x T f x?恒成立，则称函数 ()fx具有周期性， T 叫做 ()fx的一个周期，则 kT（ ,0k Z k?）也是 ()fx的周期，所有周期中的最小正数叫 ()fx的最小正周期，并不是所有周期函数都存在最小正周期。 例如，狄利克雷函数，当 x 为有理数时， ()fx取 1；当 x 为非有理数时， ()fx取 0。 （ 1）如果函数 )(xfy? 满足 )()( 11 x

3、TfxTf ? 且 )()( 22 xTfxTf ? ，（ 1 T 和 2T 是不相等的常数），则 )(xfy? 是以为 )(2 12 TT ? 为周期的周期函数。 （ 2）如果奇函数 )(xfy? 满足 )()( xTfxTf ? （ 0?T ），则函数 )(xfy? 是以 T4 为=【 ;精品教育资源文库 】 = 周期的周期函数。 （ 3）如果偶函数 )(xfy? 满足 )()( xTfxTf ? （ 0?T ），则函数 )(xfy? 是以 T2 为周期的 周期函数。 三 、 对称性 1、函数图象本身的对称性（自身对称） 题设：函数 )(xfy? 对定义域内一切 x 来说，其中 a 为常数

4、，函数 )(xfy? 满足： （ 1） )()( xafxaf ? ? 函数 )(xfy? 图象关 于直线 ax? 成轴对称； （ 2） )()2( xfxaf ? ? 函数 )(xfy? 的图象关于直线 ax? 成轴对称； （ 3） )()( xbfxaf ? ? 函数 )(xfy? 图象关于直线 22 )()( baxbxax ? 成轴对称； （ 4） )( xf ? ? )(xf ? 函数 )(xfy? 图象关 于 y 轴对称（偶函数）； （ 5） )(2)2( xfbxaf ? ? 函数 )(xfy? 图象关 于 ),( ba 成中心对称； =【 ;精品教育资源文库 】 = （ 6）

5、)( xf ? ? )(xf ? 函数 )(xfy? 图象关 于原点成中心对称（奇函数）； （ 7）如果函数 )(xfy? 满足 )()( 11 xTfxTf ? 且 )()( 22 xTfxTf ? ，（ 1 T 和 2T 是不相等的 常数），则 )(xfy? 是以为 )(2 12 TT ? 为周期的周期函数； （ 8）如果奇函 数 )(xfy? 满足 )()( xTfxTf ? （ 0?T ），则函数 )(xfy? 是以 T4 为周期 的周期函数； （ 9）如果偶函数 )(xfy? 满足 )()( xTfxTf ? （ 0?T ），则函数 )(xfy? 是以 T2 为周期 的周期函数。 2

6、、两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） （ 1）曲线 )(xfy? 与 )(xfy ? 关于 x 轴对称。 （ 2）曲线 )(xfy? 与 )( xfy ? 关于 y 轴对称。 （ 3）曲线 )( xfy ? 与 )(xfy? 的图象 关 于原点对称； （ 4）曲线 )(yfx? 与 )(xfy? 的图象 关 于直线 xy? 对称。 （ 5）曲线 )(xfy? 与 )2( xafy ? 关于直线 ax? 对称。 （ 6）曲线 0),( ?yxf 关于直线 bx? 对称曲线为 0)2,( ? ybxf 。 （ 7）曲线 0),( ?yxf 关于直线 0? cy

7、x 对称曲线为 0),( ? cxcyf 。 （ 8）曲线 0),( ?yxf 关于直线 0? cyx 对称曲线为 0),( ? cxcyf 。 （ 9）曲线 0),( ?yxf 关于点 ),( baP 对 称曲线为 0)2,2( ? ybxaf 。 注意： 设 )(xfy? ， Rx? 都有 )2()( xafxf ? 且 0)( ?xf 有 k 个实根 )2( ?k ，则所有实根之和为 ka。 =【 ;精品教育资源文库 】 = 例 1：已知 )(xf 满足 )2()2( ? xfxf ， )4()4( xfxf ? ，当 26 ? x 时 cbxxxf ? 2)( 且 13)4( ?f ，

8、若 )3(bfm? ， )2(cfn? ， )11(fp? ，求 pnm 、大小关系？ 解： 由已知得 4T? ，对称轴 4?x ， 4?x 也为一条对称轴 8?b ， 3?c ， (8/3)mf? ， (3/2)nf? ， )3()11( ffp ? pmn ? 例 2：若函数 3)()( axxf ? ， Rx? 有 )1()1( xfxf ? ，求 )2()2( ? ff 。 解： Rx? ， )1()1( xfxf ? 知 )(xf 的图象关于 )0,1( 对称，而 3)()( axxf ? 的对称中心)0,( aP? ， 1?a ， 3)1()( ? xxf ，则 26)3(1)2()2( 3 ? ff 。 例 3：设 )(xf 是定义在 R 上的函数， Rx? 均有 0)2()( ? xfxf ，当 11 ? x 时，12)( ? xxf ，求当 31 ?x 时， )(xf 的解析式。 解：由 Rx? 有 )2()( ? xfxf 得 4T? 设 3,1(?x ，则 1,1()2( ?x ， )()2()42()2( xfxfxfxf ? ； 521)2(2)2()( ? xxxfxf ，当 31 ?x 时， 52)( ? xxf 。 =【 ;精品教育资源文库 】 =