高考数学一轮复习专项检测试题27基本不等式.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 基本不等式 例 1： 求证 )(2222222 cbaaccbba ? 。 分析： 此问题的关键是“灵活运用重要基本不等式 abba 222 ? ，并能由 )(2 cba ? 这一特征，思索如何将 abba 222 ? 进行变形，进行创造”。 证明： abba 222 ? ，两边同加 22 ba? 得 222 )()(2 baba ? ， 即 2 )( 222 baba ? ； )(222122 bababa ?， 同理可得： )(2222 cbcb ? ， )(2222 acac ? ， 三式相加即得 )(2222222 cbaaccbba ? 。 例 2：

2、若正数 a 、 b 满足 3? baab ，则 ab 的取值范围是 。 解： ?Rba, ， 323 ? abbaab ，令 aby? ，得 0322 ? yy ， 3?y ，或 1?y （舍去）， 92 ?aby ， ab 的取值范围是 ? ?.,9? 。 说明： 本题的常见错误有二。一是没有舍去 1?y ；二是忘了还原，得出 ? ? ,3ab 。前者和后者的问题根源都是对 ab 的理解，前者忽视了 .0?ab 后者错误地将 2y 视为 ab 。因此，解题 过程中若用换元法，一定要对所设“元”的取值范围有所了解，并注意还原之。 例 3：已知 Rcba ?, ，求证 .222 cabcabcb

3、a ? 证明： abba 222 ? ， bccb 222 ? ， caac 222 ? ， 三式相加，得 )(2)(2 222 cabcabcba ? ，即 .222 cabcabcba ? 说明： 这是一个重要的不等式，要熟练掌握。 例 4： 已知 cba 、 是互不相等的正数，求证： abcbaccabcba 6)()()( 222222 ? 。 =【 ;精品教育资源文库 】 = 证明： 0222 ? abccb ， ， abccba 2)( 22 ? 同理可得： abcbacabccab 2)(2)( 2222 ? ， 三个同向不等式相加，得 abcbaccabcba 6)()()(

4、222222 ? 说明： 此题中 cba 、 互不相等，故应用基本不等式时，等号不成立。特别地， ba? ， cb?时，所得不等式仍不取等号。 例 5： （ 1）求 41622? xxy 的最大值。 （ 2）求函数 1422 ? xxy的最小值，并求出取得最小值时的 x 值。 （ 3）若 0,0 ? yx ，且 2?yx ，求 22 yx? 的最小值。 解： （ 1） 41622? xxy13163)1(162222? ?xxxx .3326 ? 即 y 的最大值为 .3当且仅当131 22 ? xx时，即 22?x ， 2?x 时，取得此最大值。 （ 2） 1141142222 ? xxxx

5、y 3142 ? y 的最小值为 3，当且仅当 114 22 ? xx，即 4)1( 22 ?x ， 212 ?x ， 1?x 时取得此最小值。 （ 3） xyyx 222 ? 222 )()(2 yxyx ? ，即 2 )( 222 yxyx ? 2?yx 222 ?yx ，即 22 yx? 的最小值为 2，当且仅当 4?yx 时取得此最小值。 例 6：求函数 xxy 321 ? 的最值。 分析： 本例的各小题都可用最值定理求函数的最值，但是应注意满足相应条件。如： 0?x ，应分别对 0,0 ? xx 两种情况讨论，如果忽视 ?Rx 的条件，就会发生如下错误： =【 ;精品教育资源文库 】

6、 = 6213221)32(1321 ?xxxxxxy， .621max ?y 解： 当 0?x 时， 03,02 ? xx ，又 632 ?xx ， 当且仅当 xx 32 ? ，即 26?x 时，函数 xx 32? 有最小值 .62 .621max ?y 当 0?x 时， 03,02 ? xx ，又 6)3()2( ? xx ， 当且仅当 xx 32 ? ，即 26?x 时，函数 )32( xx? 最小值 .62 .621min ?y 例 7：求函数91022? xxy的最值。 分析： 29199 1)9( 2222 ? ? xxxxy。但等号成立时 82 ?x ，这是矛盾的！于是我们运用函

7、数 xxy 1? 在 1?x 时单调递增这一性质，求函数 )3(1 ? ttty 的最值。 解： 设 392 ? xt ，ttxxy 191022 ?。 当 3?t 时，函数 tty 1? 递增，故原函数的最小值为 310313 ? ，无最大值。 例 8：求函数4522? xxy的最小值。 分析： 用换元法，设 242 ? xt ，原函数变形为 )2(1 ? ttty ，再利用函数)2(1 ? ttty 的单调性可得结果。或用函数方程思想求解。 解： 解法 1： 设 242 ? xt ，故 ).2(14522 ? tttxxy212121212121121)()11()(2 ttttttttt

8、tyytt ? ，设 。 由 20 2121 ? tttt ， ，得： 0121 ?tt ，故： 21 yy? 。 =【 ;精品教育资源文库 】 = 函数 )2(1 ? ttty 为增函数，从而 25212 ?y 。 解法 2： 设 242 ? tx ，知 )2(1 ? ttty ，可得关于 t 的二次方程 012 ?ytt ，由根与系数的关系，得： 121 ?tt 。 又 2?t ，故有一个根 大于或等于 2，设函数 1)( 2 ? ytttf ，则 0)2( ?f ，即 0124 ? y ，故 25?y 。 说明： 本题易出现如下错解： 241445 2222 ? xxxxy。要知道，41

9、4 22 ? xx无实数解，即 2?y ，所以原函数的最小值不是 2。错误原因是忽视了等号成立的条件。当 a 、 b 为常数，且 ab 为定值， ba? 时， abba ?2 ，不能直接求最大（小）值，可以利用恒等变形 abbaba 4)( 2 ? ，当 ba? 之差最小时，再求原函数的最大（小）值。 例 9： ,4,0,0 ? baba 求 22 11 ? ? ? bbaa的最小值。 分析： 此题出现加的形式和平方，考虑利用重要不等式求最小值。 解： 由 ,4?ba ，得 .2162)( 222 ababbaba ? 又 ,222 abba ? 得 abab 2216 ? ，即 4?ab 。

10、 21111222 ? ? ? ? bbaabbaa .2252444444 22? ? ? ab 故 22 11 ? ? ? bbaa的最小值是 225 。 例 10：已知： ?Rcba , ，求证： cbacabbacabc ? 。 分析： 根据题设，可想到利用重要不等式进行证明 。 =【 ;精品教育资源文库 】 = 证明： .2,22 2 cbacabccababcbacabc ? 即同理： acabbacbcababc 2,2 ? ， ).(22 cbacabbacabc ? ?， .cbacabbacabc ? 。 说明： 证明本题易出现的思维障碍是：（ 1）想利用三元重要不等式解决

11、问题；（ 2）不会利用重要不等式 abba ?2 的变式；（ 3）不熟练证明轮换对称不等式的常用方法。 因此，在证明不等式时，应根据求证式两边的结构，合理地选择重要不等式。另外，本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性。 例 11：已知 00 ? yx ， ，且 302 ? xyyx ，求 xy 的最大值。 解法 1： 由 302 ? xyyx ，可得， )300(230 ? xxxy 。 x xxxxxxy ? ? 2 64)2(34)2(230 22 ? ? 264)2(34 xx 注意到 16264)2(2264)2( ? xxxx。可得， 18?xy 。当且仅当 2642 ?

12、 xx ，即 6?x 时等号成立，代入 302 ? xyyx 中得 3?y ，故 xy 的最大值为 18。 解法 2： ?Ryx,? ， xyxyyx ? 22222 ，代入 302 ? xyyx 中得：3022 ? xyxy ，解此不等式得 180 ?xy 。下面解法见解法 1，下略。 说明： 解法 1 的变形是具有通用效能的方法，值得注意：而解法 2 则是抓住了问题的本质，所以解得更为简捷。 例 12： 若 ?Rcba 、 ，且 1? cba ，求证： 8111111 ? ? ? ? cba。 分析： 不等式右边的数字“ 8”使我们联想到可能是左边三个因式分别使用基本不等式所得三个“ 2”连乘而来，而 abca cba aa 2111 ? 。 =【 ;精品教育资源文库 】 = 证明： a cba aa ? 111? ，又 0?a ， 0?b ， 0?c ， abca cb 2? ，即 abcaa 21 ? 。同理 bcab 211 ? ， cabc 211 ? ， 8111111 ? ? ? ? cba。当且仅当 31? cba时，等号成立。 说明： 本题巧妙利用 1? cba 的条件，同时要注意此不等式是关于 cba 、 的轮换式。