计算流体力学完整课件.pptx
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1、The Elements of Computational Fluid Dynamics1第一章 绪论1.1 计算流体力学的概念与意义1.2 流体力学的基本方程1.3 流体力学方程组的类型判别 21.1 计算流体力学的概念与意义1、流体运动遵循3个基本定律: 1) 质量守恒定律;2) 动量守恒定律;3) 能量守恒定律2、流体的本构模型和状态方程 控制方程(控制方程(Governing equations) 偏微分方程(方程组)或积分形式的方程(方程组) 流体运动的复杂性主要表现为控制方程的高度非线性和流动区域几何形状的复杂性等,导致对绝大多数流动问题无法得到解析解。高速计算机的发展,使得计算流
2、体动力学(Computational Fluid Dynamics,CFD)逐渐成为一门独立学科。3计算流体力学计算流体力学(CFD):通过数值方法求解流体力学控制方程,得到流场的离散的定量描述,并以此预测流体运动规律的学科。在CFD中,首先,把控制方程中的积分、微分项近似地表示为离散的代数形式,把积分、微分形式的控制方程转化为一组代数方程,这个过程称为控制方程的离散化(discretization);所采用的离散化方法称为数值方法或数值格式。然后,通过电子计算机求解这些代数方程组,得到流场在离散的时间/空间点上的数值解(numerical solution)。CFD也被称作流场的数值模拟、数
3、值计算、数值仿真等。4计算流体力学的研究步骤第一,问题的界定和流动区域的几何描述。 流场的几何形状:源于对已有流动区域的测量或者新的产品和 工程的设计结果。 流动条件:雷诺数、马赫数、边界处的速度及压力等 对数值模拟的要求:精度、所花费的时间。第二,选择控制方程和边界条件。 在牛顿流体范围内,用Navier-Stokes方程描述。 根据问题的特点,可以考虑定常或非定常,可压或不可压的流动模型。 简化的数学模型:势流方程,Euler方程,边界层方程, 薄层近似的Navier-Stokes方程等。 边界条件通常依赖于控制方程。 固体壁面条件,来流、出流条件,周期性条件,对称条件等 附加的物理模型:
4、湍流模型,化学反应等。5第三,确定网格划分策略和数值方法。 网格划分:结构网格、非结构网格、组合网格、重叠网格。 网格可以是静止的,也可以是运动的,还可以根据数值解动态调整(自 适应网格)。 数值方法:有限差分、有限体积、有限元、谱方法等。 数值方法和网格划分策略是相互关联的。第四,程序设计和调试。 在网格划分策略和数值方法的基础上,编制、调试数值求解流体运动方程 的计算机程序或软件。第五,程序验证和确认。 验证(Verification):The process of determining that a model implementation accurately represents
5、the developers conceptual description of the model and the solution to the model. 确认(Validation):The process of determining the degree to which a model is an accurate representation of the real world from the perspective of the intended uses of the model.6第六,数值解的显示和评估 计算感兴趣的力、力矩等; 应用流场可视化软件对流场进行显示、分
6、析; 对数值方法和物理模型的误差进行评估等。7计算流体力学典型流程物理模型数学模型网格生成离散方法选择时、空离散边界条件离散解代数方程组验证与确认流场显示结果分析8举例:自然循环回路内的流动与传热特性9物理模型: (1) 空间维数:1D、2D、3D (2) 时间特性:定常、非定常 (3) 流动性质:无粘/粘性、可压缩/不可压缩、层流/湍流 (4) 流体物性:常物性、变物性Geometric parameter:Height H Width W Length of heat sink (source) L Tube diameter d Rayleigh number RaHeat source
7、 temperature ThHeat sink temperature TcOperation pressure P10数学模型: 控制方程 定解条件 初始条件: 边界条件:固体壁面上无滑移; 恒温热源、恒温热沉, 其余为绝热壁面。()0Vt()()VVVPVgt ()()EPVETTqtt 00;VTT11网格划分:12数值算法:离散方法: FDM、FVM、FEM空间离散: 对流项,粘性项,源项时间离散: 显式、隐式边界离散: 来流、出流、固壁、远场、周期性求解代数方程组13数值解的验证与确认:14流场显示及结果分析:15计算流体力学的特点及意义实验研究理论研究计算流体力学优点:借助各种先
8、进仪器,给出多种复杂流动的准确、可靠的观测结果,这些结果对于流动机理的研究和与流体运动有关的机械和飞行器的设计具有不可替代的作用。缺点:费用高昂,周期很长,有些流动条件难以通过实验手段来模拟。优点:可以给出具有一定适用范围的简洁明了的解析解或近似解析解,这些解析解对于分析流动的机理和预测流动随参数的变化非常有用。缺点:只能研究简单流动问题,能够得到解析解的流动问题为数不多,远远不能满足工程设计的需要。发展CFD的主要动机:利用高速电子计算机,克服理论研究和实验研究的缺点,深化对于流体运动规律的认识并提高解决工程实际问题的能力。优点:原则上可以研究流体在任何条件下的运动,使得我们研究流体运动的范
9、围和能力都有本质的扩大和提高。费用低,周期短。161.2 流体力学基本方程守恒型积分方程牛顿流体本构关系Stokes流体假设*jikijijijijijjikuuuppxxx 23 *0()sssssdV dstVdVV dsFdndstEdEV dsF VdVqndst22EeVEeFourier为总能, 为内能;根据导热定律,有qk T qk为热通量, 为热传导系数17守恒型微分方程积分型方程和微分型方程在意义上有微妙差别: 积分型方程允许在控制体内部流动参数有间断; 微分型方程假定流动参数是可微的,因而是连续的。因此,积分型方程是比微分型方程更为基本的方程,尤其是流场中确实存在间断时。(
10、1)(1)pvpRTCRCR(1)pe状态方程*()0()()()VtVVVFtEEVF VVqt18直角坐标系下的守恒型方程Navier-Stokes 方程()()()0vvvtxyzFFGGHHUuvwEU2()uupuvuwEp uF2()vvuvpvwEp vG2()wwuwvwpEp wH190 xxvxyxzxxxyxzxuvwkTF0yxvyyyzyxyyyzyuvwkTG0zxvzyzzzxzyzzzuvwkTH2022()322()322()3()()()xxxxyzyyyxyzxxzxyzxyyxyxyzzyzyzxxzxzuuvwvuvwwuvwuvvwwu21Euler
11、 方程0txyzFGHU等价形式0EtUNavier-Stokes 方程中,()()()EijkFFGGHHEuler 方程中,EijkFGHCFD中,守恒型方程是使用最频繁的一种形式。22边界条件黏性流动的适定边界条件: 在固体壁面上速度满足无滑移条件: 温度条件可以是下面三种之一:无黏流动的适定边界条件 在固体壁面上速度满足不可穿透条件0wV ()0wwwwTq nTnkTn 等温条件:恒定,已知热流条件:绝热条件:0wVn231.3 偏微分方程的分类及数学性质一阶拟线性方程组 Euler方程:一阶非线性偏微分方程组 Navier-Stokes方程:二阶非线性偏微分方程组流体力学的基本方程
12、都可以写成一阶拟线性方程组的形式。对一阶导数项而言,是线性方程组;如果B, A是U的函数,则整个方程组是非线性的,称之为“拟线性方程组”。, ,ijijUUBACtxU CmBbAam m以两个自变量的偏微分方程为例,其一阶拟线性形式为是 维列向量,均为方阵。24考虑一维守恒型Euler方程(一阶)0UFtx1222232,(1)()2()(1)()2U FmufmmUumFupfEEp ufmm分别为;111222333fffmfffFFFmFUxxmxxmxfffm25令111222333fffmfffFAmUfffm0UUEulerAtx则方程可以写为拟线性形式:232010(3)(3)
13、123(1)(1)2AJacobiuAuuuEuEu为矩阵,26考虑Laplace方程(二阶)22220,00001,10 xyuvxyuvxyvuxyUUAxyuUAv 引入即作业一:根据类似的方法,将作业一:根据类似的方法,将Navier-Stokes方程写成一阶方程写成一阶拟线性方程组的形式拟线性方程组的形式27特征线理论分析拟线性方程的特征线和相容关系具有重要意义。通过引入特征线和相容关系,可以把偏微分方程的某种线性组合化为常微分方程。在有些情况下,还可以由此得到解析解。考虑一般形式的有两个自变量的拟线性方程组,它的分量形式UUBACtx,11(1,2,.,)(1.3.7)mmjji
14、ji jijjuubacimtx, t x可以是时间和空间变量,也可以是其它任何有物理意义的自变量。( , ):xtx tdxdsdtdss平面上的曲线可以表示为下列参数方程的形式是某一参数,具体取法不会影响下面的讨论。28任意物理量 沿曲线的方向导数为特征线上的常微分方程被称为相应的偏微分方程的或者。特特征征形形式式(characteristic form)(characteristic form)特特征征相相容容关关系系(characterist(characteristiciccompatibility equation)compatibility equation)如果对(1.3.7)
15、做某种线性组合,使得组合后的方程只包含的方向导数,则组合后的方程化为 上的常微分方程。满足这种条件的曲线称为。特特征征线线(characteristic (characteristic curve)curve)txddtdxdst dsx dstx29例如:标量线性波动方程30双曲型方程的定义3132111|-| 0ABmABmABmUUBACtxAB:如果有 个实根,即矩阵有 个实特征根;而且有 个线性无关的特征向量,则拟线性方程组(1.3.1)是双曲型方程组。如果的所有特征值为互异实数,则式(1.3.1)为严格双曲型方程。双双曲曲型型方方程程|-| 0ABmm:对于一阶拟线性方程式(1.3
16、.1),如果的根为重根,而且对应的独立特征向量数小于 ,那么,称式(1.3.1)为抛物型方程。抛抛物物型型方方程程|-| 0AB:对于一阶拟线性方程式(1.3.1),如果的所有根均为复数,则称式(1.3.1)为椭圆型方程。椭椭圆圆型型方方程程| -| 0AB关于双曲型、抛物型和椭圆型方程的定义,不能概括方程的解的所有情况。还有。组组合合型型和和混混合合型型偏偏微微分分方方程程33双曲、抛物和椭圆型方程的数学性质不同类型的方程,如双曲、抛物、椭圆型方程具有不同的数学行为,对应着不同的物理过程;因而,也应采用不同的数值方法求解。343536121212 , ,/- ,/ ,x xx xdx dta
17、dx dtax x内初值的变化只影响由特征线和区间围成的区域。的影的影响响域域:3738394041424344流体力学方程组的其它类型4546474849The Elements of Computational Fluid Dynamics50第二章 有限差分方法基础2.1 有限差分方法概述2.2 导数的数值逼近方法2.3 差分格式的性质2.4 发展方程的稳定性分析512.1 有限差分方法概述 以一维非定常热传导方程为例,介绍有限差分方法的概念、简单构造方法和求解过程。2.1.1 基本方程和定解问题22(0)(2.1.1)uutx( ,)0,1 0,x t 求解域:( , 0)( )(2.
18、1.2)(0, )( ),(1, )( )u xf xuta tutb t初始条件:边界条件:方程(2.1.1)和初边条件(2.1.2)构成了一个适定的定解问题。有限差分方法:对于一个偏微分方程,如果把方程中的所有偏导数近似地用代数差商(Algebraic Difference Quotient) 代替,则可以用一组代数方程近似地替代这个偏微分方程,进而得到数值解,这种方法称为有限差分方法(Finite Difference Method)。52012.1.2 求解域及偏导数的离散化 为了用有限差分方法求解式 (2.1.1),需要把其中的偏导数表示为代数形式,为此,首先要把自变量从连续的分布变
19、为离散形式。这个过程称为求解域的离散化。 1. 空间求解域的离散化0 x 1x2x1MxMx把空间求解域分为M段(均匀剖分)0121,MMxxxxx网格点:=kxk x显然,=1/xM其中,, 为空间步长。 2. 时间变量的离散化把感兴趣的时间段(t=T之前)分为N段(均匀剖分),则时间方向的求解域可以划分为01211,NNNtt ttt个离散时刻:=(/,)ntn ttTN 时间步长53 求解域被划分为一系列离散的时空网格点 图2.1 求解域的离散化 3. 解的离散表示目标:求出所有网格点上物理量u的近似解。(,)= (,)(0,1,;0,1,)knu x tu k x n tkMnN(,)
20、nknku x tu后文中, 把记为。54 4. 导数的数值逼近把方程中的偏导数项近似表示为代数形式。(,)(2.1.1)(,)(,)(2.1.3)( )()(2.1.4)kntxxnntkxxkx tu k x n tuk x n tuu在网格点,方程可以表示为或000Taylor( ,)( , )( , )lim( , )( ,)( , )lim( ,)( ,)( , )lim2tttttttuu x ttu x tu x ttu x tu x ttu x ttu x ttu x ttu x tt 按定义(利用展开式),偏导数可以写成下面几种等价形式:0limdifference quot
21、ienttt 其中,后面的项称为差商()。当足够小时,可以用差商来近似导数。55( ,)( , )( , )( , )( ,)( , )( ,)( ,)( , )2tttu x ttu x tu x ttu x tu x ttu x ttu x ttu x ttu x tt即:1-1+1-1(,)( )( )(2.1.5)( )( )(2.1.6)( )( )(2.1.7)2knnnnnkktktknnnnkktktknnnnkktktkx tuuuutuuuutuuuut在网格点,有的向前差商:的向后差商:的中心差商:1111(forward difference)(backward dif
22、ference)(central difference)nnntkkknnntkkknnntkkkuuuuuuuuuu沿时间方向的向前差分:向后差分:中心差分:ttt其中, 分别称为时间方向前差、后差和中心差分算子。561-1+1-1()()()()()()2nnnnkkxkxknnnnkkxkxknnnnkkxkxkuxuuuuxuuuuxuuuux空间方向的一阶偏导数可以近似为的向前差商:的向后差商:的中心差商:1111nnnxkkknnnxkkknnntkkkuuuuuuuuu空间方向的向前差分、向后差分和中心差分记为xxx其中,分别称为空间方向前差、后差和中心差分算子。后文中,将略去差
23、分算子的下标,简记为, , 。57(,)(,)(2.1.3)(2.1.3)txxu k x n tuk x n t中的二阶偏导数应该如何近似呢?2220(, )2 ( , )(, )( , )limxuu xx tu x tu xx tx txx 根据数学分析中的知识,我们知道21222nnnnkkkkuuuuxx所以,二阶导数可以近似为112nnnkkkuuu称为二阶中心差分。112= ()()nnnnnkkkkkuuuuu 容易证明:582.1.3 差分格式同一偏导数可以有不同的近似方法,不同的导数近似方法导致方程的不同的有限差分近似。1. FTCS (Forward difference
24、 in Time, Central difference in Space) 格式时间方向用前差近似,空间二阶导数用中心差分近似。11122(2.1.9)nnnnnkkkkkuuuuutx对初始条件和边界条件的离散化00()(0,1,)(2.1.10)( )(0,1,)(2.1.11)( )(0,1,)(2.1.12)kknnnMnuf xkMua tnub tn式 (2.1.9) (2.1.12)称为方程 (2.1.1) 的一个有限差分方程或有限差分格式( finite difference scheme)。592. BTCS (Backward difference in Time, Ce
25、ntral difference in Space) 格式时间方向用后差近似,空间二阶导数用中心差分近似。11122(2.1.13)nnnnnkkkkkuuuuutx00()(0,1,)( )(0,1,)( )(0,1,)kknnnMnuf xkMua tnub tn在研究数值方法时,通常把 tn 时刻的物理量视为已知量,而把 tn+1 时刻的物理量作为待求的未知量。因此,式 (2.1.13) 可以改写成11111122(2.1.14)nnnnnkkkkkuuuuutx602.1.4 差分方程的求解1. FTCS 格式11122(2.1.9)nnnnnkkkkkuuuuutx可以改写为111(
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