离散傅里叶变换数字信号处理陈后金课件.ppt
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- 离散 傅里叶变换 数字信号 处理 后金 课件
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1、 ntnnXtx0j0e)()( ttxTnXtnTde)(1)(00j00 de)j (21)( jtXtx ttxXtde)()j ( j de)e (21)e (IDTFTjjjkXXkxkkkxkxX jjeDTFT)e (mkNNmmkNNmWmXNmXNmXkx 102j101e1IDFS mkNNkmkNNkWkxkxkxmX 102j10eDFS 1, 2, 1, 0,e12j10 NkmXNkxmkNNm符号表示符号表示IDFTmXkx1, 2, 1, 0,e2j10 NmkxmXmkNNmDFTkxmX 有限长序列有限长序列xk离散傅里叶变换离散傅里叶变换Xm是其离散时是其
2、离散时间傅里叶变换间傅里叶变换X(ej )在一个周期在一个周期0,2 )的等间隔抽样的等间隔抽样1, 2, 1, 0,)e ( DFT2j NmXkxmXmN kkkxkxXj -jeDTFT)e (1, 2, 1, 0,e2j -10 NmkxmXmkNNke12j10kRkxmXNkxNmkNNm e2j10mRmXkxmXNmkNNk DFT可以看成是截取可以看成是截取DFS的主值区间构成的变换对的主值区间构成的变换对。DFT, 10,:1的的点序列点序列求求例例kxNNkkkx 。DFT, 10),2cos(:2点点求求例例NNkkNkx 1 , 1, 1 , 1 kx求有限长求有限长
3、4点序列点序列 的的DFT。有限长有限长4点序列点序列DFT矩阵表示。矩阵表示。mkNNkmkNNkWkWkxmX1010 101 Nm)e2e2(1)1(2j2jkNNkNNNNkx 其他其他01, 12/NmNmX 求有限长求有限长4点序列点序列 的的DFT。1 , 1, 1 , 1 kxmkNNkWkxkxmX 10DFT23210004140 xxxxWkxXkk2321 01 34241414140 WxWxWxxWkxXkk232 1 0264442424140 WxWxWxxWkxXkk2321 0394643434140 WxWxWxxWkxXkk0 , 0 , 0 , 0 ,
4、 1 , 1, 1 , 11 kx如果序列后补零,其如果序列后补零,其DFT有何变化有何变化? ? 32 1 032 1 094643404644424043424140404040404xxxxWWWWWWWWWWWWWWWWXXXX 22221111j1j11111j1j1111132 1 0XXXXXm=2,2,-2,2, m=0,1,2,3有限长有限长4 4点序列点序列DFT矩阵表示矩阵表示:1 , 1, 1 , 1 kxmkNNkWkxkxmX 10DFTmkkmkNNkWkxWkxkxmX43010DFT 1 2 1 011111111 1 2 1 0)1()1()1(21)1(2
5、42121NxxxxWWWWWWWWWNXXXXNNNNNNNNNNNNNNNmkNNkWkxkxmX 10DFT 计算计算M点的点的DFT。M是序列是序列x的长度。的长度。 计算计算N点的点的DFT。 M N,将原序列裁为将原序列裁为N点计算点计算N点的点的DFT; M N,将原序列补零至将原序列补零至N点,然后计算点,然后计算N点点DFT。x=1 1 -1 1; xm=fft(x,4);subplot(311);stem(0:3,abs(xm);axis(0 4 -1 3);xm1=fft(x,8);subplot(312);stem(0:7,abs(xm1);axis(0 8 -1 3)
6、;xm2=fft(x,16); subplot(313);stem(0:15,abs(xm2);axis(0 16 -1 3);1 , 1, 1 , 1 kxmXmXmXmmm4 N8 N16 N? kx:思思考考x=0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0;xm=fft(x,16);subplot(311);stem(0:15,abs(xm);axis(0 16 -1 7);subplot(312);xm1=fft(x,64);stem(0:63,abs(xm1);axis(0 64 -1 7); subplot(313);xm2=fft(x,256);stem(0:2
7、55,abs(xm2);axis(0 256 -1 7); mXmXmXmmm16 N64 N256 N? kx:思思考考x=0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0;x1=0 0 0 0 0 1;N1=6;xm1=fft(x1);subplot(211);stem(0:N1-1,abs(xm1);xm16=fft(x1,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16);x2=0 0 0 0 0 1 1;N2=7;xm2=fft(x2);subplot(211);stem(0:N2-1,abs(xm2);gridxm16=fft(x2,16);su
8、bplot(212);stem(0:15,abs(xm16);gridx3=0 0 0 0 0 1 1 1;N3=8;xm3=fft(x3);subplot(211);stem(0:N3-1,abs(xm3);xm16=fft(x3,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16);gridx4=0 0 0 0 0 1 1 1 1;N4=9;xm4=fft(x4);subplot(211);stem(0:N4-1,abs(xm4);gridxm16=fft(x4,16);subplot(212);stem(0:15,abs(xm16);gridxm=fft(x,16);
9、subplot(515);stem(0:15,abs(xm); DFTDFTDFT2121kxbkxakbxkax 需将较短序列补零后,再按长序列的点数做需将较短序列补零后,再按长序列的点数做DFT 10)2(NkkmNjekbykaxkbykaxDFT 10)2(10)2(NkkmNjNkkmNjekybekxa mbYmaX )(kRnkxkyNN 循环位移定义为循环位移定义为:注意:隐含的周期性注意:隐含的周期性若若 DFT xk = Xm 则则 DFT xpk nRNk = WNnm Xm 表明:序列在时域上圆周移位,频域上将产生附加相移。表明:序列在时域上圆周移位,频域上将产生附加相
10、移。 10NkkmNpWnkx 1)(nNnimniNpWix1mXWWWixnmNnmNnNniimNp 证明:证明:DFT xpk nRN k nki 若若 DFT xk = Xm 则则 DFT xk WN lk = Xp m l RNm 表明:若序列在时域上乘以复数指数序列表明:若序列在时域上乘以复数指数序列WN lk,则在,则在频域上,频域上, Xm将圆周移位将圆周移位 l 位,也称位,也称“调制定理调制定理”。设设xk为实序列,为实序列, DFT xk = Xm ,则,则 Xm的实部的实部XRm是是m的偶函数的偶函数,虚部虚部XIm是是m的奇函数的奇函数 Xm的幅频是的幅频是m的偶函
11、数,相位是的偶函数,相位是m的奇函数。的奇函数。 具有半周期对称的特点,即具有半周期对称的特点,即 Xm = X*N m -1)实数序列)实数序列xk 102NkkmNjekxmX 1010)2sin()2cos(NkNkkmNkxjkmNkx 22mXmXmXIR arctanargmXmXmXRI mjXmXIR 1010)(mXWkxWkxmNXNkNNkNkmmNk x=0 0 0 1 1 1 1 0 0 0;xm=fft(x,10);subplot(221);stem(0:9,abs(xm);subplot(222);stem(0:9,angle(xm);subplot(223);x
12、m1=fft(x,11);stem(0:10,abs(xm1);subplot(224);stem(0:10,angle(xm1);设设xk为实序列,为实序列, DFT xk = Xm ,则,则 Xm的实部的实部XRm是是m的偶函数的偶函数,虚部虚部XIm是是m的奇函数的奇函数 Xm的幅频是的幅频是m的偶函数,相位是的偶函数,相位是m的奇函数。的奇函数。 具有半周期对称的特点,即具有半周期对称的特点,即 Xm = X*N m 10 N11 NmXmXargmXargmXopepkxkxkx 21*epkNxkxkx 21*opkNxkxkx ReDFTepmXkx ImjDFTopmXkx j
13、irkxkxkx 21DFTep*rmXmNXmXkx 21j DFTop*imXmNXmXkx 2)复数序列)复数序列xk若若x*k是有限长序列是有限长序列xk的共轭复数的共轭复数序列,并设序列,并设 xk = xRk + jxIk, x*k = xRk jxIk 有有 DFT x*k = X*N m 且且 Xepm = DFT xRk = Xm + X*N m/2 Xopm = DFT jxIk = Xm X*N m/22)复数序列)复数序列 )(1010NkkmNkkmNWkxWkxkxDFT21211010* NkNkkmNkmNepWkxWkxmNXmXmX2110kxDFTWkxk
14、xRNkmkmN 10)(mNXWkxNkmNk 1010nkxnhnkhnxkhkxkyNNnNNNnN DFT2121mXmXkxNkx1DFT2121mXNmXNkxkx2102101mXNkxNkNk 0,)(10 zzkxzXkNkkmNNkkxmX2j10e 有限长序列有限长序列xk的的DFT:有限长序列有限长序列xk的的z变换:变换:mNjezzXmX2)( mNNmNWzmXNzzX 1101)1()()e (jX)(zXmXzje mN2 mNjez2 0,e 1)(10102j10 zzmXNzkxzXkNkNmkmNkNk?)(1110101010 kNmNkmNkNkN
15、mmkNzWNmXzWmXNh(n)x(n) y(n)()()()()(mnhmxnhnxnym 如果序列如果序列x(n)的长度为的长度为 N1 、序列、序列h(n)的长度为的长度为N2 ,那么线,那么线性卷积性卷积y(n)也是一个有限长序列,且其长度为也是一个有限长序列,且其长度为 N1+N2 1。 每个每个x(n)的样值都必须与每个的样值都必须与每个h(n)的样值相乘,需的样值相乘,需N1N2次乘次乘法运算,在法运算,在 N1 = N2 = N 时,需时,需 N2次乘法运算。次乘法运算。 能否用圆周卷积代替线性卷积能否用圆周卷积代替线性卷积 ? 将进行卷积的两序列长度均加长至将进行卷积的两
16、序列长度均加长至N N1 + N2 1,然后再进,然后再进行圆卷积,则其圆卷积的结果与线卷积的结果相同。行圆卷积,则其圆卷积的结果与线卷积的结果相同。nkhnxkhkxkyn 3,2,1 ,0,2,1 ,0hhhhkhxxxkx 60,20 knkhnxnkhnxkhkxkynnnkhnxkhkxkyn 3,2,1 ,0,2,1 ,0hhhhkhxxxkx 0 , 0,3,2,1 ,0,0 , 0 , 0,2,1 ,0hhhhkhxxxkx 能否用圆周卷积代替线性卷积能否用圆周卷积代替线性卷积 ?10,10 NknkhnxkhkxkyNn50,50 knkhnxkhkxkyn20nkhnxkh
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