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1、理论力学理论力学质点力学质点力学第一章第一章 质点力学质点力学质点质点：最基本的力学：最基本的力学模型模型。只有质量没有大小的点。只有质量没有大小的点。所有物体都可看作质点的集合。所有物体都可看作质点的集合。当所研究物体的形状、大小与所讨论问题无关或当所研究物体的形状、大小与所讨论问题无关或所起作用很小时，我们就可把它看作一个几何点，所起作用很小时，我们就可把它看作一个几何点，所有质量集中在这一点上，称之为质点。所有质量集中在这一点上，称之为质点。何谓质点？何谓质点？（particle）理论力学理论力学质点力学质点力学首先确定参照系，选取坐标系。首先确定参照系，选取坐标系。原则：抓本质、简化问

2、题，建立合理的物理原则：抓本质、简化问题，建立合理的物理模型。模型。运动的描述运动的描述1 _坐标系坐标系常用坐标系：常用坐标系：直角坐标系；平面极坐标系；柱面坐标直角坐标系；平面极坐标系；柱面坐标系；球面坐标系；自然坐标系；系；球面坐标系；自然坐标系；在某一问题中规定坐标的方法。实质上在某一问题中规定坐标的方法。实质上是参照系的数学抽象。是参照系的数学抽象。参照物：参照物：参照系：参照系：坐标系：坐标系：为了确定一个物体的位置和描述其运动为了确定一个物体的位置和描述其运动而选作基准的另一物体。而选作基准的另一物体。与参照物相固连的空间。与参照物相固连的空间。理论力学理论力学质点力学质点力学

3、运动方程：表示质点运动规律（任一时刻质点位置）运动方程：表示质点运动规律（任一时刻质点位置）的方程。的方程。运动的描述运动的描述2 _运动方程运动方程选定了坐标系，不仅指明了参照系，而且还能够定量地选定了坐标系，不仅指明了参照系，而且还能够定量地描述质点的运动及其规律。描述质点的运动及其规律。ijkxyzP(x,y,z)zyxO)(tfxx)(tfyy)(tfzzr空间点的表示：空间点的表示：kzj yi xr手写体手写体r=r(t)质点机械运动即质点的空间位置随时间质点机械运动即质点的空间位置随时间的变化过程。的变化过程。坐标坐标(x,y,z)r=xi+yj+zk位矢：位矢：直角坐标系中的运

4、动方程直角坐标系中的运动方程直角坐标系直角坐标系单位矢量单位矢量时间时间t的单值连续函数的单值连续函数理论力学理论力学质点力学质点力学轨道：运动质点曾占据的所有空间点形成的轨迹。轨道：运动质点曾占据的所有空间点形成的轨迹。运动的描述运动的描述3 _轨道轨道轨道方程：消去运动方程中的时间轨道方程：消去运动方程中的时间t后所得到的诸后所得到的诸变量间的关系式。变量间的关系式。轨道轨道(path)直线直线曲线曲线运动（相对性）运动（相对性）极坐标系极坐标系运动方程：运动方程：r=r(t)；)(tr0极点极点极轴极轴),(rP曲线运动曲线运动直线运动直线运动轨道方程：轨道方程：)(rr 极坐极坐标系标

5、系理论力学理论力学质点力学质点力学位移（位移（displacement）：在给定时间内由质点）：在给定时间内由质点始位置引向末位置的始位置引向末位置的空间矢量空间矢量，称质点在此，称质点在此时间时间段段内相对于内相对于该参照系该参照系的位移。的位移。运动的描述运动的描述4 _位移位移rrBzyxOArrr服从平行四边形法则服从平行四边形法则矢量矢量质点运动时所经空间轨道长度和质点运动时所经空间轨道长度和标量标量位移位移路程路程ss ,理论力学理论力学质点力学质点力学（瞬时）速度（瞬时）速度（velocity） ：位失的时间变化率。：位失的时间变化率。运动的描述运动的描述5 _速度速度ttvtr

6、dtrdtrtv)(lim)(0zyxOrrArrBsdtdsdtrdvvspeed :轨道切线方向轨道切线方向dtdvrrArrBszyxO平均速度平均速度理论力学理论力学质点力学质点力学讨论讨论 吗？吗？ vv()( )ttt vvvaccbv( ) tv()ttvvOabcoaoc 在在ObOb上截取上截取有有cb(t)v-t)(tvvvvn速度方向变化引起速度方向变化引起速度大小变化引起速度大小变化引起abttt)()(vvv理论力学理论力学质点力学质点力学（瞬时）加速度：速度的时间变化率。（瞬时）加速度：速度的时间变化率。运动的描述运动的描述6 _加速度加速度rtvdtvdtvat

7、)(lim0(acceleration)大小大小:标志速度变化快慢，标志速度变化快慢，也可随时间变化。也可随时间变化。方向方向:速度改变的方向，速度改变的方向，通常随时间变化。通常随时间变化。ABzyxOrrrr)(tv)(tv)(ttvv22dtd理论力学理论力学质点力学质点力学讨论讨论Oddaatv问问 吗？吗？dv( ) tv(d )ttv( )(d )tttvv因为因为d0dtv所以所以举例：举例：匀速率圆周运动匀速率圆周运动所以所以taddv0dtvdaa而而理论力学理论力学质点力学质点力学速度、加速度的表达速度、加速度的表达1 _直角坐标系直角坐标系kzj yi xrkvjvivz

8、yx222222zyxvvvzyxv各轴速度分量各轴速度分量kajaiazyx各轴加速度分量各轴加速度分量222222zyxaaazyxa dtrdvkzj yi xdtvdakzj yi x 理论力学理论力学质点力学质点力学例题例题_直角坐标系直角坐标系例：已知一物体的运动方程如下：例：已知一物体的运动方程如下：其中其中A、B、C为常数，求其速度和加速度。为常数，求其速度和加速度。CtztBytAxsincos解：解：222zyxv2222222cossinCtBtAtAxsintBycosCz tAxcos2 tBysin2 0z tBtA22222sincos;),cos( vxiv22

9、2zyxa azkaayjaaxia ),cos(;),cos(;),cos(vzkvvyjv),cos(;),cos(理论力学理论力学质点力学质点力学速度、加速度的表达速度、加速度的表达2 _极坐标系极坐标系1ijijiji dj ddd极坐标中单位矢量方向随极坐标中单位矢量方向随时间而变。时间而变。iii djjj d极限情况下有极限情况下有：ddii dddjj d方向方向j/ii/jjdtddi ddti didtddj ddtj dA),(rdB),(drdryx0极坐标系极坐标系jdididjdi rr理论力学理论力学质点力学质点力学dtrdrrra)(122 横向横向2 rrar

10、径向径向速度、加速度的表达速度、加速度的表达2 _极坐标系极坐标系2i rrdtrdvdtvda源于位失大小改变源于位失大小改变源于位失方源于位失方向改变向改变)(irjrjrjri r jrrirr)2()(2 源于？源于？rv径向径向v横向横向dti rd)(dti dri r jri r dtjrddti rd)()(jaiar理论力学理论力学质点力学质点力学例题例题_极坐标系极坐标系已知某点运动方程如下：已知某点运动方程如下：其中其中 为常数，求其轨迹方程，速度和加速度。为常数，求其轨迹方程，速度和加速度。bterrct;0解：解：2222bcrvvvr)(4)(222222222bc

11、rcbbcraaarbtbcererrct00crecrrvctr0brrv)(22222bcrrbrcrrar bcrrra22 cbr,0理论力学理论力学质点力学质点力学速度、加速度的表达速度、加速度的表达3 _柱坐标系柱坐标系zRzyx0柱面坐标与直角坐标柱面坐标与直角坐标),(zrP)0 ,(rMrrvrrv zvz径向径向横向横向轴向轴向极坐标极坐标z轴轴dtrdrrra)(122 径向径向横向横向zaz 轴向轴向2 rrar222zrvvvv222zraaaa理论力学理论力学质点力学质点力学速度、加速度的表达速度、加速度的表达4 _自然坐标系自然坐标系1bn MM点的自然坐标系点的

12、自然坐标系nb0M弧坐标弧坐标自然坐标法：自然坐标法：弧坐标自然轴系弧坐标自然轴系s理论力学理论力学质点力学质点力学速度、加速度的表达速度、加速度的表达4 _自然坐标系自然坐标系2MMMM MMs 2sin2方向：方向：n /nnssdsdss1limlim00曲率：曲线的转角对弧曲率：曲线的转角对弧长一阶导数的绝对值。长一阶导数的绝对值。dsd123)1 ( 12yy)(xfy nvdtdsdsddtd理论力学理论力学质点力学质点力学速度、加速度的表达速度、加速度的表达4 _自然坐标系自然坐标系3dtvdadtdva 切向切向2van法向法向vsdtdsv仅切向仅切向内禀方程内禀方程nv源于

13、速度大小改变源于速度大小改变源于速度方向改变源于速度方向改变dtdvdtdvnvdtdv2理论力学理论力学质点力学质点力学选择选择平均速率平均速率tsvr)(ttrB)(trAxyosddstv瞬时速率瞬时速率 一运动质点在某瞬时位于矢径一运动质点在某瞬时位于矢径 的端点的端点处，其速度大小为处，其速度大小为),(yxrtrddtrdd（A）（B）（B）（B）trdd22)dd()dd(tytx（C）（D）理论力学理论力学质点力学质点力学例题例题_自然坐标系自然坐标系1例：教例：教P18例例3圆滚线示意图：圆滚线示意图：sin4as yxPOABOPC)2cos1 (cos)2sin2(sin

14、aaayaaax理论力学理论力学质点力学质点力学例题例题_自然坐标系自然坐标系2解：解：)2cos1 (2 addx2sin2addycos42cos22222aaddyddxddsdadscos400cos4dadsssin4as cos4cos4aadtdsvsin42adtdvacos422avan2224aaaan常数常数理论力学理论力学质点力学质点力学质点运动学小结质点运动学小结_几种分析方法几种分析方法1）矢量法：）矢量法：适于推导证明适于推导证明rdtrdvrdtvda )(trr222zyxvvvv222zyxaaaa2）直角坐标法：）直角坐标法：一般方法一般方法kzjyixv

15、kzjyixa xvxyvyzvzxax yay zaz vvkvvvjvvvivzyx),cos(;),cos(;),cos(aakaaajaaaiazyx),cos(;),cos(;),cos(3）自然坐标法：）自然坐标法：适于曲线轨道已知适于曲线轨道已知dtdva2vansv切向切向nvdtdva2sv22nvvv22naaanaanatg/),(4）平面极坐标法：）平面极坐标法：某夹角规律的平面运动某夹角规律的平面运动jrrirra)2()(2 jri rv2 rrar rra 2rvrrv22vvvr22aaarrvvivtg/),(raaiatg/),(理论力学理论力学质点力学质点

16、力学质点运动学小结质点运动学小结_分析方法间的关系分析方法间的关系svvvvvzyx22222222nzyxaaaaaaa2222vvsvvvvryx222222aaaaaaaarnyx三维运动情况：三维运动情况：二维运动情况：二维运动情况：理论力学理论力学质点力学质点力学质点运动学小结质点运动学小结_分析方法的特点和选择分析方法的特点和选择 矢量法：矢量法：可以用一个式子同时表示运动参数的大小和可以用一个式子同时表示运动参数的大小和方向，形式简明、运算方便，常用于证明或公式推导。方向，形式简明、运算方便，常用于证明或公式推导。 自然法：自然法：各运动参数的物理意义明确，且只与运动本各运动参数

17、的物理意义明确，且只与运动本身和其轨迹有关，不牵涉人为因素，常用于研究已知身和其轨迹有关，不牵涉人为因素，常用于研究已知轨道的情况。轨道的情况。 直角坐标法：直角坐标法：属于一般方法，通常在质点运动轨迹未属于一般方法，通常在质点运动轨迹未知时使用。使用该法时通常先建立运动方程，然后求知时使用。使用该法时通常先建立运动方程，然后求导得运动参数。导得运动参数。 平面极坐标法：平面极坐标法：首先必须是平面运动；再者运动质点首先必须是平面运动；再者运动质点和某一定线夹角规律变化时适用。和某一定线夹角规律变化时适用。理论力学理论力学质点力学质点力学质点运动学小结质点运动学小结_举例说明举例说明0例：例：

18、在图示平面机构中，直杆在图示平面机构中，直杆OA以匀角速以匀角速 绕过绕过O点点的固定轴逆时针转动，的固定轴逆时针转动，O和和O相距相距r，杆，杆OM长也为长也为r，绕过绕过O点的固定轴转动。两杆的运动通过套筒点的固定轴转动。两杆的运动通过套筒M联系联系在一起。设初始时刻杆在一起。设初始时刻杆OM与与O成一直线（即成一直线（即M在在M0处），试求套筒处），试求套筒M的运动方程以及它的速度和加速度。的运动方程以及它的速度和加速度。M0MOOArr可以使用的方法：可以使用的方法：自然坐标法；自然坐标法；极坐标法；极坐标法；直角坐标法；直角坐标法；理论力学理论力学质点力学质点力学质点运动学小结质点运

19、动学小结_举例说明举例说明1M0MOOArrn 求解求解1_自然坐标法：自然坐标法：解：解：由题意可知由题意可知M点的运动轨迹点的运动轨迹是以是以O为圆心、半径为圆心、半径r的一个圆。的一个圆。以初始位置以初始位置M0为弧坐标原点，为弧坐标原点，以套筒以套筒M的运动方向即逆时针方的运动方向即逆时针方向为弧坐标向为弧坐标s的正方向，任意时的正方向，任意时刻单位矢量如图所示，则：刻单位矢量如图所示，则：2trrMMs220M的速度大小为：的速度大小为：rsv2 切向加速度：切向加速度：法向加速度：法向加速度：0 va22224/4/rrrvanM的加速度大小为：的加速度大小为：2224raaan方

20、向沿法线方向指向方向沿法线方向指向圆心圆心O此即此即M的运动方程。的运动方程。方向垂直于方向垂直于OM并沿逆时针方向。并沿逆时针方向。理论力学理论力学质点力学质点力学质点运动学小结质点运动学小结_举例说明举例说明2M0MOOArrij求解求解2_极坐标法：极坐标法：解：解：选选O点为极点，点为极点，OM0为极轴，为极轴，则径向和横向单位矢量如图所示。则径向和横向单位矢量如图所示。所以所以M的速度大小为：的速度大小为：rvvvr222径向加速度：径向加速度：横向加速度：横向加速度：222440rrrrar 02 rraM的加速度大小为：的加速度大小为：2224raaart22极角极角:由题意知极

21、径：由题意知极径：rr常数常数此即此即M的运动方程的运动方程径向速度：径向速度：0 rvr横向速度：横向速度：rrv2方向垂直于方向垂直于OM并沿并沿逆时针方向。逆时针方向。j方向沿方向沿 方向方向i理论力学理论力学质点力学质点力学质点运动学小结质点运动学小结_举例说明举例说明3M0MOOArr2xyxyij求解求解3_直角坐标法：直角坐标法：解：解：在在O点建立直角坐标系如图所示。点建立直角坐标系如图所示。设设M点坐标为（点坐标为（x,y），则由题意可），则由题意可以 给 出以 给 出 M 点 的 运 动 方 程 为 ：点 的 运 动 方 程 为 ：所以所以M的速度大小为：的速度大小为：rv

22、vvyx222横轴加速度：横轴加速度：纵轴加速度：纵轴加速度：trxax2cos42 tryay2sin42 M的加速度大小为：的加速度大小为：2224raaayxtrrytrrx2sin2sin2cos2cos横轴速度：横轴速度：trxvx2sin2 纵轴速度：纵轴速度：方向：方向：tryvy2cos2 tvvjvtvvivyx2cos/),cos(;2sin/),cos(方向方向taajataaiayx2sin/),cos(;2cos/),cos(理论力学理论力学质点力学质点力学质点运动学小结质点运动学小结_举例说明举例说明4三者比较而言，显然自然坐标法最为简便直观，物理三者比较而言，显然

23、自然坐标法最为简便直观，物理图象清晰明了；极坐标次之；直角坐标法较繁琐，且图象清晰明了；极坐标次之；直角坐标法较繁琐，且速度和加速度方向不明了。速度和加速度方向不明了。注意注意1不仅要注意选择合适的坐标系，而且坐标不仅要注意选择合适的坐标系，而且坐标系建在何处也很重要。系建在何处也很重要。该题中如果将极坐标系建在该题中如果将极坐标系建在O点会怎样？点会怎样？该题中如果将直角坐标系建在该题中如果将直角坐标系建在O点会怎样？点会怎样？画图分析时要把质点置于一个一般位置。画图分析时要把质点置于一个一般位置。特殊位置不能代表和得到任意时刻的表特殊位置不能代表和得到任意时刻的表达式。达式。注意注意2理论

24、力学理论力学质点力学质点力学平动参照系平动参照系1),(zyxPr0rrr0rrr0vvv r) , , (zyxP运动运动)0 , 0 , 0(o)( 000zyxo0r静止静止0aaa0vvv绝对（加）速度绝对（加）速度：相对于相对于“静止静止”参照系的运动参照系的运动（加）速度。（加）速度。牵连（加）速度牵连（加）速度：被运动参照系牵被运动参照系牵着一同运动的着一同运动的（加）速度。（加）速度。相对（加）速度相对（加）速度：相对于运动参照系相对于运动参照系的运动（加）速度。的运动（加）速度。理论力学理论力学质点力学质点力学平动参照系平动参照系2动点动点动系动系定系定系重合点重合点（属于动

25、系（属于动系)Relative 相对轨迹，相对运动相对轨迹，相对运动av,av,绝对轨迹，绝对运动绝对轨迹，绝对运动Absolute 00av牵连运动牵连运动Embroiled 0vvv0aaa理论力学理论力学质点力学质点力学平动参照系平动参照系3_例例P221CAMijr2C例：小船例：小船M被水流冲走后，用一绳子将它被水流冲走后，用一绳子将它拉回到岸边拉回到岸边A点。假定水流速度点。假定水流速度 沿河宽不沿河宽不变，而拉绳子的速度则为变，而拉绳子的速度则为 。如果小船可。如果小船可以看成一个质点，求小船的轨迹。以看成一个质点，求小船的轨迹。1C2C有水流时的船速有水流时的船速理解分析题意：理解分析题意：径向径向横向横向ij2C无水流时的船速无水流时的船速（船相对于水的速度）（船相对于水的速度）水流速度水流速度？cos1Csin1C？0dtdrCvdtdrCvrsin1200csc12dCCrdrrr理论力学理论力学质点力学质点力学平动参照系平动参照系4_例例P22dtdrCvdtdrCvrsin1200csc12dCCrdrrr221200lnlntgtgCCrr120220CCctgtgrr理论力学理论力学质点力学质点力学作业作业作业：作业：1.3) 1.11) 1.13) 1.15) 1.18)