北京专用2019版高考数学一轮复习第三章导数及其应用第四节导数与函数的综合问题夯基提能作业本（文科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第四节 导数与函数的综合问题 A组 基础题组 1.若某商品的年利润 y(万元 )与年产量 x(百万件 )的函数关系式为 y=-x3+27x+123(x0),则获得最大年利润时的年产量为 ( ) A.1 百万件 B.2百万件 C.3 百万件 D.4百万件 2.(2014 课标 ,12,5 分 )已知函数 f(x)=ax3-3x2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x0,且 x00,则 a的取值范围是 ( ) A.(2,+) B.(1,+) C.(-, -2) D.(-, -1) 3.(2016 北京朝阳期中 )已知函数 f(x)=aln x+ -(a+1)x. (

2、1)当 a0时 ,求函数 f(x)的单调区间 ; (2)当 a=-1时 ,证明 f(x) . 4.(2018 北京海淀期中 )已知函数 f(x)=x3-x,g(x)=2x-3. (1)求曲线 y=f(x)在点 (1, f(1)处的切线方程 ; (2)求函数 f(x)在 0,2上的最大值 ; (3)求证 :存在唯一的 x0,使得 f(x0)=g(x0). =【 ;精品教育资源文库 】 = 5.(2016 北京海淀二模 )已知 f(x)=x3+ax2-a2x-1,a0. (1)当 a=2时 ,求函数 f(x)的单调区间 ; (2)若关于 x的不等式 f(x)0 在 1,+) 上有解 ,求实数 a的

3、取值范围 ; (3)若存在 x0既是函数 f(x)的零点 ,又是函数 f(x)的极值点 ,请写出此时 a的值 .(只需写出结论 ) B组 提升题组 6.(2017 北京西城一模 )已知函数 f(x)=ex- x2.设 l为曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0)处的切线 ,其中x0 -1,1. (1)求直线 l的方程 (用 x0表示 ); (2)求直线 l在 y轴上的截距的取值范围 ; (3)设直线 y=a分别与曲线 y=f(x)和射线 y=x-1(x0,+) 交于 M,N 两点 ,求 |MN|的最小值及此时 a的值 . 7.(2018 北京海淀期末 )已知函数 f(x)=(x-1)ex

4、+ax2. (1)求曲线 y=f(x)在点 (0, f(0)处的切线方程 ; (2)求证 :“a0).若函数 h(x)在 (0,+) 上恰有2 个零点 ,求实数 a的取值范围 .=【 ;精品教育资源文库 】 = 答案精解精析 A组 基础题组 1.C y=-3x2+27=-3(x+3)(x-3), 当 00;当 x3时 ,y0,则由图象知 f(x)有负数零点 ,不符合题意 . 则 a0知 ,此时必有 f 0,即 a -3 +10,化简得 a24,又 a0. f (x)= +x-(a+1)= = . (1) 当 00,得 x1或 00,所以 f (x)0 恒成立 . 函数 f(x)的单调递增区间是

5、 (0,+). 当 a1时 ,令 f (x)0,得 xa或 00,h(-1)h(1)0, 所以函数 h(x)在 (-1,+) 上没有零点 , 又 h(-3)=-150, 令 f (x)=0,得 x1= 0,x2=-a1,即 a3时 , f(x)在区间 上单调递减 ,在 上单调递增 , 所以 f(x)在 1,+) 上的最小值为 f , 所以有 f 0, 即 + - -10. 解得 a - ,所以 a3.综上 ,a1. (3)a=1. B组 提升题组 6. 解析 (1)对 f(x)求导 ,得 f (x)=ex-x, 所以切线 l的斜率为 f (x0)= -x0, 由此得切线 l的方程为 y- =(

6、 -x0)(x-x0), 即 y=( -x0)x+(1-x0) + . (2)由 (1)得 ,直线 l在 y轴上的截距为 (1-x0) + . 设 g(x)=(1-x)ex+ x2,x -1,1. 所以 g(x)=x(1-ex),令 g(x)=0,得 x=0. 所以 g(x),g(x)随 x的变化情况如下表 : x -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 g(x) - 0 - g(x) + 1 所以函数 g(x)在 -1,1上单调递减 , =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 g(x)max=g(-1)= + , g(x)min=g(1)= , 所以直线 l在 y轴上的截距的取值范围是 .

7、(3)过 M 作 x轴的垂线 ,与射线 y=x-1(x0,+) 交于点 Q, 所以 MNQ 是等腰直角三角形 , 所以 |MN|=|MQ|= . 令 h(x)=ex- x2-x+1,x0,+). 所以 h(x)=ex-x-1(x0). 令 k(x)=ex-x-1(x0), 则 k(x)=ex-10(x0), 所以 k(x)=h(x)在 0,+) 上单调递增 , 所以 h(x)h(0)=0, 从而 h(x)在 0,+) 上单调递增 , 所以 h(x)min=h(0)=2, 此时 M(0,1),N(2,1). 所以 |MN|的最小值为 2,此时 a=1. 7. 解析 (1)依题意 , f (x)=

8、xex+2ax,xR, 所以切线的斜率 k=f (0)=0. 又因为 f(0)=-1,所以切线方程为 y=-1. (2)证明 :先证不必要性 . 当 a=0时 , f(x)=(x-1)ex,令 f(x)=0, 解得 x=1.此时 ,f(x)有且只有一个零点 , 故 “f(x) 有且只有一个零点 , 则 a0, 所以 f(x)有且只有一个零点 . (ii)当 ln(-2a)e2-20,所以 f(x)有且只有一个零点 . (iii)当 ln(-2a)0, 即 a1. 下面证明当 x1时 ,exx2. 设 g(x)= (x1),则 g(x)= . 当 x(1,2) 时 ,g(x)0,g(x)在 (1,2)上单调递增 ; 当 x(2,+) 时 ,g(x)0, g(x)在 (2,+) 上单调递减 .