《误差理论与测量平差基础》第三章课件.ppt

1、第三章第三章 协方差传播律及权协方差传播律及权 概概 述述3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律3.2 3.2 协方差传播律的应用协方差传播律的应用3.3 3.3 权与定权的常用方法权与定权的常用方法3.4 3.4 协因数阵与权阵协因数阵与权阵3.5 3.5 协因数传播律协因数传播律3.6 3.6 由真误差计算中误差及其实际应用由真误差计算中误差及其实际应用3.7 3.7 系统误差的传播系统误差的传播结束结束概概 述述一、一、为什么要学习协方差传播律为什么要学习协方差传播律 以及什么是以及什么是协方差传播律协方差传播律二、二、学习协方差传播律需要的基础知识学习协方差传播律需要的基础知识返回返

2、回为什么要学习协方差传播律为什么要学习协方差传播律以及什么是以及什么是协方差传播律协方差传播律 BPBPsxxcosBPBPsyysin360BABP)arctan(BABABAxxyy式中：式中：返回返回二、学习协方差传播律需要的基础知识二、学习协方差传播律需要的基础知识方差：方差： 的方差。为的方差；为YYY)Y(X)(22y22xEEDXEXEXD1、方差与协方差、方差与协方差 协方差：协方差：相关与不相关、独立与不独立相关与不相关、独立与不独立 的协方差。、为YXYEYXEXEXY相关。、，则不相关；若、，则若YX0YX0XYXY二、学习协方差传播律需要的基础知识二、学习协方差传播律需

3、要的基础知识 就是就是 2、方差、方差协方差阵与互协方差阵协方差阵与互协方差阵nixix2ixjixx)(ji TnnxxxxxxX.2121)(.2121XETxxxxxxXnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxTXXXXXXED2222122121211)(XXDX方差方差协方差阵协方差阵学习协方差传播率需要的基础知识学习协方差传播率需要的基础知识 互协方差阵互协方差阵1,nX1,rY1 ,nX1 , rYYXZZYYYXXYXXZZDDDDDrnnnrryxyxyxyxxxyxyxyxyxXYD212221212111YXTTYXXYDYXED)(XYD返回返回3.1 3.1 协方

4、差传播律协方差传播律XXXXD2212222111212212121),()()()(,nnnnnXXnnXnDXEXEXEXEXXXX02211kXkXkXkZnn3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律.21nkkkK 1 , 101 , 11 , 1kXKZnnTXXkKkKXkKkKXE)(0000TTXXKXXKE)(TTXXKXXKE)(TXXZZZKKDD2000)()()(kKkXKEkKXEZEXTZZZEZZEZED)()(1 , 101 , 11 , 1kXKZnn即：即：3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律ZZD133112212222222121222kkkkkk

5、kDnnZZZnnnnnnkkkk, 111122), 2 , 1(niXi22222221212nnZZZkkkD0KKXZTXXZZKKDD)(0jiij则有：则有：3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律例例3-1 3-1 在在1 1：500500的地图上，量得某两点间的距离的地图上，量得某两点间的距离 =23.4mm=23.4mm 的量测中误差的量测中误差 = =0.2mm0.2mm， 求该两点实地距离求该两点实地距离 及及中误差中误差 。解解： ddSSdmmmdS7 .11117004 .23500500222500dsmmmdS1 . 0100)2 . 0(500500mmS1

6、. 07 .11最后写成最后写成: :3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律1 , nX1 ,nXXD2212222111212,21211 ,211 ,),()()()(,nnnnnnnXXnnnXnnDXEXEXEXEXXXX1 ,nX3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律设有设有t t个个 的线性函数：的线性函数：0221120222212121012121111tntntttnnnnkXkXkXkZkXkXkXkZkXkXkXkZ有有t t个个的的线线性性函函数数：令：令： ttZZZZ211 ,tnttnnntkkkkkkkkkK212222111211,020101 ,0ttk

7、kkK1 ,01 ,1 ,tnnttKXKZ则：则： nnXXXX211 ,1 ,nXtnTnnXXntttZZKDKD,3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律证明：方法同一个线性函数，均根据方差定义推导。证明：方法同一个线性函数，均根据方差定义推导。00)()(KKKKXEZEx)()(,TttZZZEZZEZED)(TxxKKXKKXETTxxKXXKE)(tnTnnXXntttZZKDKD,1 ,01 ,1 ,tnnttKXKZ3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律设另有设另有r r个个 的线性函数：的线性函数：0221120222212121012121111rnrnrrrnnnn

8、fXfXfXfYfXfXfXfYfXfXfXfY有有t t个个的的线线性性函函数数：令：令： trYYYY211 ,rnrrnnnrfffffffffF212222111211,020101 ,0rrfffF1 ,01 ,1 ,rnnrrFXFY则：则： nnXXXX211 ,1 ,nXrnTnnXXnrrrYYFDFD,3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律00)()(FFFFXEYEx)()(,TtrYZZEZYEYED)(TxxKKXFFXETTxxKXXFE)(trTZYTrnTnnXXnttnTnnXXnrtrYZDFDKKDFD,1 ,01 ,1 ,rnnrrFXFY下面导出互协

9、方差阵的公式：下面导出互协方差阵的公式：00)()(KKKKXEZEx1 ,01 ,1 ,tnnttKXKZ若：若：则：则：即：即：3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律例例3-4 3-4 在一个三角形中，同精度独立观测得到在一个三角形中，同精度独立观测得到 三个内角三个内角L1L1、L2L2、L3L3，其中误差均为其中误差均为 ，将，将 闭合差平均分配后各角的协方差阵。闭合差平均分配后各角的协方差阵。例例3-5 3-5 设有函数：设有函数：1 ,11 ,11 ,rrtnnttYFXFZ已知已知: :XYYYXXDDD和、求求: :ZYZXZZDDD和、3.1 3.1 协方差传播律协方差传播

10、律上节课小结：上节课小结：1 , 101 , 11 , 1kXKZnn1 , 121 , 1nTnnXXnZZZKDKD222222212121 , 1nnZZZkkkD)(0jiij1 ,01 ,1 ,tnnttKXKZtnTnnXXntttZZKDKD,1 ,01 ,1 ,rnnrrFXFYrnTnnXXnrrrYYFDFD,trTZYTrnTnnXXnttnTnnXXnrtrYZDFDKKDFD,一个线性函数：一个线性函数：中误差传播律：中误差传播律：多个线性函数：多个线性函数：若：若：互协方差阵：互协方差阵：无协方差！无协方差！3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律1nX ),(21

11、nXXXfZXXDZZD。TnnXXXX002011 ,0)()(),(0110100201XXXfXXXfZn二次以上项）()()()()(0002202nnnXXXfXXXf若有：若有：取台劳级数至一次项：取台劳级数至一次项：0020121)()()(nnXfXfXfkkkK01002010),(iniinXkXXXfk002211kKXkXkXkXkZnnTXXZZKKDD3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律002010210,)(), 2 , 1(nTniiiXXXfZZZdZdXdXdXdXniXXdXKdXdXXfdXXfdXXfdZnn0202101)()()(TXXZZKK

12、DD若令：若令：则：则：同样可得：同样可得：为什么？为什么？有相同的方差！与、与因为ZdZXdXii3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律1nX),(),(),(2121222111nttnnXXXfZXXXfZXXXfZnnttttnnnndXXfdXXfdXXfdZdXXfdXXfdXXfdZdXXfdXXfdXXfdZ02021010220221012201202110111)()()()()()()()()(ttdZdZdZdZ211 ,nndXdXdXdX211 ,00201022201201021011,)()()()()()()()()(ntttnnntXfXfXfXfXfXf

13、XfXfXfKKdXdZ TXXZZKKDD3.1 3.1 协方差传播律协方差传播律1.1.按要求写出函数式，如：按要求写出函数式，如： 或：或：2.2.如果为非线性函数，则对函数式求全微分，得：如果为非线性函数，则对函数式求全微分，得： 3.3.写成矩阵形式：写成矩阵形式： 4.4.应用协方差传播律求方差或协方差阵：应用协方差传播律求方差或协方差阵： ), 2 , 1(),(21tiXXXfZniinniiiidXXfdXXfdXXfdZ0202101)()()(), 2 , 1(ti0KKXZKdXdZ TXXZZKKDD0221120222212121012121111tntntttnn

14、nnkXkXkXkZkXkXkXkZkXkXkXkZ返回返回3.2 3.2 协方差传播律的应用协方差传播律的应用ihNABhhhh21经个经个N N测站测定两水准点测站测定两水准点A A、B B间的高差，间的高差，站的观测高差为站的观测高差为 ，其中第其中第i(ii(i=1,2=1,2N)N)则则A A、B B两水准点间的高差为：两水准点间的高差为：（3-2-13-2-1）设各测站观测高差是设各测站观测高差是等精度等精度的的独立观测值独立观测值，其中误差均为，其中误差均为站则由中误差传播律可得：则由中误差传播律可得：22222站站站站NABh站NABh（3-2-23-2-2）若水准路线敷设在平

15、坦的地区，前后量测站间的距离若水准路线敷设在平坦的地区，前后量测站间的距离s s大致大致相等，设相等，设A A、B B间的距离为间的距离为S S，则测站数，则测站数N=S/sN=S/s，代入上式得：，代入上式得：站sSABhsN1公里站公里s1公里SABh（3-2-53-2-5） 设对某量以设对某量以等精度独立等精度独立观测了观测了N N次，得观测值次，得观测值 ，它们，它们的中误差均等于的中误差均等于 。则。则N N个观测值的算术平均值为：个观测值的算术平均值为：由中误差传播律得：由中误差传播律得： 即：即：N N个同精度独立观测值的算术平均值的中误差，等于各观测值的中误差除以个同精度独立观

16、测值的算术平均值的中误差，等于各观测值的中误差除以 。 3.2 3.2 协方差传播律的应用协方差传播律的应用 设对某量以设对某量以等精度独立等精度独立观测了观测了N N次，得观测值次，得观测值 ，它们，它们的中误差均等于的中误差均等于 。则。则N N个观测值的算术平均值为：个观测值的算术平均值为：由中误差传播律得：由中误差传播律得： 即：即：N N个同精度独立观测值的算术平均值的中误差，等于各观测值的中误差除以个同精度独立观测值的算术平均值的中误差，等于各观测值的中误差除以 。 NLLL、21 NLNLNLNNLx11121，NNNNx22222222111NNx3.2 3.2 协方差传播律的

17、应用协方差传播律的应用 一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响。在这种情况下，一个观测结果同时受到许多独立误差的联合影响。在这种情况下，观测结果的真误差是各个独立误差的代数和，即观测结果的真误差是各个独立误差的代数和，即由于这里的真误差是相互独立的，各种误差的出现都是随机的，因而也由于这里的真误差是相互独立的，各种误差的出现都是随机的，因而也可由（可由（1-5-121-5-12）并顾及）并顾及 得出它们之间的方差关系式得出它们之间的方差关系式 即观测结果的方差即观测结果的方差 ，等于各独立误差所对应的方差之和。，等于各独立误差所对应的方差之和。nZ210ij222212nZ2Z返回返回3.

18、3 3.3 权与定权的常用方法权与定权的常用方法一、权的定义一、权的定义22002:,),.,2, 1(iiiipniL，则定义若选定任一常数它们的方差分别为设称为观测值称为观测值LiLi的权。权与方差成反比：的权。权与方差成反比：2222122022202120211:1:1:nnnppp表示各观测值方差之间比例关系的数字特征称之为权。表示各观测值方差之间比例关系的数字特征称之为权。权是表征精度的权是表征精度的相对的相对的数字指标。数字指标。生变化。而变化，但权比不会发权的大小随20)2(所以，可有任意组权！可任意选定而值，即对应一组权。选定一个! (1)00（3）权是衡量精度的相对指标，为

19、了使权起到比较精度的作用，同一平差问题只能选选定一个0。（4）只要事先给定一定的条件，就可以定权。3.3 3.3 权与定权的常用方法权与定权的常用方法关于权的几点重要解释：关于权的几点重要解释：二、单位权中误差二、单位权中误差。为称为单位权中误差，记单位权观测值的中误差测值的观测值称为单位权观权等于0,1三、常用的定权方法三、常用的定权方法1、水准测量的权、水准测量的权iiscp iiNcp 3.3 3.3 权与定权的常用方法权与定权的常用方法站数！是单位权观测高差的测此时，定权根据测站数相同，的中误差一是假定每站观测高差站C: )()(iiPN里数（路线长度）！是单位权观测高差的公定权根据路

20、线长度相同，差的中误差二是假定每公里观测高公里C: )()(iiPS3 3、观测量中既有边又有角时的定权、观测量中既有边又有角时的定权2222201或毫米厘米秒为：此时，边长观测值的权，权为单位权，即：通常，取角度观测值的iissPP2622)10(issbai：边长观测值的中误差为3.3 3.3 权与定权的常用方法权与定权的常用方法返回返回2 2、同精度观测值的算术平均值的权、同精度观测值的算术平均值的权CNPCNLiiii，则有：数为单位权观测值的观测次，的观测次数为，设每次观测的中误差为3.4 协因数阵与权阵一、协因数与协因数阵一、协因数与协因数阵2020220222111:,jiiij

21、jjjjiiiiijjijipQpQpQLL，令协方差为它们的方差为设的协因数或权倒数。为iiiLQ的协因数或权倒数。为jjjLQ或相关权倒数。的协因数关于为jiijLLQ注意：协因数与权互为注意：协因数与权互为 倒数关系！倒数关系！ijjijjjiiiQQQ20202202变换形式为：nnnnnnnnnnnXXQQQQQQQQQD212222111211202212222111221不难得出：为为协协因数阵因数阵3.4 协因数阵与权阵XXXXQD20或：XXQ特点特点：对称，对角元素为权倒数；对称，对角元素为权倒数； 正定；正定； 各观测量互不相关时，为对角矩阵。各观测量互不相关时，为对角矩

22、阵。 当为等精度观测，则为单位阵。当为等精度观测，则为单位阵。nnnnnnXXQQQQQQQQQQ2122221112113.4 协因数阵与权阵二、权二、权阵阵11LLLLLLLLPQEQPQPLLLL返回返回3.4 协因数阵与权阵nnnnnnpppppppppP212222111211权阵的具体形式为：注意：当注意：当P为非对角阵为非对角阵时，时， Pii不是观测量不是观测量Li的的权，因为：权，因为：iiiiQP1例例3-103-103.5 协因数传播律 00KKXZFFXYTXXZYTXXYZTXXZZTXXYYFDKDKDFDKDKDFDFDTXXTXXZYTXXTXXYZTXXTXX

23、ZZTXXTXXYYFKQFQKQKFQKQFQKKQKQKQFFQFQFQ202020202020202020202020TXXZYTXXYZTXXZZTXXYYFKQQKFQQKKQQFFQQQD20设有观测值设有观测值X的线性函数：的线性函数：由协方差传播律得：由协方差传播律得：根据协因数阵的定义得：根据协因数阵的定义得：代入上式得：代入上式得：这就是协因数传播律！这就是协因数传播律！一、观测值线性函数的情况一、观测值线性函数的情况3.5 协因数传播律 ),(),(),(,),(),(),(21212211212121221121ntnntnrnnrXXXfXXXfXXXfZZZZXXX

24、FXXXFXXXFYYYYTXXZYTXXYZTXXZZTXXYYFKQQKFQQKKQQFFQQ设有观测值设有观测值X的非线性函数：的非线性函数：将其线性化后，得：将其线性化后，得：二、观测值非线性函数的情况二、观测值非线性函数的情况KdXdZFdXdYnrrrnnXFXFXFXFXFXFXFXFXFF212221212111ntttnnXfXfXfXfXfXfXfXfXfK2122212121113.5 协因数传播律 均为对角阵：则其权阵、协因数阵其权为设有独立观测值,), 2 , 1(iiPniL002211kKLkLkLkLkZLnni的线性函数：若有nnZZZPkPkPkPQ11112222121则由协因数传播律得：三、权倒数传播律三、权倒数传播律nLLpppP00000021nLLnnLLpppPQQQQ1000100010000002112211对于非线性函数：对于非线性函数：),(21nLLLfZ先将其线性化：先将其线性化：KdLdLLfdLLfdLLfdZnn2211同样由协因数传播律可得：同样由协因数传播律可得：nnZZZpLfpLfpLfPQ1)(1)(1)(12222121这就是权倒数传播律！这就是权倒数传播律！返回返回