《运筹学》研究生用概述课件.ppt

1、1运筹学运筹学2 1、绪、绪 论论 2、线、线 性性 规规 划划 3、运、运 输输 问问 题题 4、动、动 态态 规规 划划 5、图与网络分析、图与网络分析 6、排、排 队队 论论 7、教学日历、教学日历运运 筹筹 学学 目录目录说说 明明 本教学课件是与教材紧密配合使用的，教材为：管理数学（下）-运筹学 蓝伯雄程佳惠陈秉正编著清华大学出版社，2000年3月参考书：运筹学 清华大学出版社或其他的运筹学方面本科教材的相关内容3绪 论 运筹学（运筹学（Operational Research) Operational Research) 直译为直译为“运作研究运作研究” 运筹学是运用科学的方法（如

2、分析、试验、量化等）来决定如何最佳地运营和设计各种系统的一门学科。运筹学对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。 运筹学有广泛应用（可以自己找一些参考书看） 运筹学的产生和发展（可以自己找一些参考书看）4运筹学解决问题的过程运筹学解决问题的过程1）提出问题：认清问题2）寻求可行方案：建模、求解3）确定评估目标及方案的标准或方法、途径4）评估各个方案：解的检验、灵敏性分析等5）选择最优方案：决策6）方案实施：回到实践中7）后评估：考察问题是否得到完满解决1）2）3）：形成问题；4）5）分析问题：定性分析与定量分析。构成决策。5运筹学

3、的分支运筹学的分支 线性规划 非线性规划 整数规划 动态规划 多目标规划 随机规划 模糊规划等 图与网络理论 存储论 排队论 决策论 对策论 排序与统筹方法 可靠性理论等6运筹学在工商管理中的应用运筹学在工商管理中的应用 生产计划：生产作业的计划、日程表的编排、合理下 料、配料问题、物料管理等 库存管理：多种物资库存量的管理，库存方式、库存 量等 运输问题：确定最小成本的运输线路、物资的调拨、 运输工具的调度以及建厂地址的选择等 人事管理：对人员的需求和使用的预测，确定人员编 制、人员合理分配，建立人才评价体系等 市场营销：广告预算、媒介选择、定价、产品开发与 销售计划制定等 财务和会计：预测

4、、贷款、成本分析、定价、证券管 理、现金管理等 * 设备维修、更新，项目选择、评价，工程优化设计与管理等7运筹学方法使用情况运筹学方法使用情况( (美美1983)1983)（% %）0 01010202030304040505060607070统计统计计算机模拟计算机模拟网络计划网络计划线性规划线性规划排队论排队论非线性规划非线性规划动态规划动态规划对策论对策论从不使用从不使用有时使用有时使用经常使用经常使用80 0101020203030404050506060707080809090统计统计计算机模拟计算机模拟网络计划网络计划线性规划线性规划排队论排队论非线性规划非线性规划动态规划动态规划

5、对策论对策论从不使用从不使用有时使用有时使用经常使用经常使用运筹学方法在中国使用情况运筹学方法在中国使用情况( (随机抽样随机抽样) )（% %）9运筹学的推广应用前景运筹学的推广应用前景 据美劳工局据美劳工局19921992年统计预测年统计预测: : 运筹学应用分析人员需求从运筹学应用分析人员需求从19901990年到年到20052005年的增长百分比预测为年的增长百分比预测为73%,73%,增长速度排到各项增长速度排到各项职业的前三位职业的前三位. .结论结论: : 运筹学在国内或国外的推广前景是非常广阔的运筹学在国内或国外的推广前景是非常广阔的 工商企业对运筹学应用和需求是很大的工商企业

6、对运筹学应用和需求是很大的 在工商企业推广运筹学方面有大量的工作要做在工商企业推广运筹学方面有大量的工作要做10学习运筹学要把重点放在分析、理解有关的概念、思路上。在自学过程学习运筹学要把重点放在分析、理解有关的概念、思路上。在自学过程中，应该多向自己提问，如一个方法的实质是什么，为什么这样做，怎中，应该多向自己提问，如一个方法的实质是什么，为什么这样做，怎么做等。么做等。自学时要掌握三个重要环节：自学时要掌握三个重要环节： 1、认真阅读教材和参考资料，以指定教材为主，同时参考其他有关书籍。一般每一本运筹学教材都有自己的特点，但是基本原理、概念都是一致的。注意主从，参考资料会帮助你开阔思路，使

7、学习深入。但是，把时间过多放在参考资料上，会导致思路分散，不利于学好。 2、要在理解了基本概念和理论的基础上研究例题，注意例题是为了帮助你理解概念、理论的。作业练习的主要作用也是这样，它同时还有让你自己检查自己学习的作用。因此，做题要有信心，要独立完成，不要怕出错。因为，整个课程是一个整体，各节内容有内在联系，只要学到一定程度，知识融会贯通起来，你做题的正确性自己就有判断。 3、要学会做学习小结。每一节或一章学完后，必须学会用精炼的语言来该书所学内容。这样，你才能够从较高的角度来看问题，更深刻的理解有关知识和内容。这就称作“把书读薄”，若能够结合自己参考大量文献后的深入理解，把相关知识从更深入

8、、广泛的角度进行论述，则称之为“把书读厚”在建数学模型时要结合实际应用，要学会用计算机软件解决问题在建数学模型时要结合实际应用，要学会用计算机软件解决问题。如何学习运筹学课程如何学习运筹学课程返回目录11各章节的重点、难点各章节的重点、难点及注意事项及注意事项121 1、 线线 性性 规规 划划线性规划模型：线性规划模型： 目标函数：Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件：s.t. x1 + x2 300 2 x1 + x2 400 x2 250 x1 , x2 0*看 p 7-9 例1-1，1-2 例例1. 某工厂在计划期内要安排甲、乙两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设

9、备台时及A、B两种原材料的消耗以及资源的限制，如下表：问题：工厂应分别生产多少单位甲、乙产品才能使工厂获利最多？甲乙资 源 限 制设 备113 0 0 台 时原 料 A214 0 0 千 克原 料 B012 5 0 千 克单 位 产 品 获 利5 0 元1 0 0 元131 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.11.1）1. 1 线性规划的概念线性规划的概念线性规划的组成线性规划的组成： 目标函数 Max f 或 Min f 约束条件 s.t. (subject to) 满足于 决策变量 用符号来表示可控制的因素 一般形式一般形式 ( p10- p 11)目标函数： Max （Min）

10、z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn 约束条件： s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn （ =, ）b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn （ =, ）b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn （ =, ）bm x1 ，x2 ， ，xn 0 标准形式标准形式 ( p11- p 15 ，例，例1-3)目标函数： Max z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn 约束条件： s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn =

11、 b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm x1 ，x2 ， ，xn 0*练习：p 68-70 习题1 1-1，1-2141 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.21.2）1. 2 线性规划问题解的概念及性质线性规划问题解的概念及性质熟悉下列一些解的概念（p15-16） 可行解、可行解集（可行域），最优解、最优值，基、基变量、非基变量，基本解、基本可行解，可行基、最优基。 图解方法及各有关概念的意义（p16-20） 看：图解法步骤，例1-4，1-5，1-6，1-7，1-8，1-9 下一页是一个图解法解题的一个例子，右图中的阴影部分为可行域。 单纯形法的理论基础

12、（p20-30） 1.2.3段要求看懂，了解如何直接通过对约束矩阵的分析求出基本可行解 1.2.4, 1.2.5两段应注重结论的了解，如单纯形法思想和关于线性规划解的四个定理，而对证明过程则可根据自己的数学基础来掌握： 基础很好，可要求掌握；否则，也可略去不看。*习题：p70 习题1 1-3，1-4151 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.21.2）例例1.目标函数： Max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件： s.t. x1 + x2 300 (A) 2 x1 + x2 400 (B) x2 250 (C) x1 0 (D) x2 0 (E)得到最优解： x1 = 50

13、， x2 = 250 最优目标值 z = 27500161 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3）1. 3 单纯形法单纯形法 利用单纯形表的方法求解线性规利用单纯形表的方法求解线性规划划重点重点 (p30-45 1.3.1, 1.3.2, (p30-45 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3)1.3.3) 此项内容是本章的重点，学习中应此项内容是本章的重点，学习中应注意掌握表格单纯形法求解线性规划问注意掌握表格单纯形法求解线性规划问题的基本过程。要通过读懂教材内容以题的基本过程。要通过读懂教材内容以及大量练习来掌握。及大量练习来掌握。171 1、 线线 性性 规规 划划 （续（

14、续1.31.3） 表格单纯形法表格单纯形法 ( p40- p 45) 考虑：考虑： bi 0 i = 1 , , m Max z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn bm x1 ，x2 ， ，xn 0加入松弛变量：加入松弛变量： Max z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn + xn+1 = b1 a21 x1 +

15、a22 x2 + + a2n xn + xn+2 = b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn+ xn+m = bm x1 ，x2 ， ，xn ，xn+1 ， ，xn+m 018显然，显然，xj = 0 j = 1, , n ; xn+i = bi i = 1 , , m 是基本可行解 对应的基是单位矩阵。以下是初始单纯形表： m m其中：f = - cn+i bi j = cj - cn+i aij 为检验数 cn+i = 0 i= 1,m i = 1 i = 1 an+i,i = 1 , an+i,j = 0 ( ji ) i , j = 1, , m1 1、 线线 性性

16、 规规 划划 （续（续1.31.3）c1cncn+1cn+mCBXBx1xnxn+1xn+micn+1xn+1b1a11a1na1n+1a1n+m1cn+2xn+2b2a21a2na2n+1a2n+m2cn+mxn+mbmam1amnamn+1amn+mm-zf1n00191 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3单纯形法解题例）单纯形法解题例）50100000CBXBx1x2x3x4x5i0 x3300111003000 x4400210104000 x52500(1)001250-z050100*0000 x350(1)010-1500 x41502001-175100 x22

17、5001001-z-2500050*000-10050 x1501010-10 x45000-211100 x225001001-z-2750000-500-50例例1。化标准形式：。化标准形式： Max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 + x3 = 300 2 x1 + x2 + x4 = 400 x2 + x5 = 250 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0最优解 x1 = 50 x2 = 250 x4 = 50（松弛标量，表示原料A有50个单位的剩余） 20 注意：单纯形法中，注意：单纯形法中， 1、每一步运算只能用矩阵初等行变换；、每一步运

18、算只能用矩阵初等行变换； 2、表中第、表中第3列的数总应保持非负（列的数总应保持非负（ 0）；）； 3、当所有检验数均非正（、当所有检验数均非正（ 0）时，得到最）时，得到最优单纯形表。优单纯形表。1 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3）211 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3） 一般情况的处理及注意事项的强调（一般情况的处理及注意事项的强调（p45-55） 1.3.4段主要是讨论初始基本可行解不明显时，常用的方法。段主要是讨论初始基本可行解不明显时，常用的方法。要弄清它的原理，并通过例要弄清它的原理，并通过例1-14 例例1-17掌握这些方法，同掌握这些方法

19、，同时进一步熟悉用单纯形法解题。时进一步熟悉用单纯形法解题。考虑一般问题：考虑一般问题： bi 0 i = 1 , , m Max z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm x1 ，x2 ， ，xn 0221 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3） 大大M法：法： 引入人工变量 xn+i 0 i = 1 , , m ; 充分大正数 M 。 得到， Max z = c1

20、 x1 + c2 x2 + + cn xn + M xn+1 + + M xn+m s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn + xn+1 = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn + xn+2 = b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn + xn+m = bm x1 ，x2 ， ，xn ，xn+1 ， ，xn+m 0显然，显然，xj = 0 j=1, , n ; xn+i = bi i =1 , , m 是基本可行解 对应的基是单位矩阵。 结论：若得到的最优解满足结论：若得到的最优解满足 xn+i = 0 i = 1 , , m

21、 则是原问题的最优解；否则，原问题无可行解。231 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3） 两阶段法：两阶段法：引入人工变量 xn+i 0，i = 1 , , m；构造， Max z = - xn+1 - xn+2 - - xn+m s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn + xn+1 = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn + xn+2 = b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn + xn+m = bm x1 ，x2 ， ，xn ，xn+1 ， ，xn+m 0 第一阶段求解上述问题：第一阶段求解上述问题：显然，

22、显然，xj = 0 j=1, , n ; xn+i = bi i =1 , , m 是基本可行解 对应的基是单位矩阵。 结论：若得到的最优解满足结论：若得到的最优解满足 xn+i = 0 i = 1 , , m 则是原问题的基本可行解；否则，原问题无可行解。 得到原问题的基本可行解后，第二阶段求解原问题。得到原问题的基本可行解后，第二阶段求解原问题。241 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3）例题）例题 例：（LP） Max z = 5 x1 + 2 x2 + 3 x3 - x4 s.t. x1 + 2 x2 + 3 x3 = 15 2 x1 + x2 + 5 x3 = 20

23、x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 = 26 x1 , x2 , x3 , x4 0大M法问题（LP - M） Max z = 5 x1 + 2 x2 + 3 x3 - x4 - M x5 - M x6 s.t. x1 + 2 x2 + 3 x3 + x5 = 15 2 x1 + x2 + 5 x3 + x6 = 20 x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 = 26 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0两阶段法 ：第一阶段问题（LP - 1） Max z = - x5 - x6 s.t. x1 + 2 x2 + 3 x3 + x5 = 15 2 x1 + x

24、2 + 5 x3 + x6 = 20 x1 + 2 x2 + 4 x3 + x4 = 26 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0251 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3）两阶段法例）两阶段法例0000-1-1CBXBx1x2x3x4x5x6i-1x5151230105-1x62021(5)00140 x4261241006.5-z35338000-1x53-1/5(7/5)001-3/515/70 x342/51/51001/5200 x410-3/56/5010-4/525/3-z3-1/57/5000-8/50 x215/7-1/71005/7-3/

25、70 x325/73/7010-1/72/725/30 x452/7-3/7001-6/7-2/7-z00000-1-1第一阶段第一阶段 （LP - 1） 得到原问题的基本可行解：(0，15/7，25/7，52/7)T 261 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3）两阶段法例）两阶段法例523-1CBXBx1x2x3x4i2x215/7-1/71003x325/7(3/7)01025/3-1x452/7-3/7001-z-53/725/70002x210/3011/305x125/3107/30-1x4110011-z-112/300-25/30第二阶段第二阶段 把基本可行解填入

26、表中 得到原问题的最优解：(25/3，10/3，0，11)T 最优目标值：112/3271 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3）大）大M M法例法例523-1-M-MCBXBx1x2x3x4x5x6i-Mx5151230105-Mx62021(5)0014-1x4261241006.5-z35M+263M+63M+48M+7000-Mx53-1/5(7/5)001-3/515/73x342/51/51001/520-1x410-3/56/5010-4/525/3-z3M-2-M/5+16/57/5M+13/5000-8/5M-7/52x215/7-1/71005/7-3/73x

27、325/7(3/7)010-1/72/725/3-1x452/7-3/7001-6/7-2/7-z-53/725/7000-M-13/7-M-2/72x210/3011/302/3-1/35x125/3107/30-1/32/3-1x4110011-10-z-112/300-25/30-M-2/3-M+8/3大大M法法 （LP - M） 得到最优解：(25/3，10/3，0，11)T 最优目标值：112/3281 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.31.3）1.3.5 1.3.5 矩阵描述矩阵描述 此段为选读，有此段为选读，有困难者可不看。困难者可不看。 1.3.6 1.3.6 段单纯

28、形迭代过程中的几点注段单纯形迭代过程中的几点注意事项是对有关内容的强调和补充，要意事项是对有关内容的强调和补充，要认真学习、理解。认真学习、理解。*习题：p70-71 习题1 1-5，1-6291. 4 线性规划应用线性规划应用 建模（建模（p55-68）本节介绍了些线性规划应用的例子，这些例子从多个方面介绍建模对未来本节介绍了些线性规划应用的例子，这些例子从多个方面介绍建模对未来是很有用的，应认真对待。是很有用的，应认真对待。 除了教材上的例子之外，还有许多其它应用：* 合理利用线材问题：如何下料使用材最少* 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润* 投资问题：从投资项目中选取方案，

29、使投资回报最大* 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大* 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要* 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小 *下面是一些建模的例子，有兴趣者，可作为练习。这些例子有一定的难度，做下面是一些建模的例子，有兴趣者，可作为练习。这些例子有一定的难度，做起来会有一些困难。起来会有一些困难。*习题：p72-73 习题1 1-7，1-8，1-9，1-101 1、 线线 性性 规规 划划 （续（续1.41.4）返回目录30例某昼夜服务的公交线路每天各时间段内所需司机和乘务人员数如下： 设司机和乘务人员分别在各时间段一开始时上班，并连续工作八小时，问该公交

30、线路怎样安排司机和乘务人员，既能满足工作需要，又配备最少司机和乘务人员?班次时间所需人数16：00 10：0060210：00 14：0070314：00 18：0060418：00 22：0050522： 2：002062：00 6：0030例：人力资源分配的问题例：人力资源分配的问题31解：设 xi 表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员数,这样我们建立如下的数学模型。目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 约束条件：s.t. x1 + x6 60 x1 + x2 70 x2 + x3 60 x3 + x4 50 x4 + x5 20 x5 + x6 3

31、0 x1,x2,x3,x4,x5,x6 0例：人力资源分配的问题（续）例：人力资源分配的问题（续）32 例、 明兴公司生产甲、乙、丙三种产品，都需要经过铸造、机加工和装配三个车间。甲、乙两种产品的铸件可以外包协作，亦可以自行生产，但产品丙必须本厂铸造才能保证质量。数据如下表。问：公司为了获得最大利润，甲、乙、丙三种产品各生产多少件？甲、乙两种产品的铸造中，由本公司铸造和由外包协作各应多少件？甲乙丙资源限制铸造工时(小时/件)51078000机加工工时(小时/件)64812000装配工时(小时/件)32210000自产铸件成本(元/件)354外协铸件成本(元/件)56-机加工成本(元/件)213

32、装配成本(元/件)322产品售价(元/件)231816例：生产计划的问题例：生产计划的问题33解：设 x1,x2,x3 分别为三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三种产品的件数， x4,x5 分别为由外协铸造再由本公司机加工和装配的甲、乙两种产品的件数。 求 xi 的利润：利润 = 售价 - 各成本之和可得到 xi（i=1,2,3,4,5）的利润分别为15、10、7、13、9元。这样我们建立如下的数学模型。目标函数： Max 15x1 + 10 x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5 约束条件： s.t. 5x1 + 10 x2 + 7x3 8000 6x1 + 4x2 + 8x3 + 6x

33、4 + 4x5 12000 3x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 + 2x5 10000 x1,x2,x3,x4,x5 0例：生产计划的问题（续）例：生产计划的问题（续）34例、 永久机械厂生产、三种产品，均要经过A、B 两道工序加工。假设有两种规格的设备A1、A2能完成 A 工序；有三种规格的设备B1、B2、B3能完成 B 工序。可在A、B的任何规格的设备上加工； 可在任意规格的A设备上加工，但对B工序，只能在B1设备上加工；只能在A2与B2设备上加工；数据如下表。问：为使该厂获得最大利润，应如何制定产品加工方案？产品单件工时 设备设备的有效台时满负荷时的设备费用A1510600030

34、0A2791210000321B168400050B24117000783B374000200原料（元/件）0.250.350.50售价（元/件）1.252.002.80例：生产计划的问题（续）例：生产计划的问题（续）35解：设 xijk 表示第 i 种产品，在第 j 种工序上的第 k 种设备上加工的数量。 利润 = （销售单价 - 原料单价）* 产品件数之和 - （每台时的设备费用*设备实际使用的总台时数）之和。 这样我们建立如下的数学模型: Max 0.75x111+0.7753x112+1.15x211+1.3611x212+1.9148x312-0.375x121-0.5x221-0.

35、4475x122-1.2304x322-0.35x123 s.t. 5x111 + 10 x211 6000 （ 设备 A1 ） 7x112 + 9x212 + 12x312 10000 （ 设备 A2 ） 6x121 + 8x221 4000 （ 设备 B1 ） 4x122 + 11x322 7000 （ 设备 B2 ） 7x123 4000 （ 设备 B3 ） x111+ x112- x121- x122- x123 = 0 （产品在A、B工序加工的数量相等） x211+ x212- x221 = 0 （产品在A、B工序加工的数量相等） x312 - x322 = 0 （产品在A、B工序加

36、工的数量相等） xijk 0 , i = 1,2,3; j = 1,2; k = 1,2,3例：生产计划的问题（续）例：生产计划的问题（续）36例、某工厂要做100套钢架，每套用长为2.9 m,2.1 m,1.5 m的圆钢各一根。已知原料每根长7.4 m，问：应如何下料，可使所用原料最省？解： 设计下列 5 种下料方案方 案 1方 案 2方 案 3方 案 4方 案 5方 案 6方 案 7方 案 82.9 m120101002.1 m002211301.5 m31203104合 计7.47.37.27.16.66.56.36.0剩 余 料 头00.10.20.30.80.91.11.4假设 x1

37、,x2,x3,x4,x5 分别为上面前 5 种方案下料的原材料根数。这样我们建立如下的数学模型。目标函数： Min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 约束条件： s.t. x1 + 2x2 + x4 100 2x3 + 2x4 + x5 100 3x1 + x2 + 2x3 + 3x5 100 x1,x2,x3,x4,x5 0例：套裁下料问题例：套裁下料问题37例6某工厂要用三种原料1、2、3混合调配出三种不同规格的产品甲、乙、丙，数据如下表。问：该厂应如何安排生产，使利润收入为最大？产品名称规格要求单价（元/kg）甲原材料1不少于50%，原材料2不超过25%50乙原材料1不少于2

38、5%，原材料2不超过50%35丙不限25原材料名称每天最多供应量单价（元/kg）11006521002536035例：配料问题例：配料问题38例：配料问题（续）例：配料问题（续）解： 设 xij 表示第 i 种（甲、乙、丙）产品中原料 j 的含量。这样我们建立数学模型时，要考虑： 对于甲： x11，x12，x13； 对于乙： x21，x22，x23； 对于丙： x31，x32，x33； 对于原料1： x11，x21，x31； 对于原料2： x12，x22，x32； 对于原料3： x13，x23，x33； 目标函数： 利润最大，利润 = 收入 - 原料支出 约束条件： 规格要求 4 个； 供应量

39、限制 3 个。39Max z = -15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33 s.t. 0.5 x11-0.5 x12 -0.5 x13 0 （原材料1不少于50%） -0.25x11+0.75x12 -0.25x13 0 （原材料2不超过25%） 0.75x21-0.25x22 -0.25x23 0 （原材料1不少于25%） -0.5 x21+0.5 x22 -0.5 x23 0 （原材料2不超过50%） x11+ x21 + x31 100 (供应量限制） x12+ x22 + x32 100 (供应量限制） x13+ x23 + x33

40、60 (供应量限制） xij 0 , i = 1,2,3; j = 1,2,3例：配料问题（续）例：配料问题（续）40 例8某部门现有资金200万元，今后五年内考虑给以下的项目投资。已知：项目A：从第一年到第五年每年年初都可投资，当年末能收回本利110%；项目B：从第一年到第四年每年年初都可投资，次年末能收回本利125%，但规定每年最大投资额不能超过30万元；项目C：需在第三年年初投资，第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不能超过80万元；项目D：需在第二年年初投资，第五年末能收回本利155%，但规定最大投资额不能超过100万元； 据测定每万元每次投资的风险指数如右表：问：问：a）应如

41、何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利金额为最大？b）应如何确定这些项目的每年投资额，使得第五年年末拥有资金的本利在330万元的基础上使得其投资总的风险系数为最小？项 目风 险 指 数 （ 次 /万 元 ）A1B3C4D5.5 解：解： 1 1）确定决策变量：连续投资问题 设 xij ( i = 1 - 5，j = 1、2、3、4)表示第 i 年初投资于A(j=1)、B(j=2)、C(j=3)、D(j=4)项目的金额。这样我们建立如下的决策变量： A x11 x21 x31 x41 x51 B x12 x22 x32 x42 C x33 D x24例：投资问题例：投资问题41

42、2 2）约束条件：）约束条件：第一年：A当年末可收回投资，故第一年年初应把全部资金投出去，于是 x11+ x12 = 200；第二年：B次当年末才可收回投资故第二年年初的资金为 x11，于是 x21 + x22+ x24 = 1.1x11；第三年：年初的资金为 x21+x12，于是 x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12；第四年：年初的资金为 x31+x22，于是 x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22；第五年：年初的资金为 x41+x32，于是 x51 = 1.1x41+ 1.25x32； B、C、D的投资限制： xi2 30 ( I =1、2、3、

43、4 )，x33 80，x24 100 3 3）目标函数及模型：）目标函数及模型：a) a) Max z = 1.1x51+ 1.25x42+ 1.4x33 + 1.55x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； x51 = 1.1x41+ 1.25x32； xi2 30 ( I =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 xij 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4） b) b) Min

44、 f = (x11+x21+x31+x41+x51)+3(x12+x22+x32+x42)+4x33+5.5x24 s.t. x11+ x12 = 200 x21 + x22+ x24 = 1.1x11； x31 + x32+ x33 = 1.1x21+ 1.25x12； x41 + x42 = 1.1x31+ 1.25x22； x51 = 1.1x41+ 1.25x32； xi2 30 ( I =1、2、3、4 )，x33 80，x24 100 1.1x51 + 1.25x42+ 1.4x33+ 1.55x24 330 xij 0 ( i = 1、2、3、4、5；j = 1、2、3、4）例：

45、投资问题（续）例：投资问题（续）422 2、线性规划问题的进一步研究（、线性规划问题的进一步研究（2.12.1）2. 1 对偶原理对偶原理1、对偶问题：、对偶问题：考虑前文例考虑前文例 1 若设备和原料都用于外协加工，工厂收取加工费。试问：若设备和原料都用于外协加工，工厂收取加工费。试问：设备工时和原料设备工时和原料A、B 各如何收费才最有竞争力？各如何收费才最有竞争力？ 设 y1 ，y2 ，y3 分别为每设备工时、 原料 A、B每单位的收取费用Max z = 50 x1 + 100 x2 Min f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3 s.t. x1 + x2 300 s.

46、t. y1 + 2 y2 + 50 2 x1 + x2 400 （不少于甲产品的利润） x2 250 y1 + y2 + y3 100 x1 , x2 0 y1, y2 , y3 0432、对偶定义、对偶定义 对称形式： 互为对偶 (LP) Max z = cT x (DP) Min f = bT y s.t. Ax b s.t. AT y c x 0 y 0 “Max - ” “Min- ” 一般形式： 若一个问题的某约束为等式，那么对应的对偶问题的相应变量无非负限制；反之， 若一个问题的某变量无非负限制，那么对应的对偶问题的相应约束为等式。2 2、线性规划问题的进一步研究（、线性规划问题的

47、进一步研究（2.12.1）443、对偶定理、对偶定理 （原问题与对偶问题解的关系）（原问题与对偶问题解的关系）考虑（LP）和（DP）定理2-1 （弱对偶定理）若 x, y 分别为（LP）和（DP）的可行解，那么 cT x bT y 。推论 若（LP）可行，那么（LP）无有限最优解的充分必要条件是（LD）无可行解。定理2-2 （最优性准则定理）若 x, y 分别为（LP）和（DP）的可行解，且 cT x = bT y ，那么 x, y分别为（LP）和（DP）的最优解。定理2-3 （主对偶定理）若（LP）和（DP）均可行，那么（LP）和（DP）均有最优解，且最优值相等。以上定理、推论对任意形式的相

48、应线性规划的对偶均有效以上定理、推论对任意形式的相应线性规划的对偶均有效*习题：p 99 习题2 2-12 2、线性规划问题的进一步研究（、线性规划问题的进一步研究（2.12.1）454、影子价格、影子价格 是一个向量，它的分量表示最优目标值随相应资源数量变化的变化率。 若 x*, y* 分别为（LP）和（DP）的最优解， 那么， cT x* = bT y* 。 根据 f = bT y* = b1y1* + b2y2* + + bmym* 可知 f / bi = yi* yi* 表示 bi 变化1个单位对目标 f 产生的影响，称 yi* 为 bi的影子价格。注意：若 B 是最优基， y* =

49、(BT)-1 cB 为影子价格向量。2 2、线性规划问题的进一步研究（、线性规划问题的进一步研究（2.12.1）465、由最优单纯形表求对偶问题最优解、由最优单纯形表求对偶问题最优解 第第1章例章例1。化标准形式：。化标准形式： Max z = 50 x1 + 100 x2 s.t. x1 + x2 + x3 = 300 ， 2 x1 + x2 + x4 = 400 x2 + x5 = 250 ， x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0 I O B=(p1 , p4 , p2 ) (BT)-1 cB B-1最优解 x1 = 50 x2 = 250 x4 = 50（松弛标量，表示原料A

50、有50个单位的剩余）影子价格影子价格 y1 = 50 y2 = 0 y3 = 50 , B-1对应的检验数对应的检验数 (BT)-1 cB 。2 2、线性规划问题的进一步研究（、线性规划问题的进一步研究（2.12.1）50100000CBXBx1x2x3x4x5i0 x3300111003000 x4400210104000 x52500(1)001250-z050100*0000 x350(1)010-1500 x41502001-175100 x225001001-z-2500050*000-10050 x1501010-10 x45000-211100 x225001001-z-2750