11.4-线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析解读课件.ppt

1、11.4 线性定常系统的线性定常系统的 Lyapunov稳定性分析稳定性分析q 本节主要研究本节主要研究Lyapunov方法在线性系统中的应用。方法在线性系统中的应用。 讨论的主要问题有讨论的主要问题有:基本方法基本方法: 线性定常连续系统的线性定常连续系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析矩阵矩阵Lyapunov方程的求解方程的求解 线性时变连续系统的线性时变连续系统的Lyapunov稳定性分析稳定性分析线性定常离散系统的线性定常离散系统的Lyapunov稳定性定理稳定性定理及稳定性分析及稳定性分析q 由上节知由上节知, Lyapunov第二法是分析动态系统的稳定性的有效第二法是分析动态

2、系统的稳定性的有效方法方法, 但具体运用时将涉及到如何选取适宜的但具体运用时将涉及到如何选取适宜的Lyapunov函数函数来分析系统的稳定性。来分析系统的稳定性。 由于各类系统的复杂性，在应用由于各类系统的复杂性，在应用Lyapunov第二法时，第二法时，难于建立统一的定义难于建立统一的定义Lyapunov函数的方法。函数的方法。 目前的处理方法是，针对系统的不同分类和特性，分别目前的处理方法是，针对系统的不同分类和特性，分别寻找建立寻找建立Lyapunov函数的方法。函数的方法。 本小节将讨论对线性系统本小节将讨论对线性系统,包括包括 线性定常连续系统线性定常连续系统 线性定常离散系统线性定

3、常离散系统 线性时变连续系统线性时变连续系统 如何利用如何利用Lyapunov第二法及如何选取第二法及如何选取Lyapunov函数来函数来分析该线性系统的稳定性。分析该线性系统的稳定性。11.4.1 线性定常连续系统的稳定性分析线性定常连续系统的稳定性分析q 设线性定常连续系统的状态方程为设线性定常连续系统的状态方程为x=Ax 这样的线性系统具有如下特点这样的线性系统具有如下特点:1) 当系统矩阵当系统矩阵A为非奇异时为非奇异时, 系统有且仅有一个平衡态系统有且仅有一个平衡态xe=0,即为状态空间原点即为状态空间原点;2) 若该系统在平衡态若该系统在平衡态xe=0的某个邻域上是渐近稳定的，则的

4、某个邻域上是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的一定是大范围渐近稳定的;3) 对于该线性系统，其对于该线性系统，其Lyapunov函数一定可以选取为二次函数一定可以选取为二次型函数的形式。型函数的形式。q 上述第上述第 3) 点可由如下定理中得到说明。点可由如下定理中得到说明。q 定理定理11-7 线性定常连续系统线性定常连续系统x=Ax 的平衡态的平衡态xe=0为渐近稳定的充要条件为为渐近稳定的充要条件为: 对任意给定的一个正定矩阵对任意给定的一个正定矩阵Q，都存在一个正定矩阵，都存在一个正定矩阵P为下述为下述Lyapunov方程方程(Lyapunov equation) 的解的解 PA+A

5、TP = - -Q并且正定函数并且正定函数V(x)=xTPx 即为系统的一个即为系统的一个Lyapunov函数函数。q 证明证明 (1) 先证充分性。先证充分性。Sufficiency. 即证明，若对任意的正定矩阵即证明，若对任意的正定矩阵Q，存在正定矩阵，存在正定矩阵P满足满足方程方程PA+ATP=-Q,则平衡态则平衡态xe=0是渐近稳定的。是渐近稳定的。证明思路：证明思路：由于由于P正定正定, 选择正定函数选择正定函数V(x)=xTPx为为Lyapunov函数函数计算计算Lyapunov函函数数V(x)对时间对时间t的的全导数全导数V(x)通过判定通过判定V(x)的定号性来判的定号性来判定

6、平衡态定平衡态xe的的稳定性稳定性证明过程为：证明过程为： 已知满足矩阵方程已知满足矩阵方程PA+ATP=-Q的正定矩阵的正定矩阵P存在，故令存在，故令V(x)=xTPx. 由于由于V(x)为正定函数，且为正定函数，且V(x)沿轨线对时间沿轨线对时间t的全导数为的全导数为 V(x)=(xTPx) =(xT)Px+ +xTPx =(Ax)TPx+xTPax =xT(ATP+PA)x =-xTQx而而Q为正定矩阵，因此为正定矩阵，因此V(x)为负定函数。为负定函数。 根据根据渐近稳定性定理渐近稳定性定理(定理定理11-4), 即证明了系统的平衡态即证明了系统的平衡态xe=0是渐近稳定的是渐近稳定的

7、, 于是充分性得证。于是充分性得证。(2) 再证必要性。再证必要性。 Necessity. 即证明即证明: 若系统在若系统在xe=0处是渐近稳定的处是渐近稳定的, 则对任意给定的则对任意给定的正定矩阵正定矩阵Q, 必存在正定矩阵必存在正定矩阵P满足矩阵方程满足矩阵方程PA+ATP=- -Q证明思路：证明思路： 由正定矩阵由正定矩阵Q构造满足构造满足矩阵方程矩阵方程PA+ATP=- -Q的正定矩阵的正定矩阵P。证明过程为证明过程为： 对任意给定的正定矩阵对任意给定的正定矩阵 Q, 构造构造矩阵矩阵 P 如下如下T0ee d(4)A tAtPQta 由矩阵指数函数由矩阵指数函数 eAt 的定义和性

8、质知的定义和性质知, 上述被积矩阵函数上述被积矩阵函数的各元素一定是具有的各元素一定是具有 t k e t 形式的诸项之和形式的诸项之和, 其中其中 是是 A 的特征值。的特征值。 因为系统是渐近稳定的因为系统是渐近稳定的, 则矩阵则矩阵 A 的所有特征值的所有特征值 的实部一定小于零的实部一定小于零, 因此上述积分一定存在因此上述积分一定存在, 即即P 为为有限对称矩阵。有限对称矩阵。 又由于又由于 Q 正定正定, 矩阵指数函数矩阵指数函数 eAt 可逆可逆,则由方程则由方程 (4-a)可知，可知，P为有限的正定矩阵。为有限的正定矩阵。 因此因此，P 为正定矩阵。为正定矩阵。T0ee d(4

9、)A tAtPQta 将矩阵将矩阵 P 的表达式的表达式 (4-a) 代入矩阵方程代入矩阵方程PA+ATP = - -Q可得可得:TTTTTT0000deedee dee ddeeA tAA tAttA tAtA tAtPAA PQtAAQttQQQt 因此，必要性得证。因此，必要性得证。T0ee d(4)A tAtPQtaq 上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简上述定理给出了一个判别线性定常连续系统渐近稳定性的简便方法，该方法便方法，该方法 不需寻找不需寻找Lyapunov函数函数, 不需求解系统矩阵不需求解系统矩阵 A 的特征值的特征值, 只需解一个矩阵代数方程即可，只需解

10、一个矩阵代数方程即可，计算简便计算简便。 该矩阵方程又称为该矩阵方程又称为Lyapunov矩阵代数方程矩阵代数方程。 由上述定理由上述定理, 可得如下关于正定矩阵可得如下关于正定矩阵 P 是是Lyapunov矩阵矩阵方程的唯一解的推论。方程的唯一解的推论。q 推论推论11-1 如果线性定常系统如果线性定常系统 x=Ax 在平衡态在平衡态 xe=0是渐近稳是渐近稳定的定的, 那么那么Lyapunov代数方程代数方程PA+ATP=- -Q 对给定的任意正定矩阵对给定的任意正定矩阵Q，存在，存在唯一的正定矩阵解唯一的正定矩阵解P。q 证明证明 用用反证法反证法证明证明。 即需证明即需证明: Lyap

11、unov代数方程有两个正定矩阵解代数方程有两个正定矩阵解, 但该但该系统是渐近稳定的。系统是渐近稳定的。 设设Lyapunov代数方程有两个正定矩阵解代数方程有两个正定矩阵解 P1 和和 P2, 则将则将P1 和和 P2 代入该方程后有代入该方程后有P1A+ATP1=-QP2A+ATP2=-Q两式相减，可得两式相减，可得(P1-P2)A+AT(P1-P2)=0 因此，有因此，有TTT1212120e(-)(-)ee(-)eA tAtA tAtP P AAP PP P所以，对任意的所以，对任意的t，下式均成立下式均成立:T12e(-)eA tAtP P常数 令令 t=0 和和 t=T( 0),

12、则有则有T1212-e(-)eA TATP PP P常数q由由定理定理11-7可知，当可知，当 P1 和和 P2 为满足为满足 Lyapunov 方程方程的正定矩阵时，则系统为渐近稳定的。的正定矩阵时，则系统为渐近稳定的。 故系统矩阵故系统矩阵 A 为渐近稳定的矩阵，矩阵指数函为渐近稳定的矩阵，矩阵指数函数数 eAT 将随着将随着 T 而趋于零矩阵，即而趋于零矩阵，即P1-P2=0 或或 P1=P2 q 在应用上述基本定理和推论时在应用上述基本定理和推论时, 还应注意下面几点还应注意下面几点: 若若V(x,t)=- -xTQx沿任一条状态轨线不恒为零沿任一条状态轨线不恒为零, 则则 Q 可取可

13、取为为非负定矩阵非负定矩阵, 而系统在原点渐近稳定的而系统在原点渐近稳定的充要条件充要条件为为: 存在正定矩阵存在正定矩阵 P 满足满足Lyapunov代数方程。代数方程。 Q 矩阵只要选成正定的或根据上述情况选为非负定的矩阵只要选成正定的或根据上述情况选为非负定的,那么最终的判定结果将与那么最终的判定结果将与 Q 的不同选择无关。的不同选择无关。 由由定理定理11-7及其及其推论推论11-1可知可知, 运用此方法判定系统的渐运用此方法判定系统的渐近稳定性时近稳定性时, 最方便的是最方便的是选取选取 Q 为单位矩阵为单位矩阵, 即即Q=I。 于是于是, 矩阵矩阵 P 的元素可按如下的元素可按如

14、下Lyapunov代数方程代数方程:PA+ATP=- -I求解求解, 然后根据然后根据P的正定性来判定系统的渐近稳定性。的正定性来判定系统的渐近稳定性。q 下面通过一个例题来说明如何通过求解矩阵下面通过一个例题来说明如何通过求解矩阵Lyapunov方程方程来判定线性定常系统的稳定性。来判定线性定常系统的稳定性。q 例例11-8 试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。试确定用如下状态方程描述的系统的平衡态稳定性。21211110 xxxxq 解解 设选取的设选取的Lyapunov函数为函数为V(x)=xTPx 由由定理定理11-7, 上式中的正定矩阵上式中的正定矩阵 P 满足满足Lyap

15、unov方程方程 PA+ATP=- -I. 于是，令对称矩阵于是，令对称矩阵 P 为为22121211ppppP 将将 P 代入代入Lyapunov方程，可得方程，可得1001111011102212121122121211pppppppp展开后得展开后得1001222221222121122121112ppppppppp 因此，得如下联立方程组因此，得如下联立方程组:122012221222121112pppppp 解出解出 p11, p12 和和 p22, 得得21132122121211ppppP 为了验证对称矩阵为了验证对称矩阵P的正定性的正定性, 用合同变换法检验如下用合同变换法检验

16、如下: 由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零, 故矩阵故矩阵P为正定的。因此为正定的。因此, 系统为大范围渐近稳定的。系统为大范围渐近稳定的。 此时，系统的此时，系统的Lyapunov函数和它沿状态轨线对时间函数和它沿状态轨线对时间 t 的的全导数分别为全导数分别为500961211321)2(3/ ) 1 ()2()2(3/ ) 1 ()2(行列PTTTT311( )012210( )001VPVQ xxxxxxxxxxq 例例11-9 控制系统方块图如下所示。控制系统方块图如下所示。 要求系统渐近稳定要求系统渐近稳定, 试确定增益的取

17、值范围。试确定增益的取值范围。q 解解 由图可写出系统的状态方程为由图可写出系统的状态方程为32132110120010 xxxkxxx 不难看出不难看出, 原点为系统的平衡状态。原点为系统的平衡状态。 选取选取Q为非负定实对称矩阵，则为非负定实对称矩阵，则000000001Q 由于为非负定，且只在原点处才恒为零，其他非零状态由于为非负定，且只在原点处才恒为零，其他非零状态轨迹不恒为零。轨迹不恒为零。 因此，对上述非负定的因此，对上述非负定的 Q，Lyapunov代数方程和相代数方程和相应结论依然成立。应结论依然成立。 设设P为实对称矩阵并代入为实对称矩阵并代入Lyapunov方程方程, 可得

18、可得 1112131112131222231222231323331323330001000012002100001101001ppppppkppppppkpppppp 求得求得212601632(6)06kkkPkkkkk 为使原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的为使原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的, 矩阵矩阵 P 须须为正定。为正定。 采用合同变换法采用合同变换法, 有有222(1) (2) 2(1)(3) (2)/3(3)(1) (2) 2(1)(3) (2)/3(3)1260000063030300606006/3kkkkkkkkkkkkkk 行行列列 从而得到从而得到P为正定矩阵的条

19、件为正定矩阵的条件1220,30,6/30kkk即即0k0)负定负定(0)半负定半负定( 0)且不恒为且不恒为0(对任意非零的初始状态的解对任意非零的初始状态的解)该平衡态渐近稳定该平衡态渐近稳定正定正定(0)半负定半负定( 0)且恒为且恒为0(对某一非零的初始状态的解对某一非零的初始状态的解)该平衡态稳定该平衡态稳定但非渐近稳定但非渐近稳定正定正定(0)正定正定(0)该平衡态不稳定该平衡态不稳定正定正定(0)半正定半正定( 0)且不恒为且不恒为0(对任意非零的初始状态的解对任意非零的初始状态的解)该平衡态不稳定该平衡态不稳定q 上述定理讨论的是一般离散系统的渐近稳定性的充分判据上述定理讨论的

20、是一般离散系统的渐近稳定性的充分判据 类似于线性定常连续系统，对于线性定常离散系统，有类似于线性定常连续系统，对于线性定常离散系统，有如下简单实用的如下简单实用的渐近稳定判据渐近稳定判据。q 定理定理11-9 设系统的状态方程为设系统的状态方程为 x(k+1)=Gx(k) 其中其中xe=0为其平衡态。则其平衡态为渐近稳定的为其平衡态。则其平衡态为渐近稳定的充要条件充要条件为为: 对任意给定的一个正定矩阵对任意给定的一个正定矩阵Q, 都存在一个正定矩阵都存在一个正定矩阵P为为Lyapunov矩阵代数方程矩阵代数方程GTPG - -P = - - Q (4-b) 的解，并且正定函数的解，并且正定函

21、数Vx(k)=xT(k)Px(k)即为系统的一个即为系统的一个Lyapunov函数。函数。q 证明证明 (1) 先证充分性。先证充分性。 即证即证: 若对任意的正定矩阵若对任意的正定矩阵Q，存在正定矩阵，存在正定矩阵P满足方程满足方程GTPG- -P= - - Q则平衡态则平衡态xe=0是渐近稳定的。是渐近稳定的。 已知满足该矩阵方程的正定矩阵已知满足该矩阵方程的正定矩阵P存在，因而令存在，因而令Vx(k)= xT(k)Px(k)，则，则Vx(k)的差分为的差分为 Vx(k),k=Vx(k+1),k+1 - - Vx(k),k=xT(k+1)Px(k+1) - - xT(k)Px(k)=Gx(

22、k)TPGx(k) - - xT(k)Px(k)=xT(k)(GTPG - - P)x(k)=- -xT(k)Qx(k) 由于由于Q为正定矩阵，则为正定矩阵，则 Vx(k)为负定函数。为负定函数。 由于由于Vx(k)本身本身为正定函数，故根据为正定函数，故根据定理定理11-8，即，即证明了系统的平衡态证明了系统的平衡态xe=0是渐近稳定的。是渐近稳定的。(2) 再证必要性。再证必要性。 即需证即需证: 若系统在若系统在xe=0处是渐近稳定的，则对正定矩阵处是渐近稳定的，则对正定矩阵Q，必存在正定矩阵，必存在正定矩阵P满足矩阵方程满足矩阵方程GTPG- -P= - - Q。 构造矩阵构造矩阵P如

23、下如下0()kTkkPGQG 当系统当系统 x(k+1)=Gx(k) 渐近稳定，即系统矩阵渐近稳定，即系统矩阵G的特征值的特征值的模小于的模小于1时，上式定义的时，上式定义的P为有限常数阵，而且当为有限常数阵，而且当Q为为正定矩阵时正定矩阵时,P=Q+GTQG+(G2)TQG2 + Q 0 亦为正定矩阵。亦为正定矩阵。110010-()-()()-()-TkTkkTkkkkTkkTkkkG PG PGQGGQGGQGGQGQ因此，必要性得证。因此，必要性得证。 将矩阵将矩阵P的上述构造式代入矩阵方程的上述构造式代入矩阵方程(4-b)可得可得GTPG-P=-Q (4-b)q 与连续系统类似，有如

24、下讨论与连续系统类似，有如下讨论:1) 如果对于某个非负定矩阵如果对于某个非负定矩阵Q, Vx(k),k=- -xT(k)Qx(k)沿任沿任意一条状态轨线不恒为零意一条状态轨线不恒为零, 那么系统在原点渐近稳定的条那么系统在原点渐近稳定的条件为件为: 存在存在正定矩阵正定矩阵P 满足满足Lyapunov代数方程。代数方程。2) 可令正定矩阵可令正定矩阵Q=I, 则判定线性定常离散系统的渐近稳定则判定线性定常离散系统的渐近稳定性只需解如下性只需解如下Lyapunov矩阵代数方程即可矩阵代数方程即可:GTPG- -P = - -I q 例例11-10 设离散时间系统的状态方程为设离散时间系统的状态

25、方程为 试确定系统在平衡点处是大范围内渐近稳定的条件。试确定系统在平衡点处是大范围内渐近稳定的条件。q 解解 由式由式(4-c)得如下得如下Lyapunov代数方程代数方程 展开后得如下联立方程组展开后得如下联立方程组: 120(1)( )0kkxx1001000022121211212212121121pppppppp1) 1(0) 1(1) 1(222221122111pppGTPG-P=-I (4-c) 根据根据Sylvester(西尔维斯特西尔维斯特)准则，要使准则，要使P为正定，须满足为正定，须满足 因此，有因此，有 即只有当传递函数的极点位于单位圆内时，系统在平衡即只有当传递函数的

26、极点位于单位圆内时，系统在平衡点处才是大范围内渐近稳定的。点处才是大范围内渐近稳定的。21122112212000ppp pp12| 1,| 1q 例例11-11 试确定用如下状态方程描述的离散系统的平衡态稳试确定用如下状态方程描述的离散系统的平衡态稳定性。定性。1122(1)( )01(1)( )0.51x kx kx kx kq 解解 由式由式(4-c)得如下得如下Lyapunov代数方程代数方程:111211121222122200.50110110.5101pppppppp 展开后得如下联立方程组展开后得如下联立方程组:1211221211120.2510.51.5021pppppp

27、GTPG-P=-I (4-c) 为了验证对称矩阵为了验证对称矩阵P的正定性的正定性, 用合同变换法检验如下用合同变换法检验如下:解出解出 p11, p12 和和 p22, 得得1112122211818245ppPpp:11(2) 8(1)(2):11(2) 8(1)(2)11811011824020055P行列 由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零由于变换后的对角线矩阵的对角线上的元素都大于零, 故矩阵故矩阵P为正定的。为正定的。 因此，系统为大范围渐近稳定的。因此，系统为大范围渐近稳定的。111211121222122200.500.5100.510.5101pppppppp11

28、22(1)( )00.5(1)( )0.51x kx kx kx k由此解出由此解出q例例11-12 试确定用如下离散系统在原点的稳定性。试确定用如下离散系统在原点的稳定性。q解解: 在在Lyapunov方程中，取方程中，取Q=I，得，得11121222524027270401002727ppPpp从而系统在原点的平衡状态是大范围渐近稳定的。从而系统在原点的平衡状态是大范围渐近稳定的。10.4.3 线性时变连续系统的稳定性分析线性时变连续系统的稳定性分析*q设线性时变连续系统的状态方程为设线性时变连续系统的状态方程为x=A(t)x(t) xe=0 则有判定线性时变连续系统则有判定线性时变连续系

29、统Lyapunov意义下渐近稳意义下渐近稳定性的定理如下。定性的定理如下。q 定理定理11-10 线性时变连续系统的平衡态线性时变连续系统的平衡态xe为大范围渐近稳定为大范围渐近稳定的充分必要条件为的充分必要条件为: 对有限的对有限的 t 和任意给定的正定矩阵和任意给定的正定矩阵Q(t), 都存在一个正定都存在一个正定矩阵矩阵P(t)为下述为下述Lyapunov矩阵微分方程矩阵微分方程的解的解, 并且正定函数并且正定函数 即为系统的一个即为系统的一个Lyapunov函数。函数。 q 证明证明 1) 先证充分性先证充分性。即证。即证: 如果对任意的正定矩阵如果对任意的正定矩阵 Q(t)，存在正定

30、矩阵，存在正定矩阵 P(t) 满足满足Lyapunov微分方程，微分方程， 则平衡态则平衡态 xe=0 是渐近稳定的。是渐近稳定的。( ) ( )( ) ( )( )( )()0( )ffTft ttttttttttt PAPPAPQP( , )( ) ( ) ( )TVtt P ttxxx 已知满足已知满足Lyapunov矩阵微分方程的正定矩阵矩阵微分方程的正定矩阵P(t)和和Q(t)存存在，故令在，故令V(x,t)=xT(t)P(t)x(t) 由于由于V(x,t)为正定函数，且其沿轨线对时间为正定函数，且其沿轨线对时间 t 的全导数为的全导数为 而而Q(t)为正定矩阵为正定矩阵，则则V(x

31、,t)为负定函数。为负定函数。 故根据定理故根据定理11-4，即证明了系统的平衡态，即证明了系统的平衡态xe=0是大范是大范围渐近稳定的。围渐近稳定的。( , )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )TTTTTTTTTVtt P ttt P ttt P ttv t P ttA ttP ttt P ttt P tA tttAt P tP tP t A ttt Q tt xxxxxxxxxxxxxxx

32、xxxx2) 必要性证明。必要性证明。 即证明即证明: 若系统在若系统在xe=0处是渐近稳定的，对给定的正定矩阵处是渐近稳定的，对给定的正定矩阵Q(t),必存在正定矩阵必存在正定矩阵P(t)满足满足Lyapunov矩阵微分方程。矩阵微分方程。 Lyapunov矩阵微分方程是黎卡提矩阵微分方程是黎卡提(Ricatti)矩阵微分方程矩阵微分方程的一种特殊情况。的一种特殊情况。 由黎卡提矩阵微分方程的解得理论可知，当矩阵由黎卡提矩阵微分方程的解得理论可知，当矩阵A(t)为渐近稳定矩阵，即线性时变连续系统是渐近稳定为渐近稳定矩阵，即线性时变连续系统是渐近稳定的，则的，则Lyapunov微分方程的惟一解

33、为微分方程的惟一解为其中其中(t, tf)为如下齐次矩阵微分方程的解为如下齐次矩阵微分方程的解:TT( )(, ) ()(, )( , ) ( )( , )dftffftP ttt P tttt Qt ItttttAttffff),(),()(),( 由式由式(4-d)可知可知，当当 t0 时时，则有则有 P(t)0，因此因此必要性得证。必要性得证。q 在实际应用上述判别线性时变连续系统的渐近稳定性时在实际应用上述判别线性时变连续系统的渐近稳定性时, 可可令令 Q(t)=I，则相应的，则相应的Lyapunov矩阵微分方程为矩阵微分方程为 并且其解为并且其解为TT( )(, ) ()(, )( , ) ( )( , )d(4)ftffftP ttt P tttt Qtd T( )( ) ( )( ) ( )( )()0ffft tP tP t A tAt P tIttP tP t TT( )(, ) ()(, )( , )( , )dftffftP ttt P ttttt 作作 业业q11-1 : (1)q11-3 q11-4