3.2-马尔可夫预测模型课件.ppt

1、数学模型数学模型安徽大学数学科学学院安徽大学数学科学学院周礼刚周礼刚lg_3.2 马尔可夫预测模型 马尔可夫（Markov）链模型是1906年由俄国数学家Markov对其研究而命名的，后来Kolmogorrov、Feller、Doob等数学家对其进行了进一步的研究与发展。马尔可夫链的定义如下：定义定义3.2.1 设有随机过程 ， 其中状态空间为 ,若对任意的正整数k，任意 ， ( )及任意非负整数 ，,TTXXtT0,1,2,T =0,1,2,IitT1iitt0,1,2,1ik，011,kiii有 (3.2.1)则称 为离散时间的马尔可夫链，简称马尔可夫链或马氏链。其中式(3.2.1)表示的

2、性质为Markov性或无后效性。无后效性的直观意义是：如果把时刻 看作现在，那么 是将来的时刻，而 则是以前的时刻，Markov性表示在确切知道系统现在状态的条10111011|,|kkkktktttktktkP XiXi XiXiP XiXiTXkt1kt011, ,kt tt件下，系统将来状态的概率分布只与现在的状态有关，与之前的状态无关。条件概率 称为在时刻n系统从状态i经过k步，转移到状态j的k步转移概率，记为一般地，转移概率 不仅与状态i和j有关，而且与时刻n有关，当 与n无关时，表明马尔可|n knP Xj Xi()( )|kijnknpnP Xj Xi, ijI( )( )kij

3、pn( )( )kijpn夫链具有平稳的转移概率，此时称马尔可夫链为（时间）齐次的马尔可夫链，并把 记为 。以下我们仅讨论齐次的马尔可夫链，通常将“齐次”两字省略。当k=1时，把 记为 ，称 为马尔可夫链的一步转移概率。若用 表示马尔可夫链的k步转移概率所组成的矩阵，则 称为k步转移概率矩阵。( )( )kijpn( )kijp(1)ijpijp( )kP()()()kkijPp此外，特别的，规定 ，进一步，当k=1时，一步转移概率组成的矩阵 。显然，转移概率矩阵具有如下性质：(1) ; (2) .马尔可夫链的k步转移概率满足重要的Chapman-Kolmogorov方程（简称C-K方程）。(

4、0)0,1,ijijijpij(1)()ijPPp( )0, ,kijpi jI( )1,1,2,kijj IpiI k定理定理 3.2.1 (C-K方程，Chapman-Kolmogorov) 对于任意的正整数k，l及 有 （3.2.2） 根据定理3.2.1，C-K方程也可以写成矩阵形式为 . 。因此，我们有k+1步转移概率与一步转移概率之间的关系为 。n步转移概率矩阵 与一步转移概率矩阵P的关系为 。, i jI()()()klklijirr jrIppp()()( )klklPPP11 212(1),kkkijijj jj jjjjIpppp( )nP()nnPP定义定义3.2.2 马尔

5、可夫链 ，初始时刻取各状态的概率 .称为 的初始概率分布，简称为初始分布。在时刻n取各状态的概率 . .称为在时刻n的绝对概率分布，简称为绝对分布。对于状态空间为 的马尔可夫链，我们有 ，即时刻n的绝对概,0,1,2,TnXX n0,iP Xip iITX( ),nniP XipiI0,1,2, IN()()nnjiijpp p,ijI率分布等于初始分布与n步转移概率的乘积，写成矩阵形式为： (3.2.3)可见，马尔可夫链在时刻n的绝对概率分布可由初始分布与一步转移概率矩阵P决定。例例3.2.1（直线上的随机游动）设一质点在线段1, 5上随机游动，状态空间 ，每秒钟发生一次随机游动，( )(

6、)( )( )010101,=,nnnnnNNNpppp ppPp ppP=1, 2, 3, 4, 5I图图3.2.1 直线上的随机游动直线上的随机游动移动的规则为：(1) 若移动前在2，3，4处，则均以概率 向左、向右移动一单位或停留在原处；(2) 若移动前在1处，则以概率1移动到2处； (3) 若移动前在5处，则以概率1移动到4处。用 表示在时刻n质点的位置，则 是有限齐次马尔可夫链，其一步转移概率矩阵为：1 3nX,0nXn 该直线上的随机游动模型称为不可越壁的随机游动模型。若移动规则改为：(1) 若移动前在2，3，4处，则均以概率 向左、向右移动一单位；(2) 若移动前在1，5处，则以

7、概率1停留在原处。010001 31 31 30001 31 31 30001 31 31 300010P1 2则此有限齐次马尔可夫链的一步转移概率矩阵为：因为质点在质点1，5处被“吸收”，称有两个吸收壁的随机游动模型。100001 201 20001 201 20001 201 200001P定义定义3.2.3 3.2.3 若马尔可夫链 的状态空间为I，若对一切 ，存在不依赖于i的极限 . ，使得 （3.2.3）则称此马尔可夫链具有遍历性，其中 是马氏链的n步转移概率。马氏链的遍历性表明，无论从哪一个状态i ( )出,0,1,2, TnXX n, ijI( ) j()lim( )nijnpj

8、()nijpiI发，当转移的步数充分大时，转移到状态j的概率都接近于常数 。定义定义3.2.4 设马尔可夫链 的转移概率矩阵 ，如果存在非负数列 满足： 且 则称 为马尔可夫链 的平稳分布。 ( ) j,0,1,2, TnXX n()ijPp( )j0()1jj0( )( ),0,1,2,ijiji pj ( ),jjI,0,1,2, TnXX n定理定理3.2.2 若状态有限的马尔可夫链 的状态空间为 ，如果存在正整数 ，使对一切 都有 ，则此马尔可夫链是遍历的，且式(3.2.3)中的 是方程组 ，满足条件 且 的惟一解，即该有限状态空间的马尔可夫链平稳分布存在且惟一。,0,1,2, TnX

9、X n0,1,2,IN0n, i jI0()0nijp( ),jjI0( )( ),0,1,Nijiji pjN()0j0()1Njj定理3.2.2表明，无论马尔可夫链从哪一状态i出发，都能以正概率经有限次转移到达链中预先指定的其它任一状态，该定理也给出了求平稳分布 的方法。例例3.2.2设马尔可夫链 的状态空间为 ，其一步转移矩阵为：( ) j,0,1,2, TnXX n1,2,3I 1 32 301 302 301 32 3P试证此马尔可夫链具有遍历性，并求其平稳分布。解：解：由于 ，所以， 时，对一切 都有 ，因此该马尔可夫链具有遍历性。由定理3.2.2，建立方程组：(2)21 3 2

10、94 91 94 94 91 92 92 3PP02n, ijI(2 )0ijp(1)(1) 3(2) 3(2)2(1) 3(3) 3(3)2(2) 32(3) 3(1)(2)(3)1(1)0,(2)0,(3)0解得 ，即为该马尔可夫链的平稳分布。例例3.2.33.2.3设某地有1600户居民，某产品只有甲、乙、丙3厂家在该地销售。经调查，8月份买甲、乙、丙三厂的户数分别为480，320，800。9月份里，原买甲的有48户转买乙产品，有96户转买丙产品；原买乙的有32户转买甲产品，有64户转买丙产品；原(1)1 7, (2)2 7, (3)4 7买丙的有64户转买甲产品，有32户转买乙产品。用

11、状态1、2、3分别表示甲、乙、丙三厂，若以后每个月的市场状态转移概率不变，试求：(1) 一步转移概率矩阵； (2) 9月份市场占有率的分布；(3) 12月份市场占有率的分布；(4) 当顾客流长期稳定下去市场占有率的分布。解：解：设马尔可夫链 表示从8月份,0,1,2,TnXX n开始以后各月的市场占有率的分布，状态空间为 。(1)设8月份三厂市场占有率的分布为初始分布，且 ， ，由题意，从8月份到9月份的一步转移概率由频数统计可得： ，1,2,3I 0148010.31600P Xp0232020.21600P Xp0380030.51600P Xp1110480 48 961|10.7480

12、pP XX1210482|10.1480pP XX ， ， ， ， ，从而有一步转移概率矩阵： 1310963|10.2480pP XX2110321|20.1320pP XX2210320 32 642|20.7320pPXX 2310643|20.2320pP XX3110641|30.08800pP XX3210322|30.04800pP XX3310800 64 323|30.88800pP XX0.70.10.20.10.70.20.080.040.88P(2) 9月份的市场占有率分布为： (3) 12月份市场占有率的分布为： (4) 由定理3.2.2可知，该马尔可夫链具有遍历性，

13、其平稳分布即为顾客流长期稳定下去市场占有率的分布，建立方程组：(1)(1)(1)123123, ,=0.27 0.19 0.54pppp p pP(4)(4)(4)4123123, ,0.2319 0.1698 0.5983pppp p pP解之，可得顾客流长期稳定下去三厂的市场占有率分布为 。以下通过两个股票价格预测为例，说明马尔可夫预测模型的建立及预测的过程。(1)0.7(1)0.1 (2)0.08 (3)(2)0.1 (1)0.7(2)0.04(3)(3)0.2(1)0.2(2)0.88 (3)(1)(2)(3)1123( , ) (0.219,0.156,0.625) 例例3.2.4

14、3.2.4 沪股东北高速2001年1月6日至3月1日共23个交易日收盘价变动情况见表3.2.1，将个股每日收盘价与前日比较划分为三种状态，即上升、持平和下跌，将三种状态分别记为1、2和3，并预测股价未来所处的状态。表表3.2.1 20013.2.1 2001年年1 1月月6 6日至日至3 3月月1 1日东北高速收盘价变动情况表日东北高速收盘价变动情况表根据表3.2.1中23天的状态资料，其中收盘价较前日呈上升状态的有12天，呈持平状态的有2天，呈下降状态的有9天，且由于第23天状态为“上升”为最后一天没有装填转移资料，故上升的总次数记为11次。除去最后一天外，在表3.2.1中由上升状态转为上升

15、状态的次数为6次，频率为6/11，以频率代替概率，得到由状态1转为状态1的概率 ；由上升状态转为持平状态的次数为0次，得到由状11=6 /110.545p态1转为状态2的概率 ；依次类推可得到一步转移概率矩阵为： .根据状态资料，由于第23日处于上升状态，可认为股票价格的初始状态分布为 ，可以预测第24日股市价格的状态概率分布为：12=0 /110p0.54500.4551000.333 0.222 0.445P123,1,0,0ppp根据计算结果，处于上升状态的概率最大，因此预测结果为24日收盘价处于上升状态。事实上，2001年3月2日的收盘价的确比前一日有所上升。进一步可以预测第25日股市

16、价格的状态概率分布：处于下降状态的概率最大，因此预测结果为25日收(2)(2)(2)2123123,=0.449,0.101,0.450ppppppP(1)(1)(1)123123,0.545,0,0.455ppppppP盘价处于下降状态。而实际25日收盘价较24日确实有所下降。例例3.2.5 2001年4月6日至5月15日沪股联合化纤共23天的收盘价数据资料见表3.2.2，将23天的收盘价数据由低至高划分成四个价格状态区间：状态1为收盘价低于21.31元，状态2为收盘价区间(21.31, 22.80)，状态3为收盘价区间22.80, 24.30)，状态4为收盘价在24.30元以上。表表3.2

17、.2 20013.2.2 2001年年4 4月月6 6日至日至5 5月月1515日东北高速收盘价变动情况表日东北高速收盘价变动情况表由频数统计可以得到一步转移概率矩阵为： 以第23日为初始状态，股票价格的初始状态分布为 ，预测第24日的股市价格的状态概率分布为：收盘价处于状态4的概率最大，可推知收盘价在24.30元以上。事实上，该日收盘价为24.36，与预测结果相符。0.571 0.429000.400 0.200 0.4000000.600 0.40000.200 0.200 0.600P(3)(3)(3)(3)312341234, , , ,=0.032,0.112,0.392,0.464ppppp p p p P