弹性力学有限元第九章FEM部分之三一维单元及二维课件.ppt
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- 弹性 力学 有限元 第九 FEM 部分 三一维 单元 二维 课件
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1、河海大学河海大学 机电工程学院机电工程学院 力学教研室力学教研室第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-1 线性单元线性单元散热片 一维热传导问题温度沿单元的线性近似第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-1 线性单元线性单元典型单元的线性温度分布: XccTe21按照单元节点的温度:jjiiTXTTXT计算出c1 c2并回代入温度方程 jijiiijjeTTTXXTXXXXT jjiieTSTST jijieTTSST前一章中的典型柱体单元位移用形函数表示 jiji
2、euuSSu第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-1 线性单元线性单元形函数固有的性质之一是在相应节点上的值为1,相邻节点上为0。 jijiiijjeTTTXXTXXXXTijjiXXXXSijijTTXXSXSjXi1OXj第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-1 线性单元线性单元形函数固有的性质之二是形函数的和为1。1ijiijjjiTTXXXXXXSS线性形函数对于X的导数之和为0。0ddddddddijiijjjiTTXXXXXXXXXSXS第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-2 二次单元二次单元通过增加分析中使用的线性单元的数量,或者
3、使用高阶的插值函数,能够增加有限元计算的精度。二次函数要求至少使用3个节点来定义一个单元。 2321XcXccTekkjjiiTXTTXTTXT kkjjiieTSTSTST TkjikjieTTTSSSTkjiXXXXlS22ikjXXXXlS22jikXXXXlS24第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-2 二次单元二次单元一般而言,二次单元由节点值表示的任何可变参数可以写为 kjikjieSSS二次形函数的性质 相应节点值为1,相邻节点值为0;形函数之和为1;二次形函数关于X的导数之和一般不为0。第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-3 三次及以上单元三次
4、及以上单元三次函数需要用4个节点来定义一个单元。 mkjimkjieTTTTSSSST当插值函数的阶数增加时,用Lagrange插值函数代替以上方法得到形函数。设节点i的整体坐标为XimkjiXXXXXXaS1则对应的形函数Si满足0001mikijiiiXSXSXSXS从而求出参数a1第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-3 三次及以上单元三次及以上单元 三次以上的单元,可以从Lagrange插值多项式得到N-1阶多项式的形函数: NkkkkkkNkkkXXXXXXXXXXXXXXXXXS111111 形函数的性质就是Lagrange插值基函数的性质1kkXSkiXSik 0
5、1kS第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-4 整体坐标,局部坐标和自然坐标整体坐标,局部坐标和自然坐标整体坐标整体坐标:表示节点的位置和单元的方向;施加边界条件和荷载;表示计算的结果;比如节点的位移。局部坐标和自然坐标局部坐标和自然坐标:构造几何关系,计算积分。第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-4 整体坐标,局部坐标和自然坐标整体坐标,局部坐标和自然坐标自然坐标是局部坐标的无量纲形式无量纲形式。 在计算单元刚度矩阵或者热传导矩阵时,需要用到从上限1到下限1之间的积分(典型的 Gauss-Legendre积分)。第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维
6、单元9-4 整体坐标,局部坐标和自然坐标整体坐标,局部坐标和自然坐标自然坐标和局部坐标的关系12lxx是局部坐标局部坐标下的形函数:lxSlxSji1自然坐标下的形函数:121121jiSS一维散热片单元的温度分布: jijjiieTTTSTST121121第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-5 等参单元等参单元用自然形函数表示位移位移: jijjiieuuuSuSu121121用同样同样的自然形函数表示几何关系几何关系(局部坐标和全局坐标):jijjiixxxSxSx121121jijjiiXXXSXSX121121所谓等参,就是对单元几何形状和单元内的参变量函数采用相同数
7、目的节点参数和相同的形函数进行变换。 用这种方式表示的单元称为等参单元等参单元。第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-5 等参单元等参单元C203441504321TTTT求 X = 8cm 处的温度X = 8cm 处位于单元 4343333TSTST431TlxTlx注意到,X =8cm在单元的局部坐标3x单元 l = 5C6 .25205334531T第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-5 等参单元等参单元自然坐标下二次形函数:11121121kjiSSS自然坐标下三次形函数:011kji131116913111691313116113131161mkji
8、SSSS313111mkji第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-6 Gauss-Legendre 积分积分自然坐标是局部坐标的无量纲形式自然坐标是局部坐标的无量纲形式有限元需要对单元进行数值积分数值积分的方法主要有:梯形法,Simpson法 计算离散数据的积分Gauss-Legendre 积分 计算离散数据的积分 计算不等间距点上已知函数的积分Gauss-Legender积分的主要目标是用特定权系数的乘积之和,以及一些选定点上的函数值来计算积分。第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-6 Gauss-Legendre 积分积分数值积分的形式 baniiixfwx
9、xfI1dGuass-Legendre积分的形式 111dniiifwxfI注意到Guass-Legendre积分的上下限为1到1 (自然坐标自然坐标)Guass-Legendre积分的权因子和样本点点数点数权因子权因子wi样本点样本点 i21.000 000 001.000 000 00- 0.577 350 269 0.577 350 26930.555 555 560.888 888 890.555 555 56- 0.774 596 669 0 0.774 596 669第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-7 矩形单元矩形单元一维问题用线段近似描述,而二维问题用平面近
10、似描述。一维问题用线段近似描述,而二维问题用平面近似描述。第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-7 矩形单元矩形单元温度沿单元的分布是关于坐标X和Y的函数。任意单元在局部坐标下的温度分布 xybybxbbTe4321上式描述的单元具有在单元边缘上线性变化;在单元内部非线性变化;双线性单元:Bilinear Element考虑节点的温度,必须满足条件:., 0;,;0,;0, 0nmjiTTwyxTTwylxTTylxTTyx应用这些条件,可求出各参数,并得到各形函数。第九章第九章 一维单元和二维单元一维单元和二维单元9-7 矩形单元矩形单元解出:nmjiinijiTTTTlwb
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