全国通用版2019版高考数学一轮复习第十五单元计数原理学案（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第十五单元 计数原理 教材复习课 “ 计数原理 ” 相关基础知识一课过 两个计数原理 过双基 两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 条件 完成一件事有 两类方案 在第 1 类方案中有 m 种不同的方法，在第 2类方案中有 n 种不同的方法 完 成一件事 需要 两 个步骤 做第 1 步有 m 种不同的方法，做第 2 步有 n 种不同的方法 结论 完成这件事共有 N m n 种不同的方法 完成这件事共有 N m n 种不同的方法 小题速通 1某班有男生 26 人，女生 24 人，从中选一位同学为数 学科代表，则不同选法的种数为 ( ) A 50 B 2

2、6 C 24 D 616 解析：选 A 由分类加法计数原理知不同的选法种数为 26 24 50. 2从集合 0,1,2,3,4,5,6中任取两个互不相等的数 a， b 组成复数 a bi，其中虚数有 ( ) A 30 个 B 42 个 C 36 个 D 35 个 解析：选 C a bi 为虚数， b0 ，即 b 有 6 种取法， a 有 6 种取法，由分步乘法计数原理知可以组成 66 36 个虚数 3已知集合 P x， y， z， Q 1,2,3，映射 f： P Q 中满足 f(y) 2 的映射的个数为 ( ) A 2 B 4 C 6 D 9 解析：选 D 集合 P x， y， z， Q 1,

3、2,3, 要求映射 f： P Q 中满足 f(y) 2, 则要构成一个映射 f： P Q，只要再给集合 P 中的另外两个元素 x， z 在集合 Q 中都找=【 ;精品教育资源文库 】 = 到唯一确定的像即可 . x 可以对应集合 Q 中的三个元素中的任意一个，有 3 种对应方法， 同样 z 也可以对应集合 Q 中的三个元素中的任意一个，也有 3 种对应方法， 由分布乘法计数原理，可得映射 f： P Q 中满足 f(y) 2 的映射的个数为 33 9. 清易错 1分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立的 2分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方

4、法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事，步步之间是相关联的 1从 0,1,2,3,4,5 这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有 ( ) A 30 B 20 C 10 D 6 解析：选 D 从 0,1,2,3,4,5 六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类： 取出的两数都是偶数，共有 3 种方法； 取出的两数都是奇数，共有 3 种方法，故由分类加 法计数原理得共有 N 3 3 6 种 2用 0,1， ? ， 9 十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为 ( ) A 243 B 252 C 261 D 279 解析：选 B 0,1， 2， ? ， 9 共能组成 9

5、1010 900 个三位数，其中无重复数字的三位数有 998 648 个， 有重复数字的三位数有 900 648 252 个 排列与组合 过双基 1 排列与排列数 (1)排列 从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素， 按照一定的顺序排成一列 ，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 (2)排列数 从 n个不同元素中取出 m(m n)个元素的 所有不同排列的个数 叫做从 n个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 Amn. 2组合与组合数 (1)组合 从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 组合 =【 ;精品教育资

6、源文库 】 = (2)组合数 从 n 个不同元素中取出 m(m n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的 组合数 ，记作 Cmn. 3排列数、组合数的公式及性质 公式 排列数公式 A mn n(n 1)(n 2)?( n m 1) n！n m ！ 组合数公式 Cmn AmnAmmn n n mm！ n！m！ n m ！ 性质 (1)Ann n！ ； (2)0！ 1 (1)C0n 1； (2)Cmn Cn mn _； (3)Cmn Cm 1n Cmn 1 备注 n， m N*且 m n 小题速通 1在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施 6 个程序，其中程序

7、A 只能出现在第一步或最后一步，程序 B 和 C 在实施时必须相邻，则在该实施中程序顺序的编排方法共有( ) A 34 种 B 48 种 C 96 种 D 144 种 解析：选 C 由题意知，程 序 A 只能出现在第一步或最后一步，所以有 A22 2 种方法因为程序 B 和 C 实施时必须相邻，所以把 B 和 C 看作一个元素，有 A44A22 48 种方法，根据分步乘法计数原理可知共有 248 96 种方法 2某学校周二安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求数学不排在第一节课，体育不排在第四节课，则这天课程表的不同排法种数为 ( ) A 720 B 504 C 384 D 12

8、0 解析：选 B 以数学课的排法进行分类： (1)数学 排在第四节，则体育课可排在其余任意一节，故不同的排法种数为 A55 120.(2)数学排在除第一节、第四节外的其余四节，其排法为 4 种；体育课则从除第四节、数学选择的节次外的其余四节任选一节，其排法为 4 种；其余课程由剩余 4 节课进行全排，不同的排法种数为 A44 24.由分步乘法计数原理可得，不同的排法种数共有 4424 384.综上，由分类加法计数原理可得，不同的排法种数有 120 384 504. 3将某师范大学 4 名大四学生分成 2 人一组，安排到 A 城市的甲、乙 两所中学进行教学实习，并推选甲校张老师、乙校李老师作为指

9、导教师，则不同的实习安排方案共有 _=【 ;精品教育资源文库 】 = 种 解析：采取 “ 学校 ” 选 “ 人 ” 的思路，则不同的实习安排方案有 C24C22 6 种 答案： 6 4方程 3A3x 2A2x 1 6A2x的解为 _ 解析：由排列数公式可知 3x(x 1)(x 2) 2(x 1)x 6x(x 1)， x3 且 x N*， 3(x 1)(x 2) 2(x 1) 6(x 1)， 即 3x2 17x 10 0，解得 x 5 或 x 23(舍去 )， x 5. 答案： 5 5已知 1Cm5 1Cm6 710Cm7，则 Cm8 _. 解析：由已知得 m 的取值范围为 m|0 m5 ， m

10、 Z ， 由组合数公式可知， m！ m ！5！ m！ m ！6！ m ！ m！107 ！ ， 整理可得 m2 23m 42 0，解得 m 21(舍去 )或 m 2. 故 Cm8 C28 28. 答案： 28 清易错 易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关 . 用 1,2,3,4,5,6 组成数字不重复的六位数，满足 1 不在左、右两端， 2,4,6 三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位 数的个数为 ( ) A 423 B 288 C 216 D 144 解析：选 B 若 2,4 相邻，把 2,4 捆绑在一起，与另外四个数排列

11、 (相当于 5 个元素排列 )， 1 不在左、右两侧，则六位数的个数为 2C 13A 44 144，同理 2,4 与 6 相邻的有 A2222A 33 48个，所以只有 2,4相邻的有 144 48 96个，全部符合条件的六位数有 963 288 个 二项式定理 过双基 1二项式定理 二项式定理 (a b)n C0nan C1nan 1b ? Cknan kbk ? Cnnbn(n N*) =【 ;精品教育资源文库 】 = 二项式系数 二项展开式中各项系数 Ckn(k 0,1， ? ， n) 二项式通项 Tk 1 Cknan kbk，它表示第 k 1 项 2二项式系数的性质 小题速通 1已知

12、C0n 2C1n 22C2n 23C3n ? 2nCnn 729，则 C1n C2n C3n ? Cnn等于 ( ) A 63 B 64 C 31 D 32 解析：选 A 逆用二项式定理得 C0n 2C1n 22C2n 23C3n ? 2nCnn (1 2)n 3n 729，即3n 36，所以 n 6，所以 C1n C2n C3n ? Cnn 26 C0n 64 1 63. 2.? ?12x 2y 5的展开式中， x2y3的系数是 ( ) A 20 B 5 C 6 D 20 解析：选 A Tr 1 Cr5? ?12x 5 r( 2y)r ( 2)rCr5? ?12 5 rx5 ryr. 令 5

13、 r 2，得 r 3， ( 2)3C35? ?12 5 3 20. x2y3的系数为 20. 3 (2017 山东高考 )已知 (1 3x)n的展开式中含有 x2项的系数是 54，则 n _. 解析： (1 3x)n的展开式的通项为 Tr 1 Crn(3x)r. 令 r 2，得 T3 9C2nx2.由题意得 9C2n 54，解得 n 4. 答案： 4 4 (2018 山西四校联考 )如果 (2x 1)6 a0 a1x a2x2 ? a6x6，那么 a1 a2 ? a6的值等于 _ 解析：令 x 0，有 1 a0；令 x 1，有 1 a0 a1 ? a6，所以 a1 a2 ? a6 0. =【

14、;精品教育资源文库 】 = 答案： 0 清易错 1二项式的通项易误认为是第 k 项，实质上是第 k 1 项 2易混淆二项式中的 “ 项 ” ， “ 项的系数 ” 、 “ 项的二项式系数 ” 等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指 Ckn(k 0,1， ? ， n) 1 (2018 长沙长郡中学月考 )若 ? ?x2 1x n的展开式中的所有二项式系数之和为 512，则该展开式中常数项为 ( ) A 84 B 84 C 36 D 36 解析：选 B 由二项式系数之和为 2n 512，得 n 9.又 Tr 1 ( 1)rCr9x18 3r，令 18 3r 0，得 r

15、6，故常数项为 T7 84. 2若二项式 ? ?x 2x n的展开式中的第 5 项是常数，则自然数 n 的值为 ( ) A 6 B 10 C 12 D 15 解析：选 C 由二项式 ? ?x 2x n的展开式的第 5 项 C4n( x)n 4? ? 2x 4 16C4nxn2 6 是常数项，可得 n2 6 0，解得 n 12. 一、选择题 1 5 名学生相约第二天去春游，本着自愿的原则，规定任何人可以 “ 去 ” 或 “ 不去 ” ，则第二天可能出现的不同情况的种数为 ( ) A C25 B 25 C 52 D A25 解析：选 B 不妨设 5 名同学分别是 A， B， C， D， E, 对于 A 同学来说，第二天可能出现的不同情况有去和不去 2 种， 同样对于 B， C， D， E都是 2 种，