曲边梯形面积及汽车行驶的路程用课件.ppt

1、xy0直线直线xy0几条线段连成的几条线段连成的折线折线xyo曲线曲线探究思考问题1：你能求出下面图像的面积吗？问题2：第三幅图的面积应该怎么求呢？曲边梯形曲边梯形：在直角坐标系中，由连续曲线在直角坐标系中，由连续曲线 y=f(x)，直线，直线x=a、x=b及及x轴所轴所 围成的图形叫做曲边梯形。围成的图形叫做曲边梯形。Ox y a b y=f (x)x=ax=b探究思考 因此，我们可以用这条直线因此，我们可以用这条直线L来代替点来代替点P附附近的曲线，也就是说：在点近的曲线，也就是说：在点P P附近，曲线可以附近，曲线可以看作直线（即在很小范围内看作直线（即在很小范围内以直代曲以直代曲）。）

2、。P放大放大再放大再放大PP探究思考 y = f(x)bax yO A1用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A，得得A A1。探究思考A A1+ A2用两个矩形的面积用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A， 得得 y = f(x)bax yOA1A2探究思考A A1+ A2+ A3+ A4用四个矩形的面积用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A， 得得 y = f(x)bax yOA1A2A3A4探究思考 y = f(x)bax yO 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，

3、并用小矩阵形的个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边梯形的面积A近近似为似为A A1+ A2 + + AnA1AiAn 以直代曲以直代曲, ,无限逼近无限逼近 探究思考 当分点非常多（n非常大）时，可以认为f(x)在小区间上几乎没有变化（或变化非常小），从而可以取小区间内任意一点xi对应的函数值f(xi)作为小矩形一边的长，于是f(xi) x来近似表示小曲边梯形的面积表示了曲边梯形面积的近似值探究思考xxfxxfxxfn )()()(21例1.求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积。 n1n2nknn2111

4、2222223311 1()()11121110 1(12(1) )1 (1) (21)611112.6nnnniiiiiiSSfxnnnnnnnnnnnnnnn nnnn xOy解:把底边0,1分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值:2xy 探究思考详细过程详细过程探究思考因此因此, , 我们有理由相信我们有理由相信, , 这个曲边三角形的面积为这个曲边三角形的面积为: :lim111lim1261.3nnnSSnn n1n2nknnxOy2xy （1 1）分割）分割过各区间端点作x轴的垂线，

5、从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作.S,S,S,Sni21 把区间0，1等分成n个小区间： nnnnnininnn,1,1,2110，nninix11每个区间的长度为探究思考（2 2） 近似代替近似代替n1)n1i(x)n1i(fS2i（3 3）作和）作和) 1n(210n1 n1)n1- i(n1)n1- if( SSSSS22223n1i2n1in1iin21 探究思考（4）取极限）取极限分别将区间分别将区间0，1等分成等分成8，16，32，1024,等份（如下图）等份（如下图）,可以看到，可以看到， 当当 即即 时，时， 从而有从而有,n 0 x 111(1)(1),32nSSn

6、n1111111limlim()lim(1)(1)323nnnnniiSSfnnnn分割分割以曲代直以曲代直作和作和取极限取极限探究思考探究思考2( )2v tt= -+O Ov t t12探究思考nnSS lim解：解：1 1分割分割 在时间区间在时间区间0,1上等间隔地插入上等间隔地插入1n个点，个点，将区间将区间0,1等分成等分成n个小区间：个小区间： 10,n，1 2,n n，1,1nn 记第记第i个区间为个区间为1,(1,2, )iiinnn，其长度为，其长度为11iitnnn 把汽车在时间段把汽车在时间段10,n，1 2,n n，1,1nn上行上行驶的路程驶的路程分别记作：分别记作

7、：1S，2S，nS 显然，显然，1niiSS （2 2）近似代替）近似代替 当当n很大，即很大，即t很小时，在区间很小时，在区间1,iinn上，可以认为函数上，可以认为函数 22v tt 的值变化很的值变化很小， 近似的等于一个常数， 不妨认为它近似的等于左端小， 近似的等于一个常数， 不妨认为它近似的等于左端点点1in处的函数值处的函数值2112iivnn ，从从物理意义物理意义上看，上看，即使汽车在时间段即使汽车在时间段1,iinn(1,2, )in上的上的速度变化很小， 不妨认为它近似地以时刻速度变化很小， 不妨认为它近似地以时刻1in处的速度处的速度2112iivnn 作匀速直线运动作

8、匀速直线运动 即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变即使汽车在时间段即在局部小范围内“以匀速代变速” ，于是的用小矩形的面积速” ，于是的用小矩形的面积iS近似的代替近似的代替iS，则有则有 21112iiiiSSvtnnn 2112(1,2, )iinnnn （4 4）取极限）取极限 当当n趋向于无穷大时，即趋向于无穷大时，即t趋向于趋向于 0 0 时，时，11111232nSnn 趋向于趋向于S， 从而有从而有111limlimnnnniiSSvnn 1115lim112323nnn 2)(xxfnini,1C1、当、当n很大时，函数很大时，函数 在区间在区间 上的值，可以用上的值，

9、可以用( )近似代替近似代替 A. B.C. D.)1(nf)2(nf)(nif 0f1,iixx2、在、在“近似代替近似代替”中，函数中，函数f(x)在区间在区间 上的上的近似值等于（近似值等于（ ）A.只能是左端点的函数值只能是左端点的函数值B.只能是右端点的函数值只能是右端点的函数值 C.可以是该区间内任一点的函数值可以是该区间内任一点的函数值D.以上答案均不正确以上答案均不正确)(ixf)(1ixf),)(1iiiixxfC3.求直线求直线 与曲线与曲线 所围成的曲边梯形的面积所围成的曲边梯形的面积.0,2,0 xxy2yx. 求曲线下方求曲线下方“曲边梯形曲边梯形”的面积和变的面积和变速直线运动的位移问题的一般步骤速直线运动的位移问题的一般步骤：小结：小结：.讨论问题常用一般到特殊再到一般的方法讨论问题常用一般到特殊再到一般的方法.以直代曲在近似计算中的应用以直代曲在近似计算中的应用.极限思想的初步运用极限思想的初步运用分割分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限