全国通用版2019版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时分层作业二十五3.7应用举例（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层作业 二十五 应 用 举 例 一、选择题 (每小题 5分 ,共 25分 ) 1.两座灯塔 A和 B与海岸观察站 C的距离相等 ,灯塔 A在观察站南偏西 40, 灯塔 B在观察站南偏东 60, 则灯塔 A在灯塔 B的 ( ) A.北偏东 10 B.北偏西 10 C.南偏东 80 D.南偏西 80 【解析】 选 D.由题意可知 ACD=40, DCB=60,CA=CB, 所以 CAB= CBA =40, 又因为 BCD=60, 所以 CBD=30, DBA=10, 故灯塔 A在 B的南偏西 80. 2.如图所示 ,为了 测量某湖泊两侧 A,B间的距离 ,李

2、宁同学首先选定了与 A,B不共线的一点 C( ABC的角 A,B,C所对的边分别记为 a,b,c),然后给出了三种测量方案 :测量 A,C,b; 测量 a,b,C; 测量 A,B,a.则一定能确定 A,B间的距离的所有方案的序号为 ( ) A. B. C. D. 【解析】 选 D.对于 可以利用正弦定理确定唯一的 A,B两点间的距离 ,对于 直接利用余弦定理即可确定 A,B两点间的距离 . 3.某船开始看见灯塔在南偏东 30 方向 ,后来船沿南偏东 60 的方向航行 15 km后 ,看见灯 塔在正西方向 ,则这时船与灯塔的距离是 ( ) A.5 km B.10 km C.5 km D.5 km

3、 【解析】 选 C.作出示意图 (如图 ),点 A为该船开始的位置 ,点 B为灯塔的位置 ,点 C为该船后来的位置 ,所以在 ABC 中 ,有 BAC =60 -30 =30 ,B=120 ,AC=15, 由正弦定理 ,得 = , 即 BC= =5 ,即这时船与灯塔的距离是 5 km. 【 变式备选】 为 绘制海底地貌图 ,测量海底两点 C,D之间的距离 ,海底探测仪沿水平方向在 A,B两点进行测量 ,A,B,C,D 在同一个铅垂平面 内 ,海底探测仪测得BAC=30, DAC=45, ABD=45, DBC=75,A,B 两点的距离为 海里 ,则C,D 之间的距离为 ( ) A. 海里 B.

4、2 海里 C. 海里 D. 海里 =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 选 A. ADB=180 -30 -45 -45 =60 , 在 ABD中 ,由正弦定理 ,得 BD= = , 在 ABC中 , ACB=180 -30 -45 -75 =30 , 所以 BC=BA= , 在 BCD中 ,由余弦定理 ,得 CD2=BC2+BD2-2BC BDcos DBC =3+ -2 =5,所以 CD= . 4.(2018深圳模拟 )一架直升飞机在 200 m高度处进行测绘 ,测得一塔顶与塔底的俯角分别是 30 和 60,则塔高为 ( ) 导学号 12560533 A. m B. m C. m D

5、. m 【解析】 选 A.如图所示 . 在 Rt ACD中可得 CD= =BE, 在 ABE中 ,由正弦定理得 = ?AB= ,所以 DE=BC=200- = (m). 5.台风中心从 A地以每小时 20千米的速度向东北方向移动 ,离台风中心 30千米内的地区为危险区 ,城市 B在 A的正东 40千米处 ,B城 市处于危险区内的持续时间为 ( ) A.0.5小时 B.1 小时 C.1.5小时 D.2 小时 【解析】 选 B.根据题意画出相应的图形 ,如图所示 .BE=BF=30 km, ABD为等腰直角三角形且 AB=40 km,由勾股定理得 AD=BD= 20 km,由 BD AD,可得 E

6、D=DF,在 Rt=【 ;精品教育资源文库 】 = BED 中 ,由勾股定理得 ED= =10 km,所以 EF=2ED=20 km,因此 B市处于危险区内的时间为20 20=1(h). 二、填空题 (每小题 5分 ,共 15分 ) 6.如图 ,一艘船上午 9:30在 A处测得灯塔 S在它 的北偏东 30 处 ,之后它继续沿正北方向匀速航行 ,上午 10:00到达 B处 ,此时又测得灯塔 S在它的北偏东 75 处 ,且与它相距 8 n mile.此船的航速是 _ n mile/h. 【解析】 设航速为 v n mile/h,在 ABS中 , AB= v,BS=8 n mile, BSA=45,

7、 由正弦定理 ,得 = ,所以 v=32. 答案 :32 7.(2018潍坊模拟 )如图 ,为测得河对岸塔 AB的高 ,先在河岸上选一点 C,使 C在塔底 B的正东方向上 ,测得点 A的仰角为 60, 再由点 C沿北偏东 15 方向走 10米到位 置 D,测得 BDC=45, 则塔 AB的高是 _米 . 【解析】 在 BCD中 ,由正弦定理得 , = ,解得 BC=10 米 , 所以在 Rt ABC中 ,tan 60 = ,解得 AB=10 米 , 所以塔 AB的高是 10 米 . 答案 :10 8.如图 ,某住宅小区的平面图呈圆心角为 120 的扇形 AOB,C 是该小区的一个出入口 ,且小

8、区里有一条平行于 AO的小路 CD.已知某人从 O沿 OD走到 D用了 2分钟 ,从 D沿 DC走到 C用了 3分钟 .若此人步行的速度为每分钟 50米 ,则该扇形的半径为 _米 . 【解题指南 】 连接 OC,在 OCD中 ,借助余弦定理求半径 OC. =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 连接 OC,由题意知 CD=150米 ,OD=100米 , CDO=60, 在 COD中 ,由余弦定理得OC2=CD2+OD2-2CD OD cos 60, 即 OC=50 . 答案 :50 三、解答题 (每小题 10分 ,共 20分 ) 9.如图 ,航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内 ,已

9、知飞机的飞行高度为 10 000 m,速度为 50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为 15, 经过 420 s后看山顶的俯角为 45, 则山顶的海拔高度为多少米 ?(取=1.4, =1.7) 【解析】 如图 ,作 CD垂直于 AB的延长线于点 D,由题意知 A=15 , DBC=45 ,所以 ACB=30 ,AB=50 420 =21 000(m). 又在 ABC中 , = , 所以 BC= sin 15 =10 500( - )(m). 因为 CD AD,所以 CD=BC sin DBC =10 500( - ) =10 500( -1) =7 350(m). 故山顶的海拔高度为 10 0

10、00-7 350=2 650(m). 10.如图 ,一架飞机以 600 km/h 的速度 ,沿方位角 60 的航向 从 A地出发向 B地飞行 ,飞行了 36 min后到达E 地 ,飞机由于天气原因按命令改飞 C地 ,已知 AD=600 km,CD=1 200 km,BC=500 km,且 ADC=30, BCD=113. 问收到命令时飞机应该沿什么航向飞行 ,此时 E地离 C地的距离是多少 ? =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解题指南】 在 ACD中使用余弦定理得出 AC 及 ACD,在 ABC中使用余弦定理得出 AB 及 CAE,再在ACE 中使用余弦定理得出 CE 及 AEC. 【解析

11、】 在 ACD中由余弦定理 ,得 : AC2=(600 )2+1 2002-2 600 1 200 =360 000, 所以 AC=600,则 CD2=AD2+AC2, 即 ACD是直角三角形 ,且 ACD=60 , 又 BCD=113 ,则 ACB=53 , 因为 tan 37 = ,所以 cos 53 =sin 37 = . 在 ABC中 ,由余弦定理 ,得 :AB2=6002+5002-2 600 500 =5002, 则 AB=500, 又 BC=500,则 ABC是等腰三角形 , 且 BAC=53 ,由已知有 AE=600 =360, 在 ACE中 ,由余弦定理 ,有 CE= =48

12、0, 又 AC2=AE2+CE2,则 AEC=90 . 由飞机出发时的方位角为 60 ,则飞机由 E地改飞 C地的方位角为 :90 +60 =150 . 答 :收到命令时飞机应该沿方位角 150的航向飞行 ,E 地离 C地 480 km. 1.(5分 )如图 ,某海上缉私小分队驾驶缉私艇以 40 km/h的速度由 A处出发 ,沿北偏东 60 方向进行海上巡逻 ,当航行半小时到达 B处时 ,发现北偏西 45 方向有一艘船 C,若船 C位于 A的北偏东 30 方向上 ,则缉私艇所在的 B处与船 C的距离是 ( ) A.5( + )km B.5( - )km C.10( - )km D.10( +

13、)km 【解析】 选 C.由题意知 BAC=60 -30=30, CBA=30+45=75, 所以 =【 ;精品教育资源文库 】 = ACB=180 -30 -75=75, 故 AC=AB,因为 AB=40 =20,所以 AC=AB=20.在 ABC中 ,由余弦定理得 :BC2=AC2+AB2-2AC ABcos CAB=400+400-220 20cos 30=400(2 - ),故 BC= = =10( - ). 2.(5分 )(2018广州模拟 )如图 ,在海岸线上相距 2千米的 A,C两地分别测得小岛 B在 A的北偏西 方向 ,在 C的北偏西 - 方向 ,且 cos = ,则 B,C之

14、间的距离是 ( ) A.30 千米 B.30千米 C.12 千米 D.12千米 【解析】 选 D.依题意得 ,AC=2 ,sin BAC =sin =cos = , sin B=sin =cos 2 =2cos2 -1= , 在 ABC中 ,由正弦定理得 ,BC= = =12, 则 B与 C之间的距离是 12千米 . 【 变式备选】 (2018长沙模拟 )地面上有两座塔 AB,CD,相距 120米 ,一人分别在两塔底测得一塔顶的仰角是另一塔顶仰角的 2倍 ,在两塔底连线的中点 O处测得塔顶的仰角互为余角 ,则两塔的高度分别为( ) A.50米 ,100米 B.40 米 ,90米 C.40米 ,

15、50米 D.30米 ,40米 【解析】 选 B.设高塔高 H,矮塔高 h,在矮塔下望高塔仰角为 ,在 O点望高塔仰角为 . 分别在两塔底部测得一塔顶仰角是另一塔顶仰角的两倍 ,所以在高塔下望矮塔仰角为 , =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 tan = ,tan = , 根据倍角公式有 = , 在塔底连线的中点 O测得两塔顶的仰角互为余角 ,所以在 O点望矮塔仰角为 - , 即 tan = ,tan = , 根据 诱导公式有 = , 联立得 H=90,h=40. 即两座塔的高度为 40 米 ,90 米 . 3.(5分 )(2018宜昌模拟 )如图所示 ,在海岛 A上有一座海拔 千米的山峰 ,

16、山顶上设有一座观察站 P,一艘轮船沿一固定方向匀速航行 ,上午 10:00时 ,测得此船在岛北偏东 20 且俯角为 30 的 B处 ,到 10:10时 ,又测得该船在岛北偏西 40 且俯角为 60 的 C处 ,则该船的航行速度为 _ km/h. 【解题指南】 在 Rt PAB,Rt PAC中确定 AB,AC的长 ,进而求得 CAB的大小 ,在 ABC 中 ,利用余弦 定理求得 BC,用路程除以时间即为船的速度 . 【解析】 在 Rt PAB中 , APB=60 ,PA= ,所以 AB=3.在 Rt PAC中 , APC =30 ,所以 AC=1. 在 ACB中 , CAB=20 +40 =60 , 所以 BC= = . 则船的航行速度为 =6 (km/h). 答案 :6 =【 www.163wenk