全国通用版2019版高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时分层作业二十四3.6正弦定理和余弦定理（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层作业 二十四 正弦定理和余弦定理 一、选择题 (每小题 5分 ,共 25分 ) 1.(2016全国卷 ) ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知 a= , c=2,cos A= ,则 b等于( ) A. B. C.2 D.3 【解析】 选 D.在 ABC中由余弦定理得 a2=b2+c2-2bc cos A,即 5=b2+4- ,解得 b=3 或 b=- (舍去 ). 2.(2018潍坊模拟 )在 ABC 中 ,cos2 = (a,b,c分别为角 A,B,C的对边 ),则 ABC的形状为 ( ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.等腰三

2、角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 【解析】 选 B.因为 cos2 = ,cos2 = , 所以 (1+cos B) c=a+c,所以 a=cos B c= , 所以 2a2=a2+c2-b2,所以 a2+b2=c2, 所以 ABC为直角三角形 . 3.在 ABC中 ,已知 b=40,c=20,C=60, 则此三角形的解的情况是 ( ) A.有一解 B.有两解 C.无解 D.有解但解的个数不确定 【解析】 选 C.因为 = ,所以 sin B= = = 1,故此三角形无 解 . 4.(2017山东高考 )在 ABC中 ,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 ABC为锐角三角形 ,且满

3、足 sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是 ( ) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 【解题指南】 逆用两角和的正弦公式将原式化简 ,再结合正弦定理去判断 . 【解析】 选 A.2sin Acos C+cos Asin C=sin Acos C+(sin Acos C+cos Asin C)= =【 ;精品教育资源文库 】 = sin Acos C+sin B=sin B+2sin BcosC,即 sin Acos C=2sin Bcos C,由于 ABC 为锐角三角形 ,所以 cos C 0,sin A=2sin

4、 B,由正弦定理可得 a=2b. 5.(2018长沙模拟 )在 ABC 中 ,A= ,b2sin C=4 sin B,则 ABC的面积为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 选 B.因为 b2sin C=4 sin B,所以 b2c=4 b,即 bc=4 ,故 S ABC= bcsin A=2. 【 变式备选】 在锐角 ABC中 ,角 A,B,C所 对的边分别为 a,b,c,若 sin A= , a=3,S ABC=2 ,则 b的值为 ( ) A.6 B.3 C.2 D.2或 3 【解析】 选 D.因为 S ABC=2 = bcsin A, 所以 bc=6,又因为 sin A=

5、,所以 cos A= ,又 a=3,由余弦定理得 9=b2+c2- 2bccos A=b2+c2-4,b2+c2=13,可得 b=2或 b=3. 二、填空题 (每小题 5分 ,共 15分 ) 6.(2017全国卷 ) ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 2bcos B=acos C +ccos A,则 B=_. 【解析】 由正弦定理可得 2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,所以 cos B= ,又因为0B ,所以 B= . 答案 : 7.(2018杭州模拟 )在 ABC 中 ,内角 A,B,C所对的边分别为 a,b

6、,c,已知 A= , b= , ABC的面积为,则 c=_,B=_. =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 因为 A= ,b= , ABC 的面积为 = bcsin A= c ,所以解得 :c=1+ ,所以由余 弦定理可得 :a= =2,可得 :cos B= = ,又 0B,故 B= . 答案 :1+ 8.设 ABC的内角 A,B,C所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B,则 cos B的值为 _. 【解析】 因为 A=2B, = ,b=3,c=1, 所以 = ,可得 a=6cos B, 由余弦定理可得 :a=6 ,所以 a=2 , 所以 cos B= = . 答案

7、: 三、解答题 (每小题 10分 ,共 20分 ) 9.(2018成都模拟 )已知三角形 ABC中 ,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 sin 2A = cos 2A,且角 A为锐角 . (1)求三角形内角 A的大小 . (2)若 a=5,b=8,求 c的值 . 【解析】 (1)由题意 ,sin 2A= cos 2A,即 tan 2A= . 所以 2A= 或者 2A= ,因为角 A为锐角 ,所以 A= . (2)由 (1)可知 A= ,a=5,b=8;由余弦定理 ,2bccos A=c2+b2-a2,可得 :c2-8c+39=0, =【 ;精品教育资源文库 】 = 解得 c=4 +3

8、或者 4 -3. 10.(2017 全国卷 ) ABC 的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知 sin A+ cos A=0,a=2 ,b=2. (1)求 c. (2)设 D为 BC边上一点 ,且 AD AC,求 ABD的面积 . 【解析】 (1)因为 sin A+ cos A=0, 所以 sin A=- cos A, 所以 tan A=- . 因为 A (0, ), 所以 A= . 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A, 代入 a=2 ,b=2得 c2+2c-24=0, 解得 c=-6(舍去 )或 c=4, 所以 c=4. (2)由 (1)知 c=4. 因为 c2=a2

9、+b2-2abcos C, 所以 16=28+4-2 2 2 cos C, 所以 cos C= ,所 以 sin C= , 所以 tan C= . 在 Rt CAD中 ,tan C= , 所以 = ,即 AD= . 则 S ADC= 2 = , 由 (1)知 S ABC= bc sin A= 2 4 =2 , =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 S ABD=S ABC-S ADC=2 - = . 1.(5分 )(2016全国卷 ) 在 ABC中 ,B= ,BC边上的高等于 BC,则 sin A= ( ) A. B. C. D. 【解析】 选 D.设 BC边上的高为 AD,且 AD=m, 因

10、为 B= ,则 BD=m,AB= m,又因为 AD= BC,所以 DC=2m,AC= m,由正弦定理 = 得sin BAC= = . 【 变式备选】 设 ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 a=2,c=2 ,cos A= 且 bc,则 b等于( ) A.3 B.2 C.2 D. 【解析】 选 C.由余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,即 4=b2+12-6b?b2-6b+8=0 ?(b-2)(b-4)=0,由 bc,得 b=2. 2.(5分 )在 ABC中 ,若 = 且 (b+c+a)(b+c-a)=3bc,则 ABC的形状为 ( ) A.直角三角形 B.等腰三角形

11、 C.等边三角形 D.钝角三角形 【解析】 选 C.由正弦定理得 = ,又由已知得 = ,故 b=c,又因为 (b+c+a)(b+c-a)=3bc,即(b+c)2-a2=3bc,故 b2+c2-a2=bc,所以 cos A= = ,因为 0A, 所以 A= ,故 ABC是等边三角形 . 3.(5分 )(2018大连模拟 )如图 ,在四边形 ABCD中 , ABD=45, ADB=30, BC=1,DC=2,cos BCD= ,则BD=_;三角形 ABD的面积为 _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 在 CBD中 ,由余弦定理 ,可得 BD= =2,在 ABD中 ,利用正弦定理 ,可

12、得 AD= =2 -2,所以三角形 ABD的面积为 2 (2 -2) = -1. 答案 :2 -1 4.(12分 )(2018泉州模拟 )已知 a,b,c分别是 ABC 中角 A,B,C的对边 ,acsin A +4sin C=4csin A. (1)求 a的值 . (2)圆 O为 ABC的外接圆 (O在 ABC内部 ), OBC的面积为 ,b+c=4,判断 ABC 的形状 ,并说明理由 . 【解析】 (1)由正弦定理可 知 ,sin A= ,sin C= , 则 acsin A+4sin C=4csin A?a2c+4c=4ac, 因为 c 0,所以 a2c+4c=4ac?a2+4=4a?(

13、a-2)2=0,可得 a=2. (2)设 BC的中点为 D,则 OD BC, 所以 S OBC= BC OD. 又因为 S OBC= ,BC=2,所以 OD= , 在 Rt BOD中 ,tan BOD= = = = , 又 0 BOD180 ,所以 BOD =60 , 所以 BOC=2 BOD=120 , 因为 O在 ABC内部 ,所以 A= BOC=60 , 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccos A. 所以 4=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc,又 b+c=4, 所以 bc=4,所以 b=c=2, =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 ABC为等边三角形 . 5.(13分 )

14、(2017全国卷 ) ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c,已知 ABC的面积为 . (1)求 sin Bsin C. (2)若 6cos Bcos C=1,a=3,求 ABC的周长 . 【解析】 (1)因为 ABC面积 S= 且 S= bcsin A, 所以 = bcsin A, 所以 a2= bcsin2A, 由正弦 定理得 sin2A= sin Bsin Csin2A, 由 sin A 0得 sin Bsin C= . (2)由 (1)得 sin Bsin C= ,又 cos Bcos C= , 因为 A+B+C= , 所以 cos A = cos =-cos =sin Bsin C-cos Bcos C = , 又因为 A , 所以 A= ,sin A= ,cos A= , 由余弦定理得 a2=b2+c2-bc=9 , 由正弦定理得 b= sin B,c= sin C, =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 bc= sin Bsin C=8 , 由 得 b+c= , 所以 a+b+c=3+ ,即 ABC的周长为 3+ .