江苏省南京市2018-2019学年高二上学期期末调研数学（理科）试题 Word版含解答.doc

1、南京市2018-2019学年度第一学期期末调研高二数学（理科）一、填空题。请把答案填写在答题卡相应位置上1.已知命题， ，写出命题的否定：_.【答案】，【解析】【分析】“全称命题”的否定一定是“存在性命题”据此可解决问题【详解】解：“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，命题p：x0，exex，的否定是：x0，exex故答案为：，【点睛】本小题主要考查命题的否定属于基础题命题的否定即命题的对立面“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述如“对所有的都成立”与“至少有一个不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”本

2、小题主要考查命题的否定属于基础题命题的否定即命题的对立面“全称量词”与“存在量词”正好构成了意义相反的表述如“对所有的都成立”与“至少有一个不成立”；“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题”的否定一定是“全称命题”2.在平面直角坐标系中，抛物线的准线方程为_.【答案】【解析】【分析】利用抛物线方程求出p，即可得到结果【详解】解：抛物线y22x的焦点到其准线的距离为：p1抛物线的准线方程为：x故答案为：【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力3.已知，则的值为_.【答案】1【解析】因为 ，所以点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“

3、在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.4.已知复数满足 (为虚数单位)，则的实部为_.【答案】3【解析】【分析】利用复数的除法运算法则得到z，结合实部定义得到答案.【详解】解：由（z2）i1+i得，z3i，所以复数的实部为：3故答案为：3【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，实部的概念，考查计算能力，是基础题5.在平面直角

4、坐标系中，是椭圆上一点若点到椭圆的右焦点的距离为2，则它到椭圆的右准线的距离为_.【答案】【解析】【分析】求出椭圆的离心率，利用椭圆的第二定义，求解即可【详解】椭圆C：y21，可得e，由椭圆的第二定义可得：它到椭圆C的右准线的距离为d，d故答案为：【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的第二定义，考查转化思想以及计算能力6.已知实数，满足则的最小值为_.【答案】1【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案【详解】解：由实数x，y满足，作出可行域如图，由解得B（3，1）化zx+2y为yx，由图可知，当直线yx过B（

5、3，1）时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值等于z3+2（1）1故答案为：1【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题7.在平面直角坐标系中，“”是“方程表示椭圆”的_条件(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”)【答案】必要不充分【解析】【分析】由椭圆的性质有：“方程x2+my21表示椭圆”的充要条件为：，再判断“m0”与“”的关系【详解】解：由椭圆的性质有：“方程x2+my21表示椭圆”的充要条件为：，又“m0”是“”的必要不充分条件，所以，“m0”是“方程x2+my21表示椭圆”的必要不充分条件，故答案为：必要不充分【点睛】本题考

6、查了椭圆的性质与充分、必要条件，属简单题8.在平面直角坐标系中，双曲线的顶点到它的渐近线的距离为_.【答案】【解析】【分析】根据点到直线的距离公式进行求解即可【详解】解：双曲线y21的一个顶点为A（2，0），双曲线的一条渐近线为yx，即x2y0，则点到直线的距离公式d，故答案为：【点睛】本题主要考查双曲线性质的应用，根据点到直线的距离公式是解决本题的关键，比较基础9.在平面直角坐标系中，点，点，平面内点满足，则的最大值是_【答案】【解析】【分析】设P（x，y），由15，得点P的轨迹是以C（2，1）为圆心，2为半径的圆，得PO的最大值为|OC|+半径【详解】解：设P（x，y），则（4x，y），（

7、x，2y）15，x（x4）+y（y2）15，即（x2）2+（y1）220，点P的轨迹是以C（2，1）为圆心，2为半径的圆，PO的最大值为：|OC|+半径3故答案为：3【点睛】本题考查了向量的数量积的应用，考查了平面上一定点到圆上各点距离的最值问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10.在平面直角坐标系中，点，分别是椭圆 的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线与椭圆交于，两点若为锐角，则该椭圆的离心率的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由题设知F1（c，0），F2（c，0），A（c，），B（c，），由是锐角三角形，知tanAF1 F21，所以1，由此能求出椭圆的离心率e的取值范围【详解】解：点

8、F1、F2分别是椭圆1（ab0）的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点，F1（c，0），F2（c，0），A（c，），B（c，），是锐角三角形，AF1 F245，tanAF1 F21，1，整理，得b22ac，a2c22ac，两边同时除以a2，并整理，得e2+2e10，解得e1，或e1，（舍），0e1，椭圆的离心率e的取值范围是（1，1）故答案为：（1，1）【点睛】本题考查椭圆的离心率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化11.在平面直角坐标系中，圆与圆有公共点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据题意，分析两个圆的圆心与半径，由圆与圆

9、的位置关系可得21|C1C2|2+1，即1（a1）2+（a+2）29，解可得a的取值范围，即可得答案【详解】解：根据题意，圆C1：（xa）2+（ya2）21，其圆心C1为（a，a+2），半径为r11，圆C2：x2+y22x30，即（x1）2+y24，其圆心C2（1，0），半径r22，若两圆有公共点，则21|C1C2|2+1，即1（a1）2+（a+2）29，变形可得：a2+a+20且a2+a20，解可得：2a1，即a的取值范围为2，1；故答案为：2，1【点睛】判断圆与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系(2)切线法：根据公切线条数确定12.如图，在正四棱锥中，点为的

10、中点，若，则实数_ 【答案】4【解析】【分析】连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出实数【详解】解：连结AC，交BD于O，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，设PAAB2，则A（，0，0），D（0，0），P（0，0，），M（，0，），B（0，0），（0，2，0），设N（0，b，0），则（0，b，0），2，b，N（0，0），（，），（，0），MNAD，10，解得实数4故答案为：4【点睛】本题考查实数值的求法，考查空间向量、正四棱锥的结构牲等基础知识，考查运算求解能力，是中档题13.在平面直角坐标系

11、中，圆，点，为抛物线上任意一点（异于原点），过点作圆的切线，为切点，则的最小值是_【答案】3【解析】【分析】设P（x，y），可得y22x，求得圆M的圆心和半径，求得切线长|PB|，化简可得|PB|为P到y轴的距离，结合抛物线的定义和三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值【详解】解：设P（x，y），可得y22x，圆M：（x1）2+y21的圆心M（1，0），半径为1，|PB|x|，即|PB|为P到y轴的距离，抛物线的焦点F（，0），准线方程为x，可得|PA|+|PB|PA|+|PK|PA|+|PF|，过A作准线的垂线，垂足为K，可得A，P，K共线时，|PA|+|PK|取得最小值|AK|，即有|

12、PA|+|PB|的最小值为3故答案为：3【点睛】本题考查抛物线的定义和方程的运用，考查直线和圆相切的切线长求法，考查转化思想和三点共线取得最值，考查运算能力，属于中档题14.已知函数只有一个零点，且这个零点为正数，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】先运用导数得出函数的单调性和单调区间，再结合函数图象求出a的取值范围【详解】解：令3x23a23（xa）（x+a）0，解得x1a，x2a，其中a0，所以函数的单调性和单调区间如下：x（，a），f（x）递增；x（a，a），f（x）递减；x（a，+），f（x）递增因此，f（x）在xa处取得极大值，在xa处取得极小值，结合函数图象，要使f（x）只

13、有一个零点x0，且x00，只需满足：f（x）极大值f（a）0，即a3+3a36a2+4a0，整理得a（a1）（a2）0，解得，a（1，2），故答案为：（1，2）【点睛】本题主要考查了函数零点的判定，以及运用导数研究函数的单调性和极值，数形结合的解题思想，属于中档题二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.在平面直角坐标系中，已知椭圆经过点，其离心率为（1）求椭圆的方程；（2）已知是椭圆上一点，为椭圆的焦点，且，求点到轴的距离【答案】（1） (2) 【解析】【分析】（1）椭圆E经过点A（4，0），可得 a4 椭圆E的离心率e可得c2 即可得椭圆E的方程；（2）由F1PF2，所

14、以0，可得x2+y212，由，得P到y轴的距离【详解】（1）因为椭圆经过点，所以，解得 又椭圆的离心率，所以 所以因此椭圆的方程为（2）方法一：由椭圆的方程，知，设因为，所以，所以 由解得 所以，即到轴的距离为 方法二：由椭圆的方程，知设因为，为的中点，所以，从而 由解得 所以，即到轴的距离为 方法三：由椭圆的方程，知， 设因为，所以 由椭圆的定义可知，所以，所以三角形的面积 又，所以，所以 代入得， 所以 ，即到轴的距离为【点睛】本题考查椭圆的几何性质，关键是利用椭圆的定义和向量数量积属于中档题16.如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为1，求：（1）直线与直线所成角的余弦值；（2）平面与平面

15、所成二面角的正弦值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）以 ， 为正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，利用向量法能求出直线A1C与直线AD1所成角的余弦值；（2）求出平面D1AC的一个法向量和平面ABB1A1的一个法向量，利用向量法能求出平面D1AC与平面ABB1A1所成二面角的正弦值【详解】(1)如图，正四棱柱的底面边长为，侧棱长为1，故以 为正交基底建立空间直角坐标系则， （1）因为 ， ， 所以， 从而 又异面直线所成的角的范围是，所以直线与直线所成角的余弦值为 （2），设平面的一个法向量为，则从而即取，可得，即 在正四棱柱中，平面，又，所以为平面的一个法向量 因为，且，所以因此平面

16、与平面所成二面角的正弦值为【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17.在平面直角坐标系中，已知圆经过抛物线与坐标轴的三个交点（1）求圆的方程；（2）经过点的直线与圆相交于，两点，若圆在，两点处的切线互相垂直，求直线的方程【答案】（1）（2）和【解析】【分析】（1）方法一、求得抛物线与坐标轴的三个交点，设出圆的一般式方程，代入三点坐标，解方程组可得D，E，F，即可得到所求圆方程；方法二、由抛物线方程与圆的一般式方程，可令y0，可得D，F，再由抛物线与y轴的交点，可得E，即可得到所求圆方程

17、；（2）求圆C的圆心和半径，圆C在A，B两点处的切线互相垂直，可得ACB，求得C到直线l的距离，讨论直线l的斜率是否存在，由点到直线的距离公式，计算可得所求直线方程【详解】（1）方法一：抛物线与坐标轴的三个交点坐标为，设圆的方程为，则 , 解得 所以圆的方程为 方法二：设圆的方程为令，得因为圆经过抛物线与轴的交点，所以与方程同解，所以， 因此圆因为抛物线与轴的交点坐标为，又所以点也在圆上，所以，解得所以圆的方程为 （2）由（1）可得，圆：，故圆心，半径因为圆在，两点处的切线互相垂直，所以所以到直线的距离 当直线的斜率不存在时， ，符合题意； 当直线的斜率存在时，设，即，所以，解得，所以直线，即

18、综上，所求直线的方程为和 方法三：当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将直线的方程代入圆的方程得：，即 ，因为圆在点，两点处的切线互相垂直，所以，所以，即，所以，即，即，即，解得，所以直线：，即 当直线的斜率不存在时，：，符合题意； 综上，所求直线的方程为和【点睛】本题考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法和方程思想，考查直线和圆的位置关系，注意运用分类讨论思想方法和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题18.如图，从一个面积为的半圆形铁皮上截取两个高度均为的矩形，并将截得的两块矩形铁皮分别以，为母线卷成两个高均为的圆柱（无底面，连接部分材料损失忽略不计）记这两个圆柱的体积之和为（1）将

19、表示成的函数关系式，并写出的取值范围；（2）求两个圆柱体积之和的最大值【答案】（1）.（2）【解析】【分析】（1）设半圆形铁皮的半径为r，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为r1，r2，写出y关于x的函数关系，并写出x的取值范围；（2）利用导数判断V（x）的单调性，得出V（x）的最大值【详解】（1）设半圆形铁皮的半径为，自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为，因为半圆形铁皮的面积为，所以，即因为，所以，同理，即 所以卷成的两个圆柱的体积之和因为，所以的取值范围是 （2）由，得，令，因为，故 当时，；当时， ，所以在上为增函数，在上为减函数， 所以当时，取得极大值，也是最大值因此的最大

20、值为 答：两个圆柱体积之和的最大值为【点睛】本题考查了圆柱的结构特征，圆柱与体积计算，用函数单调性求函数最值，属于中档题19.如图，在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点动直线过点，且与椭圆相交于，两点（直线与轴不重合）（1）若点的坐标为，求点坐标；（2）点，设直线，的斜率分别为，求证：；（3）求面积最大时的直线的方程【答案】(1) (2)见证明；(3) 【解析】【分析】（1）由已知得到直线l的方程，与椭圆方程联立即可求得点B的坐标；（2）设直线l的方程为xty+1，与椭圆方程联立，利用根与系数的关系及斜率公式即可证明k1+k20；（3）AF1B的面积S|F1F2|y1y2|y1y2|把（

21、2）中的根与系数的关系代入，可得S设函数f（x）9x （x1），利用导数可得f（x）9x在1，+）上单调递增，得到当t2+11，即t0时，9（t2+1）取最小值10由此可得直线l的方程为x1【详解】（1）因为直线经过点， ，所以直线的方程为 由解得或所以 （2）因为直线与轴不重合，故可设直线的方程为设，由得，所以， ， 因为，在直线上，所以， ，所以， ，从而 因为，所以 （3）方法一：的面积 .由（2）知， ， ，故 ，设函数因为，所以在上单调递增，所以当，即时，取最小值10即当时，的面积取最大值，此时直线的方程为方法二：的面积 由（2）知， ， ，故 ，因为，所以，所以，即时，的面积取最大

22、值因此，的面积取最大值时，直线的方程为【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法及导数求函数的最值，考查计算能力，属难题20.已知函数， （1）若，且直线是曲线的一条切线，求实数的值； （2）若不等式对任意恒成立，求的取值范围； （3）若函数有两个极值点，且，求的取值范围【答案】(1) (2) (3) 【解析】【分析】（1）代入a的值，根据切线方程得到关于x0的方程，求出切点坐标，解出m即可；（2）问题转化为alnx10，记g（x）alnx1，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而确定a的范围即可；（3）法一：求出h（x2）h（x1）的解析式，记m（x）

23、2（x）lnxx，x1，根据函数的单调性求出a的范围即可；法二：由h（x）f（x）xalnxx，x0，以及h（x）有两个极值点x1，x2（x1x2），得到x1+x2a，x1x21，设t2（t1），从而h（x2）h（x1） 等价于 h（t）（t）lntt，t1，记m（x）（x）lnxx，x1，根据函数的单调性求出a的范围即可【详解】（1）当时， ，设直线与曲线相切于点，则，即， 解得，即切点为，因为切点在上，所以，解得 （2）不等式可化为记， 则对任意恒成立考察函数， ，当时， ，在上单调递减，又，所以，不合题意； 当时， ，；， ，所以在上单调递减，在上单调递增，若，即时，在上单调递增， 所以

24、时， ，符合题意； 若，即时，在上单调递减， 所以当时， ，不符合题意；综上所述，实数的取值范围为 （3）方法一：，因为有两个极值点， ，所以，即的两实数根为， ， ，所以， ， ，所以， ，从而 记，则 (当且仅当时取等号)，所以在上单调递增，又，不等式可化为，所以 因为，且在上递增，所以，即的取值范围为 方法二：， ，因为有两个极值点， ，所以，即的两实数根为， ， ，所以， ， ，所以，设，则， ，所以， ， ，从而等价于， 记，则 (当且仅当时取等号)，所以在上单调递增又， ，所以 因为，且在上递增，所以，即的取值范围为【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，换元思想，考查函数恒成立问题，是一道综合题