全国通用版2019版高考数学一轮复习第七章立体几何课时分层作业四十六7.6空间直角坐标系空间向量及其运算（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层作业 四十六 空间直角坐标系、空间向量及其运算 一、选择题 (每小题 5分 ,共 25分 ) 1.(2018深圳模拟 )已知三棱锥 O-ABC,点 M,N分别为 AB,OC的中点 ,且 =a, =b, =c,用 a,b,c表示,则 等于 ( ) A. (b+c-a) B. (a+b+c) C. (a-b+c) D. (c-a-b) 【解析】 选 D. = + + = (c-a-b). 2.已知 A(1,0,0),B(0,-1,1),O为坐标原点 , + 与 的夹角为 120, 则 的值为 ( ) A. B. C.- D. 【解析】 选 C. + =(1

2、,- , ), cos 120 = =- ,得 = . 经检验 = 不合题意 ,舍去 ,所以 =- . 【误区警示】 这里夹角为 120, 的值为负 ,= 必须舍去 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 3.(2018长沙模拟 )已知 a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,). 若 a,b,c三向量共面 ,则实数 等于( ) A. B. C. D. 【解析】 选 D.由题意设 c=ta+ b=(2t-, -t+4,3t -2), 所以 所以 4.在空间四边形 ABCD中 , + + 的值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】 选 A.如图 ,令 =a, =b

3、, =c, 则 + + = ( - )+ ( - )+ ( - ) =a (c-b)+b (a-c)+c (b-a) =a c-a b+b a-b c+c b-c a =0. 【 一题多解】 选 A.如图 ,在三棱锥 A-BCD中 ,不妨令其各棱长都相等 ,则正四面体的对棱互相垂直 . 所以 =0, =0, =0. 所以 + + =0. 【 变式备选 】 1.空间四边形 OABC 中 ,边长 AC=BC,OA=3,OB=1,则向量 的值为 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.-4 B.-3 C.-1 D.-2 【解析】 选 A.取 AB的中点 D,连接 CD,OD. 则由 AC=BC

4、,得 CD AB,即有 =0, = ( + ) = + = =( - ) ( + ) = ( - )= (12-32)=-4. 2.已知四边形 ABCD满足 : 0, 0, 0, 0,则该四边形为 ( ) A.平行四边形 B.梯形 C.长方形 D.空间四边形 【解析】 选 D.由 0, 0, 0, 0,知该四边形一定不是平面图形 . 5.已知线段 AB,BD在平面 内 ,且 AB BD,线段 CD ,AB=3,BD=4,CD=5, 则 AC间的距 离是 ( ) A.4 B.5 C.5 D.6 【解析】 选 C. + + = ,因为 CD , 则 CD AB,CD DB,且已知 AB BD,故=

5、( + + )2= + + +2 +2 +2 =50,所以 =5 . 【 变式 备选】 已知二面角 -l- 等于 120, A,B是棱 l上两点 ,AC,BD分别在半平面 , 内 ,AC l,BD l,且 AB=AC=BD=1,则 CD的长等于 ( ) A. B. C.2 D. 【解析】 选 C.依题意可知 ,二面角 -l- 的大小等于 与 所成的角 ,因为 = + + ,所以= + + +2 +2 +2 , 因为 AC AB,BD AB,AB=AC=BD=1, 所以 =1+1+1+2 =3+2 | |cos =3+2cos. 因为 =120 ,所以 =60 , =【 ;精品教育资源文库 】

6、= 因此 =3+2 =4,所以 =2. 二、填空题 (每小题 5分 ,共 15分 ) 6.二面角 -l- 为 60,A,B 是 l上的两点 ,AC,BD分别在半平面 , 内 ,AC l,BD l,且 AB=AC=a,BD=2a,则 CD的长为 _. 【解析】 因为 AC l,BD l,所以 =60 ,且 =0, =0, 所以 = + + , 所以 | |= = =2a. 答案 :2a 7.已知 ABCD-A1B1C1D1为正方体 , ( + + )2=3 ; ( - )=0; 向量 与向量 的夹角是 60; 正方体 ABCD-A1B1C1D1的体积为 | |. 其中正确命题的序号是 _. 【解

7、析】 中 ( + + )2= + + =3 ,故正确 ; 中 - = ,因为 AB1 A1C,故正确 ; 中 A1B与 AD1两异面直线所成角为 60 , 但 与 的夹角为 120 ,故不正确 ; 中 | |=0,故也不正确 . 答案 : 8.已知 e1,e2是空间单位向量 ,e1 e2= ,若空间向量 b满足 b e1=2,b e2= ,且对于任意 x,yR,|b-(xe1+ye2)| |b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0 R),则 x0=_, y0=_,|b|=_. 【解析】 问题等价于 |b-(xe1+ye2)|当且仅当 x=x0,y=y0时取到最小值 1,左边平方即 |b|2

8、+x2+y2-4x-5y+xy,在x=x0,y=y0时取到最小值 1,|b|2+x2+y2-4x-5y+xy= =【 ;精品教育资源文库 】 = x2+(y-4)x+y2-5y+|b|2= + (y-2)2-7+|b|2,所以 解得答案 :1 2 2 【 变式备选】 已知 P(3cos ,3sin ,1) 和 Q(2cos ,2sin ,1), 则 | |的取值范围是 ( ) A.1,5 B.(1,5) C.0,5 D.0,25 【解析】 选 A.因为 P(3cos ,3sin ,1)和 Q(2cos ,2sin ,1), 所以 | | = = = , 因为 cos ( - ) -1,1, 所

9、以 | |的取值范围是 1,5. 三、解答题 (每小题 10分 ,共 20分 ) 9.已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). (1)求以 , 为边的平行四边 形的面积 . (2)若 |a|= ,且 a 分别与 , 垂直 ,求向量 a的坐标 . 【解析】 (1)由题意可得 : =(-2,-1,3), =(1,-3,2), 所以 cos = = = = , =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 sin = , 所以以 , 为边的平行四边形的面积 : S=2 | | |sin =14 =7 . (2)设 a=(x,y,z), 由题意得 解得 或 所以 a=(1,1

10、,1)或 a=(-1,-1,-1). 10.直三棱柱 ABC-ABC 中 ,AC=BC=AA, ACB=90,D,E 分别为 AB,BB 的中点 . (1)求证 :CE AD. (2)求异面直线 CE与 AC 所成角的余弦值 . 【解析】 (1)设 =a, =b, =c, 根据题意 ,|a|=|b|=|c|且 a b=b c=c a=0, 所以 =b+ c, =-c+ b- a. 所以 =- c2+ b2=0, 所以 ,即 CE A D. (2) =-a+c,所以 = |a|, =【 ;精品教育资源文库 】 = | |= |a|. =(-a+c) ( c+ b)= c2 = |a|2, 所以

11、cos = = . 即异 面直线 CE与 AC所成角的余弦值为 . 1.(5分 )空间四边形 ABCD的各边均相等 ,E是 BC 的中点 ,那么 ( ) A. D. 与 的大小不能比较 【解析】 选 C.取 BD的中点 F,连接 EF,则 EF CD,因为 =90, 且 =0, . 2.(5分 )在空间直角坐标系 Oxyz 中 ,给出以下结论 : 点 A(1,-3,4)关于原点的对称点的坐标为(-1,-3,-4); 点 P(-1,2,3)关于 xOz平面对称的点的坐标是 (-1,-2,3); 已知点 A(-3,1,5)与点 B(4,3,1),则 A,B的中点坐标是 ; 两点 M(-1,1,2)

12、,N(1,3,3)间的距离为 5.其中正确的是 ( ) A. B. C. D. 【解析】 选 C.点 A(1,-3,4)关于原点的对称点的坐标为 (-1,3,-4),不正确 ; 点 P(-1,2,3)关于 xOz平面对称的点的坐标是 (-1,-2,3),正确 ; 已知点 A(-3,1,5)与点 B(4,3,1),则 A,B的中点坐标是 ,正确 ; =【 ;精品教育资源文库 】 = 两点 M(-1,1,2),N(1,3,3)间的距离为 =3,不正确 . 【 变式备选】 关于空间直角坐标系 Oxyz中的一点 P(1,2,3),有下列说法 : 点 P到坐标原点的距离为 ; OP 的中点坐标为 ; 点

13、 P关于 x轴对称的点的坐标为 (-1,-2,-3); 点 P关于坐标原点对称的点的坐标为 (1,2,-3); 点 P关于坐标平面 xOy对称的点的坐标为 (1,2,-3). 其中正确的个数是 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】 选 A.由空间直角坐标系 Oxyz中的一点 P(1,2,3),知 : 在中 ,点 P到坐标原点 的距离为 d= = ,故错误 ; 在中 ,由中点坐标公式得 ,OP 的中点坐标为 ,故正确 ; 在中 ,由对称的性质得与点 P关于 x轴对称的点的坐标为 (1,-2,-3),故不正确 ; 在中 ,由对称的性质得与点 P关于坐标原点对称的点的坐标为 (-1,-2

14、,-3),故错误 ; 在中 ,由对称的性质得与点 P关于坐标平面 xOy对称的点的坐标为 (1,2,-3),故正确 . 3.(5分 )在空间直角坐标系 Oxyz 中 ,已知 A(2,0,0),B(2,2, ),C(0,2,0), D(1,1, ).若 S1,S2,S3分别是三棱锥 D-ABC在 xOy,yOz,zOx 坐标平面上的正投影图形的面积 ,则( ) A.S1=S2S3 C.S1S2=S3 【解析】 选 C.根据点在面上的投影 ,D,B在 xOy面上的投影分别为 (1,1,0), (2,2,0),所以投影三角形面积S1= 22=2, 在 yOz面上的投影分别为 (0,1, ),(0,2

15、, ),投影梯形面积 S2= (2+1) = ,在 xOz面上的投影分别为 (1,0, ),(2,0, ),投影梯形的面积 S3= (2+1) = ,故 S10,结合 P在线段 AB上 ,可知 t-s=1可得4(1-s2)2+2s2?3s21,所以 ,则= = = ,即 0 . 5.(13分 )如图 ,三棱锥 P-ABC 中 , = = =0, = =4 . (1)求证 :AB平面 PAC. (2)若 M为线段 PC上的点 ,设 =, 问 为何值时 , 能使直线 PC平面 MAB? 【解析】 (1)因为 = = =0, 所以 PA AB,AB AC, 因为 PA AC=A,所以 AB平面 PA

16、C. (2)以 A为坐标原点 ,AC,AB,AP 所在直线分别为 x轴 ,y 轴 ,z轴建立空间直角坐标系 .设 AP=2,则P(0,0,2),A(0,0,0),C(2,0,0),B(0,1,0). 当 M为 PC中点时 ,即 = 时 ,直线 PC平面 MAB. =【 ;精品教育资源文库 】 = 证明如下 :当 M为 PC中点时 ,M(1,0,1). =(2,0,-2), =(1,0,1), =(-1,1,-1). =2 1+0 0+(-2) 1=0, 所以 ,即 PC AM. =2 (-1)+0 1+(-2) (-1)=0, 所以 ,即 PC BM.又因为 AM BM=M,所以 PC平面 MAB.