全国通用版2019版高考数学一轮复习第六章数列课时达标检测二十九数列的综合问题（文科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时达标检测（二十九） 数列的综合问题 小题常考题点 准解快解 1 (2018 安徽六安一中月考 )已知数列 an的通项公式为 an 5 n，其前 n 项和为 Sn，将数列 an的前 4 项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列 bn的前 3 项，记bn的前 n 项和为 Tn.若存在 m N*，使对任意 n N*， Sn Tm 恒成立，则实数 的取值范围是 ( ) A 2， ) B (3， ) C 3， ) D (2， ) 解析：选 D 依题意得 Sn 5 n n2 n n2 ，根据二次函数的性质， n 4,5时， Sn取得最大值为 10.另外，根据通

2、项公式得数列 an的前 4 项为 a1 4， a2 3， a3 2，a4 1，观察易知抽掉第二项后，余下的三项可组成等比数列所以数列 bn中， b1 4，公比 q 12，所以 Tn4? ?1 12n1 12 8? ?1 12n ，所以 4 Tn2.故选 D. 2 (2018 北京景山学校段测 )已知数列 an满足 a1 1， P(an， an 1)(n N*)在直线 xy 1 0 上，如果函数 f(n) 1n a1 1n a2 1n an(n N*， n2) ，那么函数 f(n)的最小值为 ( ) A.13 B 14 C.712 D 512 解析：选 C 将点 P 的坐标代入直线方程，得 an

3、 1 an 1，所以 an是首项为 1，公差为 1的等差数列，所以 an n，所以 f(n) 1n 1 1n 2 1n n， f(n 1) 1n 2 1n 3 1n n 2，所以 f(n 1) f(n) 1n n 1 1n n 2 1n 1 12n 2 12n 2 1n 1 0，所以 f(n)单调递增，故 f(n)的最小值为 f(2) 712，故选 C. 3 (2018 江西金溪一中月考 )据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半若饲养 5 年后，鱼的质量预计为原来的 t 倍下列选项中，与 t 值最接近的是 ( ) A 11 B 13 =【 ;精

4、品教育资源文库 】 = C 15 D 17 解析：选 B 设鱼原来的质量为 a，饲养 n 年后鱼的质量为 an， q 200% 2，则 a1 a(1 q)， a2 a1? ?1 q2 a(1 q)? ?1 q2 ， ， a5 a(1 2)(1 1) ? ?1 12 ? ?1 122 ? ?1 123 40532a12.7 a，即 5 年后，鱼的质量预计为原来的 12.7 倍，故选 B. 4 (2018 湖北襄阳四校联考 )我国古代数学名著九章算术中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法的前两步为： 第一步：构造数列 1， 12， 13， 14， ， 1n. 第二步：将数列 的各项乘以 n2，得

5、到一个新数列 a1， a2， a3， ， an. 则 a1a2 a2a3 a3a4 an 1an ( ) A.n24 Bn 24 C.n n4 D n n4 解析：选 C 由题意知所得新数列为 1 n2， 12 n2， 13 n2， ， 1n n2，所以 a1a2 a2a3a3a4 an 1an n24 ?112 123 134 1n n n24?1 12 ?1213 ?1314 ?1n 11n n24?1 1n n n4 ，故选 C. 5 (2018 辽宁盘锦高中月考 )数列 an满足 a1 14， an 1 14 4an，若不等式 a2a1 a3a2 an 2an 11， a1 1，且 2

6、a2， a4,3a3成等差数列 (1)求数列 an的通项公式； (2)记 bn 2nan，求数列 bn的前 n 项和 Tn. 解： (1)由 2a2， a4,3a3成等差数列可得 2a4 2a2 3a3， 即 2a1q3 2a1q 3a1q2， 又 q1， a1 1，故 2q2 2 3q， 即 2q2 3q 2 0，得 q 2， 因此数列 an的通项公式为 an 2n 1. (2)bn 2n2 n 1 n2 n， Tn 12 22 2 32 3 n2 n， 2Tn 12 2 22 3 32 4 n2 n 1. 得 Tn 2 22 23 2n n2 n 1， Tn 2 2n 12 1 n2n 1

7、， Tn (n 1)2 n 1 2. 2 (2017 山东高考 )已知 xn是各项均为正数的等比数列，且 x1 x2 3， x3 x2 2. (1)求数列 xn的通项公式； =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，依次连接点 P1(x1， 1)， P2(x2,2)， ， Pn 1(xn 1，n 1)得到折线 P1P2 Pn 1，求由该折线与直线 y 0， x x1， x xn 1所围成的区域的面积 Tn. 解： (1)设数列 xn的公比为 q，由已知得 q0.由题意得? x1 x1q 3，x1q2 x1q 2. 所以 3q2 5q 2 0.因为 q0，所以

8、q 2， x1 1，因此数列 xn的通项公式为 xn 2n 1. (2)过 P1， P2， ， Pn 1向 x 轴作垂线，垂足分别为 Q1， Q2， ， Qn 1.由 (1)得 xn 1 xn 2n 2n 1 2n 1，记梯形 PnPn 1Qn 1Qn的面积为 bn，由题意得 bn n n2 2 n 1 (2n1)2 n 2，所以 Tn b1 b2 bn 32 1 52 0 72 1 (2n 1)2 n 3 (2n1)2 n 2. 又 2Tn 32 0 52 1 72 2 (2n 1)2 n 2 (2n 1)2 n 1. 得 Tn 32 1 (2 22 2n 1) (2n 1)2 n 1 32

9、 2n 11 2 (2n 1)2n 1. 所以 Tn nn 12 . 3 (2018 河北二市联考 )在等比数列 an中， an0(n N*)， a1a3 4，且 a3 1 是 a2和a4的等差中项，若 bn log2an 1. (1)求数列 bn的通项公式； (2)若数列 cn满足 cn an 1 1b2n 1 b2n 1，求数列 cn的前 n 项和 解： (1)设等比数列 an的公比为 q，且 q0， 在等比数列 an中，由 an0， a1a3 4 得， a2 2， 又 a3 1 是 a2和 a4的等差中项， 所以 2(a3 1) a2 a4， 把 代入 得， 2(2q 1) 2 2q2，

10、 解得 q 2 或 q 0(舍去 )， 所以 an a2qn 2 2n 1， 则 bn log2an 1 log22n n. (2)由 (1)得， cn an 1 1b2n 1 b2n 1 2n 1n n 2n 12? ?12n 1 12n 1 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以数列 cn 的前 n 项和 Sn 2 22 2n 12? 13 ?1315 ?12n 112n 1 2n1 2 12?1 12n 1 2n 1 2 n2n 1. 4 (2018 河北定州中学阶段性检测 )已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 Sn n223n2. (1)求数列 an的通项公式； (2)若数列

11、 bn满足 bn an 2 an 1an 2 an，且数列 bn的前 n 项和为 Tn，求证： Tn2n 512. 解： (1)因为 Sn n223n2 ， 所以当 n2 时， Sn 1 n22 n2 ， 所以由 两式相减得 an Sn Sn 1 n223n2 n 22 n2 n 1. 又因为 n 1 时， a1 S1 2 适合 an n 1， 所以 an n 1. (2)证明：由 (1)知 bn n 3 (n 1) 1n n 2 12? ?1n 1 1n 3 ， 所以 Tn b1 b2 b3 bn 2n 12? ?12 14 13 15 1n 1 1n 3 2n 12? ?12 13 1n 2 1n 3 2n 512 12? ?1n 2 1n 3 2n 512.