全国通用版2019版高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时分层作业十五2.11.2利用导数研究函数的极值最值（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 课时分层作业 十五 利用导数研究函数的极值、最值 一、选择题 (每小题 5分 ,共 25分 ) 1.函数 f(x)=ln x-x在区间 (0,e上的最大值为 ( ) A.1-e B.-1 C.-e D.0 【解析】 选 B.因为 f(x)= -1= ,当 x (0,1)时 ,f(x)0; 当 x (1,e时 ,f(x)0; 当 x=-2时 ,f(x)=0; 当 -22时 ,f(x)0. 由此 可以得到函数 f(x)在 x=-2处取得极大值 ,在x=2 处取得极小值 . 【 变式备选】 设函数 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c R).若 x=-1为函数 f

2、(x)ex的一个极值点 ,则下列图象不可能为y=f(x)图象的是 ( ) 【解析】 选 D.因为 f(x)ex=f(x)e x+f(x)(ex)=f(x)+f(x)e x,且 x=-1为函数 f(x)ex的一个极值点 ,所以 f(-1)+f( -1)=0;选项 D中 ,f(-1)0,f( -1)0,不满足 f( -1)+f(-1)=0. 3.已知 f(x)=2x3-6x2+m(m为常数 )在 -2,2上有最大值 3,那么此函数在 -2,2上的最小值是 ( ) A.-37 B.-29 C.-5 D.以上都不对 【解析】 选 A.f (x)=6x2-12x=6x(x-2), 所以 f(x)在 -2

3、,0上单调递增 ,在 (0,2上单调递减 . 所以 x=0为极大值点 ,也为最大值点 . 所以 f(0)=m=3,所以 m=3.所以 f(-2)=-37,f(2)=-5. 所以最小值是 -37. =【 ;精品教育资源文库 】 = 4.设点 P在曲线 y=2ex上 ,点 Q 在曲线 y=ln x-ln 2上 ,则 |PQ|的最小值 为 ( ) A.1-ln 2 B. (1-ln 2) C.2(1+ln 2) D. (1+ln 2) 【解析】 选 D.因为曲线 y=2ex与曲线 y=ln x-ln 2互为反函数 ,其图象关于直线 y=x对称 ,故可先求点 P到直线 y=x的最近距离 ,函数 y=2

4、ex的导数为 y=2e x,由 y=2e x=1 得 ,x=-ln 2,所以 y=2e-ln 2=1,所以当 P点为 (-ln 2,1)时 ,点到直线 y=x 的最近距离为 d= = ,所以|PQ|min=2d=2 = (1+ln 2). 5.已知函数 f(x)= -k ,若 x=2 是函数 f(x)的唯一一个极值点 ,则实数 k的取值范围为 ( ) A.(-,e B.0,e C.(-,e) D.0,e) 【解析】 选 A.f (x)= -k = (x0).设 g(x)= , 则 g (x)= ,则 g(x)在 (0,1)内单调递减 ,在 (1,+ )内单调递增 . 所以 g(x)在 (0,+

5、 )上有最小值 ,为 g(1)=e,结合 g(x)= 与 y=k的图象可知 ,要满足题意 ,只需 k e. 二、填空题 (每小题 5分 ,共 15分 ) 6.函数 y=2x- 的极大值是 _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 y =2+ ,令 y =0,得 x=-1. 当 x0;当 -10,y 0, 所以当 x=-1时 ,y 取极大值 -3. 答案 :-3 7.已知函数 y=f(x)=x3+3ax2+3bx+c在 x=2处有极值 ,其图象在 x=1处的切线平行于直线 6x+2y+5=0,则 f(x)的极大值与极小值之差为 _. 【解析】 因为 y =3x2+6ax+3b, ? 所以

6、 y =3x2-6x,令 3x2-6x=0,则 x=0或 x=2. 所以 f(x)极大值 -f(x)极小值 =f(0)-f(2)=4. 答 案 :4 8.若函数 f(x)=x3-3x 在区间 (a,6-a2)上有最小值 ,则实数 a的取值范围是 _. 【解析】 若 f(x)=3x 2-3=0,则 x=1, 且 x=1为函数的极小值点 ,x=-1为函数的极大值点 .函数 f(x)在区间(a,6-a2)上有最小值 ,则函数 f(x)的极小值点必在区间 (a,6-a2)内 ,且左端点的函数值不小于 f(1),即实数a 满足 a0,故 x=-2是 g(x)的极小值点 . 当 -21时 ,g (x)0,

7、故 x=1不是 g(x)的极值点 . 所以 g(x)的极小值点为 x=-2,无极大值点 . 【 变式备选】 (2018潍坊模拟 )已知函数 f(x)= +bln x,曲线 y=f(x)在点 (1,f(1)处的切线方程为 y=x.求函数 f(x)的单调区间及极值 . 【解析】 f(x)的定义域为 (0,+ ),f (x)= , 故 f (1)=b-a=1,又 f(1)=a,点 (1,a)在直线 y=x上 ,所以 a=1,则 b=2. =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 f(x)= +2ln x且 f (x)= , 当 0 时 ,f (x)0, 故函数 f(x)的单调增区间为 ,单调减区间为

8、, f(x)极小值 =f =2-2ln 2,无极大值 . 10.已知函数 f(x)= (1)求 f(x)在区 间 (-,1) 上的极小值和极大值点 . (2)求 f(x)在 -1,e(e为自然对数的底数 )上的最大值 . 【解析】 (1)当 x0时 ,f(x)在 1,e上单调递增 ,则 f(x)在 1,e上的最大值为 f(e)=a. 故当 a 2 时 ,f(x)在 -1,e上的最大值为 a;当 a0得 x0,由 f (x)0得 0- . 故函数 f(x)在 上单调递增 , 在 (- ,0)和 上单调递减 . (2)当 a=0时 ,f(x)在区间 0,1上单调递增 ,其最大值为 f(1)=1.

9、当 -21,f(x)在区间 0,1上单调递增 ,其最大值是 f(1)=ea. 当 a -2时 ,00时 ,f(x) ( ) A.有极大值 ,无极小值 B.有极小值 ,无极大值 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也无极小值 =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 选 D.由题意得 f(x)= ,令 h(x)=ex-2x2f(x),则h(x)=e x-2x2f(x)+2xf(x)=e x- = ,因此当 x (0,2)时 ,h(x)0; 即 h(x)min=h(2)=e2-22 2f(2)=e 2-24 =0,因此 x0时 ,f(x) 0. 2.(5分 )(2018唐山模拟 )若函数 f

10、(x)= x3- x2+2bx在区间 -3,1上不是单调函数 ,则函数 f(x)在 R上的极小值为 ( ) A.2b- B. b- C.0 D.b2- b3 【解析】 选 A.f(x)=x 2-(2+b)x+2b=(x-b)(x-2),因为函数 f(x)在区间 -3,1上不是单调函数 ,所以 -30, 得 x2,由 f(x)0)的极大值为 6,极小值为 2,则 f(x)的单调递减区间是 _. 【解析】 令 f(x)=3x 2-3a=0,得 x= ,则 f(x),f (x)随 x的变化情况如下表 : x (- ,- ) - (- , ) ( ,+ ) f (x) + 0 - 0 + f(x) 极

11、大值 极小值 从而 解得 所以 f(x)的单调递减区间是(-1,1). 答案 :(-1,1) 4.(12分 )(2018烟台模拟 )已知函数 f(x)= ln x+ -x,其中常数 m0. (1)当 m=2时 ,求函数 f(x)的极大值 . (2)讨论函数 f(x)在区间 (0,1)上的单调性 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 (1)当 m=2时 ,f(x)= ln x+ -x, 因为 f (x)= - -1=- (x0). 所以当 02时 ,f (x)0. 所以函数 f(x)在区间 和区间 (2,+ )上单调递减 ,在区间 上单调递增 , 所以函数 f(x)的极大值为 f(2)

12、= ln 2- . (2)由题意知 ,f (x)= - -1= - =- (x0,m0). 当 01,故当 x (0,m)时 ,f (x)0,此时函数 f(x)在区间 (0,m)上单调递减 ,在区间 (m,1)上单调递增 . 当 m=1时 , =1,故当 x (0,1)时 ,f (x)=- 1时 ,00,此时函数 f(x)在区间上单调递减 ,在区间 上单调递增 . 【误区警示】 不能忽视定义域 (x0),否则单调区间会求错 . 在讨论时 ,不可丢掉 m=1的情况 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 5.(13分 )(2018石家庄模拟 )已知函数 f(x)=x-ln x-a,g(x)=x+

13、-(ln x)a+1,a R. (1)若 f(x) 0在定义 域内恒成立 ,求 a的取值范围 . (2)当 a取 (1)中的最大值时 ,求函数 g(x)的最小值 . 【解析】 (1)由题意知 ,f(x)的定义域是 (0,+ ), f (x)=1- = , 当 x (0,1)时 ,f (x)0,f(x)单调递增 , 所以 f(x)min=f(1)=1-a,所以 1-a 0,a 1, 故 a的取值范围是 (- ,1. (2)当 a=1时 ,g(x)=x+ -(ln x)2,g(x)的定义域是 (0,+ ). g (x)=1- -2ln x = , 令 h(x)=x2-2xln x-1,h (x)=2(x-ln x-1), 由 (1)知 ,h (x)的最小值是 h (1)=0,所以 h (x) 0,h(x)在 (0,+ )上单调递增 ,又 h(1)=0, 所以当 x (0,1)时 ,h(x)0,g (x)0,g(x)单调递增 , 所以 g(x)min=g(1)=2.