数学建模(层次分析法(AHP法))课件.ppt

1、n层次分析法（层次分析法（AHP）是美国运筹学家匹茨是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂堡大学教授萨蒂(T.L.Saaty)于上世纪于上世纪70年代年代初，为美国国防部研究初，为美国国防部研究“根据各个工业部根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配门对国家福利的贡献大小而进行电力分配”课题时，应用网络系统理论和多目标综合课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。方法。n这种方法的特点是在对复杂的决策问题的这种方法的特点是在对复杂的决策问题的本质、影响因素及其内在关系等进行深入本质、影响因素及其内在关系等进行深入分析的

2、基础上，利用较少的定量信息使决分析的基础上，利用较少的定量信息使决策的思维过程数学化，从而为多目标、多策的思维过程数学化，从而为多目标、多准则或无结构特性的复杂决策问题提供简准则或无结构特性的复杂决策问题提供简便的便的决策方法决策方法。n是对难于完全定量的复杂系统作出决策的是对难于完全定量的复杂系统作出决策的模型和方法。模型和方法。n层次分析法在经济、科技、文化、军事、环境乃至社会发展等方面的管理决策中都有广泛的应用。n常用来解决诸如综合评价、选择决策方案、估计和预测、投入量的分配等问题。 n一一 、问题的提出、问题的提出 日常生活中有许多决策问题。决策是指日常生活中有许多决策问题。决策是指在

3、面临多种方案时需要依据一定的标准选择在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。某一种方案。例例1 1 某人准备选购一台电冰箱某人准备选购一台电冰箱他对市场上的他对市场上的6 6种不同类型的电冰箱进行了解种不同类型的电冰箱进行了解后，选取一些中间后，选取一些中间进行考察。例如进行考察。例如等。等。n例例3 择业择业 面临毕业，可能有面临毕业，可能有高校高校、科研单位科研单位、企企业业等单位可以去选择，一般依据等单位可以去选择，一般依据工作环境工作环境、工资待遇、发展前途、住房条件工资待遇、发展前途、住房条件等因素择业。等因素择业。n例例4 科研课题的选择科研课题的选择 由于经费等因素，有

4、时不能同时开展几由于经费等因素，有时不能同时开展几个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、个课题，一般依据课题的可行性、应用价值、理论价值、被培养人才等因素进行选题。理论价值、被培养人才等因素进行选题。分解分解建立建立 确定确定计算计算判断判断实际问题实际问题层次结构层次结构多个因素多个因素诸因素的相诸因素的相 对重要性对重要性权向量权向量综合决策综合决策一、层次分析法基本原理1一个典型的层次可以用下图表示出来：几点注意几点注意n1.处于最上面的的层次通常只有一个元素，处于最上面的的层次通常只有一个元素，一般是分析问题的预定目标或理想结果。一般是分析问题的预定目标或理想结果。中间层次一般是准则

5、、子准则。最低一层中间层次一般是准则、子准则。最低一层包括决策的方案。层次之间元素的支配关包括决策的方案。层次之间元素的支配关系不一定是完全的，即可以存在这样的元系不一定是完全的，即可以存在这样的元素，它并不支配下一层次的所有元素。素，它并不支配下一层次的所有元素。n2.2.层次数与问题的复杂程度和所需要分析的详尽层次数与问题的复杂程度和所需要分析的详尽程度有关。每一层次中的元素一般不超过程度有关。每一层次中的元素一般不超过9 9个，因个，因一层中包含数目过多的元素会给两两比较判断带一层中包含数目过多的元素会给两两比较判断带来困难。来困难。n3.3.一个好的层次结构对于解决问题是极为重要的。一

6、个好的层次结构对于解决问题是极为重要的。层次结构建立在决策者对所面临的问题具有全面层次结构建立在决策者对所面临的问题具有全面深入的认识基础上，如果在层次的划分和确定层深入的认识基础上，如果在层次的划分和确定层次之间的支配关系上举棋不定，最好重新分析问次之间的支配关系上举棋不定，最好重新分析问题，弄清问题各部分相互之间的关系，以确保建题，弄清问题各部分相互之间的关系，以确保建立一个合理的层次结构。立一个合理的层次结构。目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途例例1. 1. 选

7、择旅游地选择旅游地如何在如何在3 3个目的地中按照景色、个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择费用、居住条件等因素选择. .工作选择工作选择可供选择的单位可供选择的单位P1 P2 ， Pn 贡贡献献收收入入发发展展声声誉誉工工作作环环境境生生活活环环境境目标层目标层准则层准则层方案层方案层 将决策问题分为将决策问题分为3 3个或多个层次：个或多个层次：最高层：目标层。最高层：目标层。表示解决问题的目的，即层次分析表示解决问题的目的，即层次分析要达到的总目标。通常只有一个总目标。要达到的总目标。通常只有一个总目标。中间层：准则层、指标层、中间层：准则层、指标层、。表示采取某种措施、表示采取

8、某种措施、政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节；政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节；一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。最低层：方案层。最低层：方案层。表示将选用的解决问题的各种措施、表示将选用的解决问题的各种措施、政策、方案等。通常有几个方案可选。政策、方案等。通常有几个方案可选。 每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示。建立层次结构模型的思维过程的归纳建立层次结构模型的思维过程的归纳 层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高

9、层的相对对权重权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择方案的原则。方案的原则。 在建立递阶层次结构以后，上下层次之在建立递阶层次结构以后，上下层次之间元素的隶属关系就被确定了。假定上一层间元素的隶属关系就被确定了。假定上一层次的元素次的元素Ck作为准则，对下一层次的元素作为准则，对下一层次的元素 A1, , An 有支配关系，我们的目的是在准则有支配关系，我们的目的是在准则 Ck 之下按它们相对重要性赋予之下按它们相对重要性赋予 A1, , A

10、n 相相应的权重。应的权重。2比较同一层次中每个因素关于上一层次比较同一层次中每个因素关于上一层次的的同一个因素同一个因素的相对重要性的相对重要性A = (aij)n n心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9 9个，即个，即每层不要超过每层不要超过9 9个因素。个因素。成对比较矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个成对比较矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的相对重要性的比较。判断矩阵的元素因素的相对重要性的比较。判断矩阵的元素aij用用SaatySaaty的的1 19 9标度方法给出。标度方法给出。判断矩阵元素判断矩阵元素aij的标度方法的标度方法标度标

11、度含义含义1 1表示两个因素相比，具有同样重要性表示两个因素相比，具有同样重要性3 3表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要5 5表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要7 7表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要9 9表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要2 2，4 4，6 6，8 8上述两相邻判断的中值上述两相邻判断的中值倒数倒数因素因素i i与与j j比较的判断比较的判断a a

12、ijij，则因素，则因素j j与与i i比较的判断比较的判断a ajiji=1/a=1/aijij 对于对于 n 个元素个元素 A1, , An 来说，通过两两比来说，通过两两比较，得到较，得到成对比较（判断）矩阵成对比较（判断）矩阵 A = (aij)n n： 其中判断矩阵具有如下性质：其中判断矩阵具有如下性质： （1）aij 0； （2）aij = 1/aji； （3）aii = 1。 我们称我们称 A 为为。 根据性质（根据性质（2）和（）和（3），事实上，对于），事实上，对于 n 阶阶判断矩阵仅需对其上（下）三角元素共判断矩阵仅需对其上（下）三角元素共 n(n-1)/2 个给出判断即可

13、。个给出判断即可。11/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311AijjiijnnijaaaaA1, 0,)(要比较各准则要比较各准则C1,C2, , Cn对目标对目标O的重要性的重要性ijjiaCC:A成对比较阵成对比较阵选选择择旅旅游游地地目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)准则层准则层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途C1 C2 C3 C4 C5C1C2C3C4C5稍加分析就发现上述成对比较矩阵有问题 旅游问题的成对比较矩阵共有旅游问题的成对比较矩阵共有6个（一个个（一个5阶，阶，5个个3阶）。阶）。用权值表示影响程度，

14、先从一个简单的例子看如何确用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。定权值。例如例如 一块石头重量记为一块石头重量记为1，打碎分成，打碎分成n小块，各块的重小块，各块的重量分别记为：量分别记为：w1,w2,wn则可得成对比较矩阵则可得成对比较矩阵11222112111nnnnwwwwwwwwAwwww由右面矩阵可以看出，由右面矩阵可以看出，jkkijiwwwwww 3即即nji, 2 , 1,2321132321137,2,4aaaaaaAijkjikaaa ijkjikaaa 但在例但在例2的成对比较矩阵中，的成对比较矩阵中，在正互反矩阵在正互反矩阵A中，若中，若 ,(A 的元素

15、具有的元素具有传递性传递性)则称则称A为为一致阵一致阵。定理：定理：n 阶正互反阵阶正互反阵A的最大特征根的最大特征根 max n, 当且仅当当且仅当 =n时时A为一致阵为一致阵 一般地，我们并不要求判断具有这种传递性和一般地，我们并不要求判断具有这种传递性和一致性，这是由客观事物的复杂性与人的认识的多一致性，这是由客观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定的。但在构造两两判断矩阵时，要求判样性所决定的。但在构造两两判断矩阵时，要求判断大体上的一致是应该的。出现甲比乙极端重要，断大体上的一致是应该的。出现甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙又比甲极端重要的判断，一乙比丙极端重要，而丙又比甲极端重

16、要的判断，一般是违反常识的。一个混乱的经不起推敲的判断矩般是违反常识的。一个混乱的经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策的失误，而且当判断矩阵过于偏阵有可能导致决策的失误，而且当判断矩阵过于偏离一致性时，用上述各种方法计算的排序权重作为离一致性时，用上述各种方法计算的排序权重作为决策依据，其可靠程度也值得怀疑。因而必须对判决策依据，其可靠程度也值得怀疑。因而必须对判断矩阵的一致性进行检验。断矩阵的一致性进行检验。 由于由于(A的特征根的特征根) 连续的依赖于连续的依赖于aij ，则，则比比n 大的越大的越多，多，A 的不一致性越严重。引起的判断误差越大。的不一致性越严重。引起的判断误差越大。因而可

17、以用因而可以用 -n 数值的大小来衡量数值的大小来衡量 A 的不一致程度。的不一致程度。1nnCI定义一致性指标定义一致性指标:CI=0，有完全的一致性，有完全的一致性CI接近于接近于0，有满意的一致性，有满意的一致性CI 越大，不一致越严重越大，不一致越严重1 .0RICICR一致性检验：利用一致性指标和一致性比率一致性检验：利用一致性指标和一致性比率0.10.1及随机一致性指标的数值表，对及随机一致性指标的数值表，对A进行检验的过程。进行检验的过程。一般，当一致性比率一般，当一致性比率 的不一致程度在容许范围之内，的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，有满意的一致性，通通过一致性检验

18、过一致性检验。否则要否则要重新构造重新构造成对比较矩阵成对比较矩阵A A，对，对 aij 加以调整。加以调整。时，认为时，认为A定义一致性比率定义一致性比率 ：RICICR 判断矩阵一致性检验的步骤如下：判断矩阵一致性检验的步骤如下： (1) 计算一致性指标计算一致性指标 C.I.： 1C.I.maxnn其中其中 n 为判断矩阵的阶数；为判断矩阵的阶数； (2) 查找平均随机一致性指标查找平均随机一致性指标 R.I.： 平均随机一致性指标是多次（平均随机一致性指标是多次（500次以上）重复次以上）重复进行随机判断矩阵特征根计算之后取算术平均得到的。进行随机判断矩阵特征根计算之后取算术平均得到的

19、。龚木森、许树柏龚木森、许树柏1986年得出的年得出的115阶判断矩阵重复阶判断矩阵重复计算计算1000次的平均随机一致性指标如下：次的平均随机一致性指标如下：(3) 计算一致性比例计算一致性比例 C.R.： 当当 C.R. 0.1 时，一般认为判断矩阵的一致性是可时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的。否则应对判断矩阵作适当的修正。以接受的。否则应对判断矩阵作适当的修正。 R.I.C.I.C.R. “选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验11/ 2433217551/ 41/711/ 21/31/31/52111/31/5311A准则层对

20、目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根 max=5.0735.07350.0185 1CI一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12 (查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.016 0， max 为为 A 的的模最大模最大的特征的特征根，则有根，则有 (1) max 必为正特征根，而且它所对应的特征向量必为正特征根，而且它所对应的特征向量为正向量；为正向量； (2) A 的任何其它特征根的任何其它特征根 恒有恒有 | | max； (3) max 为为 A 的单特征根，因而它所对应的特征向的单特征根，因而它所对应的特征向量除差

21、一个常数因子外是唯一的。量除差一个常数因子外是唯一的。 特征根方法中的最大特征根特征根方法中的最大特征根 max 和特征向量和特征向量w，可用，可用 Matlab 软件直接计算。软件直接计算。 例如：计算矩阵例如：计算矩阵的最大特征值及相应的特征向量。的最大特征值及相应的特征向量。11141 1/ 211241 1/ 21 1/ 2153 1/ 21/ 41/ 41/51 1/31/311 1/3311/3222331相应的相应的 Matlab 程序如下：程序如下：A = 1,1,1,4,1,1/2; 1,1,2,4,1,1/2; 1,1/2,1,5,3,1/2; 1/4,1/4,1/5,1,

22、1/3,1/3;1,1,1/3,3,1,1/3; 2,2,2,3,3,1;x, y = eig(A);eigenvalue = diag(y);lamda = eigenvalue(1)y_lamda = x(:, 1)y 是特征值，且从大到小排列；是特征值，且从大到小排列；x 是特征向量矩阵，每一列为是特征向量矩阵，每一列为 相应特征值的一个特征向量。相应特征值的一个特征向量。输出结果：lamda = 6.3516y_lamda = -0.3520 -0.4184 -0.4223 -0.1099 -0.2730 -0.6604 11/2433217551/41/711/2 1/31/31/5

23、2111/31/5311A准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵权向量权向量(特征向量特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T4Z1A2AmA1B2BnB,21mAAAmA个因素层对总目标对总目标Z Z的排序为的排序为maaa,21jAAnB中因素为个因素对上层层的层次单排序为的层次单排序为), 2 , 1( ,21mjbbbnjjj即即B层第层第 i 个因素对总目标的权值个因素对总目标的权值为：为： （影响加和）（影响加和）nmmnnnmmmmbababaBbababaBbababaB22112222211211221111:1mjijja

24、b B层的层次总排序为：层的层次总排序为：mAAA,21maaa,21nBBB2112111nbbb22212nbbbnmmmbbb21AB111bbamjjj212bbamjjjnmjnjjbba1Tnwww),()2()2(1)2()2()3()3(wWw组合权向量的计算组合权向量的计算第第1层层O第第2层层C1,Cn第第3层层P1, PmnkwwwTkmkk, 2 , 1,),()3()3(1)3(第第2层对第层对第1层的权向量层的权向量第第3层对第层对第2层第层第k个元素的权向量个元素的权向量,)3()3(1)3(nwwW构造矩阵构造矩阵则第则第3层对第层对第1层的组合权向量层的组合权

25、向量)2()3() 1()()(wWWWwsss第第s层对第层对第1层的组合权向量层的组合权向量层次总排序的一致性检验层次总排序的一致性检验设设B层层B1,B2,Bn对上层对上层(A层层)中因素中因素Aj(j=1,2,m) 的层次单排序一致性指标为的层次单排序一致性指标为CIj，随机一致性指标为，随机一致性指标为RIj ，则层次总排序的一致性比率为：，则层次总排序的一致性比率为：mmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR22112211当当CR0.1时，认为层次总排序通过一致性检验。层次时，认为层次总排序通过一致性检验。层次总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一总排序具有满意的一

26、致性，否则需要重新调整那些一致性比率高的判断矩阵的元素取值。致性比率高的判断矩阵的元素取值。 到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。决策。记第记第2层（准则）对第层（准则）对第1层（目标）的权向量为层（目标）的权向量为(2)(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)Tw同样求第同样求第3层层(方案方案)对第对第2层每一元素层每一元素(准则准则)的权向量的权向量12/15/1212/15211B方案层对方案层对C1(景色景色)的的成对比较阵成对比较阵1383/1138/13/112B方案层对方案层对C2(费用费用)的

27、的成对比较阵成对比较阵CnBn最大特征根最大特征根 1 =3.005 2 =3.002 5 =3.0 权向量权向量 w1(3) w2(3) w5(3) =(0.595，0.277，0.129) =(0.082，0.236，0.682) =(0.166，0.166，0.668)选择旅游地选择旅游地第第3层对第层对第2层的计算结果层的计算结果 w w( (2 2) ) (3)kwk kCI0.2630.2630.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.0820.4750.47530.1420.4290.4290.0550.0553.0

28、090.1750.1930.6330.0900.09030.6680.1660.1660.1100.110组合权向量组合权向量RI= =0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验均可通过一致性检验方案方案P1对目标的组合权重为对目标的组合权重为0.595 0.263+ =0.300方案层对目标的组合权向量为方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T层次分析法的基本步骤归纳如下层次分析法的基本步骤归纳如下1建立层次结构模型建立层次结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准准则或指标则或指标方案或对象

29、），上层受下层影响，而层内各因方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。素基本上相对独立。2构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵用成对比较法和用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。成对比较阵。3计算单排序权向量并做一致性检验计算单排序权向量并做一致性检验对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；检验。若检验通过，特征向

30、量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。4计算总排序权向量并做组合一致性检验计算总排序权向量并做组合一致性检验1 . 0CR进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率率CR 较大的成对比较矩阵。较大的成对比较矩阵。mmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR22112211利用总排序一致性比率利用总排序一致性比率1.系统性系统性 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比

31、较层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策判断、综合的思维方式进行决策 ，成为继机理分析、统计分，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。析之后发展起来的系统分析的重要工具。 2 .实用性实用性 层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。

32、者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。3.简洁性简洁性 具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。简单明确，容易被决策者了解和掌握。以上三点体现了层次分析法的优点，该法的局限性主要以上三点体现了层次分析法的优点，该法的局限性主要表现在以下几个方面：表现在以下几个方面：1. 囿旧：囿旧：只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。出更好的新方案

33、。2.粗略：粗略：该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。的，不适用于精度较高的问题。3.主观：主观：从建立层次结构模型到给出成对比较矩从建立层次结构模型到给出成对比较矩 阵，人阵，人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。有的决策者接受。 当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。途径。工作选择：经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某工作选择：经双方恳谈，已有三个单位表示愿意录用某毕业生

34、。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，毕业生。该生根据已有信息建立了一个层次结构模型，如下图所示：如下图所示： 经过仔细斟酌，该生对准则层和方案层分别进行了经过仔细斟酌，该生对准则层和方案层分别进行了两两比较，所做的两两比较判断矩阵为：两两比较，所做的两两比较判断矩阵为： 对矩阵对矩阵 A 和和 Bj（j = 1, , 6）分别进行求最大特征）分别进行求最大特征值、一致性判断、求权值等运算，再经过组合权重的值、一致性判断、求权值等运算，再经过组合权重的计算和组合一致性的判断，最终结果是：该生最满意计算和组合一致性的判断，最终结果是：该生最满意的工作为工作的工作为工作 1。中间的具体计算结果

35、如表。中间的具体计算结果如表 1.3.1 和表和表 1.3.2 所示。所示。 各层及组合权值各层及组合权值各层及组合一致性比例各层及组合一致性比例注意：事实上，在准则层的最终组合一致性比例注意：事实上，在准则层的最终组合一致性比例为为0.1111，大于，大于0.1。但由于各个单层的一致性都。但由于各个单层的一致性都是可以接受的，组合一致性比例比是可以接受的，组合一致性比例比0.1大的很少，大的很少，考虑到调整两两比较判断矩阵非常麻烦，故在此考虑到调整两两比较判断矩阵非常麻烦，故在此问题中，我们认可这样的一致性比例。问题中，我们认可这样的一致性比例。 某单位拟从某单位拟从3名干部中选拔一名领导，

36、选拔的标准名干部中选拔一名领导，选拔的标准有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力和健康状况。下面用和健康状况。下面用AHP方法对方法对3人综合评估、量化人综合评估、量化排序。排序。目标层目标层选一领导干部选一领导干部 准则层准则层 1P2P3P 方案层方案层 健康状况健康状况业务知识业务知识口才口才写作能力写作能力工作作风工作作风政策水平政策水平建立层次结构模型建立层次结构模型111411/ 2112411/ 211/ 21531/ 21/ 41/ 41/ 511/ 31/ 3111/ 3311222311A 写作能力写作能力健康情况健康情

37、况业务知识业务知识写作能力写作能力口才口才政策水平政策水平工作作风工作作风健康情况健康情况业务知识业务知识口才口才政策水平政策水平工作作风工作作风构造成对比较矩阵及层次单排序构造成对比较矩阵及层次单排序A的最大特征值的最大特征值,35. 6max相应的特征向量为：相应的特征向量为：TW)30. 0 ,12. 0 ,05. 0 ,19. 0 ,19. 0 ,16. 0()2(07.016635.6CI一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.24 (查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.07/1.24=0.0565P1P2层次分析法在彩票抽奖层次分析法在彩票抽奖方案选择中的应

38、用方案选择中的应用 2002年全国大学生数学建模竞赛年全国大学生数学建模竞赛B题：题： 已知已知29种彩票抽奖方案，要求综合分析各种奖项出现种彩票抽奖方案，要求综合分析各种奖项出现的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因的可能性、奖项和奖金额的设置以及对彩民的吸引力等因素评价各方案的合理性，设计一种素评价各方案的合理性，设计一种“更好更好”的方案及相应的方案及相应的的算法。算法。 一、一、 问题的提出问题的提出 已给的已给的29种方案分为两种类型种方案分为两种类型 1、“传统型传统型”采用采用“10选选6+1”方案：投注者从方案：投注者从09十个十个号号码中任选码中任选6个基本号码（

39、可重复），从个基本号码（可重复），从04中选一个特别中选一个特别号码，构成一注号码，构成一注 。根据单注号码与中奖号码相符的个数。根据单注号码与中奖号码相符的个数多少及多少及顺序顺序确定中奖等级；确定中奖等级； 表1： “传统型传统型” 中奖办法中奖办法中中 奖奖等等 级级10 选选 6+1（6+1/10） 基基 本本 号号 码码 特别号码特别号码选选7中中一等奖一等奖abcdefabcdef g g 6+1二等奖二等奖abcdefabcdef 6三等奖三等奖abcdeabcdeX X X Xbcdefbcdef 5四等奖四等奖abcdabcdXXXX X XbcdebcdeX X XX XX

40、cdefcdef4五等奖五等奖abcabcXXXXXX X XbcdbcdXXXX XX XXcdecdeX X XXX XXXdefdef 3六等奖六等奖ababXXXXXXXX X XbcbcXXXXXX XX XXcdcdXXXX XXX XXXdedeX X XXXX XXXXefef 2 2、“乐透型乐透型”有多种不同的形式有多种不同的形式 如如“33选选7”的方案：投注者从的方案：投注者从0133个号码个号码中中任选任选7个组成一注（不可重复），根据单注号码个组成一注（不可重复），根据单注号码与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等与中奖号码相符的个数多少确定相应的中奖等级，级，不

41、考虑号码顺序不考虑号码顺序。 表2： “透乐型透乐型”（7/33）中奖办法）中奖办法中中 奖奖等等 级级33 选选 7（7/33）基基 本本 号号 码码 特别号码特别号码说说 明明一等奖一等奖 选选7中（中（7）二等奖二等奖 选选7中（中（6+1）三等奖三等奖选选7中（中（6）四等奖四等奖 选选7中（中（5+1）五等奖五等奖选选7中（中（5）六等奖六等奖 选选7中（中（4+1）七等奖七等奖选选7中（中（4） 二、各方案各奖项获奖概率的计算各方案各奖项获奖概率的计算 29种方案的获奖概率分为种方案的获奖概率分为4类类 ： K1：10选选6+1型，带型，带限定条件的可重复排列限定条件的可重复排列；

42、 K2：n选选m型，有特别号码，带型，有特别号码，带限定条件的组合限定条件的组合； K3：n选选m+1型，有特别号码，带型，有特别号码，带限定条件的组合限定条件的组合； K4：n选选m型，无特别号码，型，无特别号码，组合组合； 三、各高项奖奖金额的计算三、各高项奖奖金额的计算当期销售总额当期销售总额总奖金比例总奖金比例 低项奖总额低项奖总额 单项奖比例单项奖比例 一等奖奖金额一等奖奖金额 （万元）其中：其中：maxN为单注封顶金额；为单注封顶金额；minN为单注保底金额；为单注保底金额；Qij为第为第 i 种方案得第种方案得第 j 等奖的单项奖比例；等奖的单项奖比例； M为当期销售总为当期销售

43、总额；额；n为低项奖总额；为低项奖总额； Q为总奖金比例。为总奖金比例。NnQMNQimaxmin1 四、层次分析模型四、层次分析模型彩票中奖方案选择彩票中奖方案选择 高项奖高项奖中奖率中奖率一等奖一等奖奖金额奖金额中奖率中奖率Pi方案方案1方案方案2 .方案方案29 2层对层对1层成对比较矩阵：层成对比较矩阵： 风险喜好者偏好风险喜好者偏好 风险回避者偏好风险回避者偏好 3层对层对2层成对比较矩阵由方案相应的数值两两作层成对比较矩阵由方案相应的数值两两作比值，得比值，得3个个2929的矩阵的矩阵B1，B2及及B3。 1615161353111A1353112512112A 考虑风险喜好者偏好，考虑风险喜好者偏好，“29选选7”为最佳方案为最佳方案 ，奖金，奖金分配见下表：分配见下表： 考虑风险回避者偏好，考虑风险回避者偏好，“60选选5”为最佳方案为最佳方案 ，奖金，奖金分配见下表：分配见下表： 一等奖一等奖 比例比例二等奖二等奖比例比例三等奖三等奖比例比例四等奖四等奖金额金额五等奖五等奖金额金额六等奖六等奖金额金额七等奖七等奖金额金额80%10%10%1001000一等奖一等奖 比例比例二等奖二等奖比例比例三等奖三等奖比例比例四等奖四等奖金额金额五等奖五等奖金额金额六等奖六等奖金额金额七等奖七等奖金额金额70%20%10%25040105