数值分析内容提要.课件.ppt

1、一、一、基本内容及基本要求基本内容及基本要求 第一章、绪论第一章、绪论1.了解数值分析的研究对象与特点。了解数值分析的研究对象与特点。2.了解误差来源与分类了解误差来源与分类,会求有效数字会求有效数字; 会简单误差估计。会简单误差估计。3.了解误差的定性分析及避免误差危害。了解误差的定性分析及避免误差危害。 第二章、插值法第二章、插值法1.1. 了解插值的概念。了解插值的概念。2.2. 掌握拉格朗日掌握拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)插值法及其余项公式。插值法及其余项公式。3.3. 了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。了解均差的概念及基本性质，掌握牛顿插值法。4.4. 了

2、解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。了解差分的概念，会牛顿前插公式、后插公式。5.5. 会埃尔米特会埃尔米特(Hermite(Hermite) )插值及其余项公式。插值及其余项公式。6.6. 知道高次插值的病态性质知道高次插值的病态性质, ,会分段线性插值和分会分段线性插值和分段埃尔米特插值及其误差和收敛性。段埃尔米特插值及其误差和收敛性。7.7. 会三次样条插值会三次样条插值, ,知道其误差和收敛性。知道其误差和收敛性。 第三章、函数逼近与曲线拟合第三章、函数逼近与曲线拟合1.了解函数逼近的基本概念了解函数逼近的基本概念,了解范数和内积空间。了解范数和内积空间。2.了解正交多项式的概念了

3、解正交多项式的概念,了解切比雪夫多项式和勒让了解切比雪夫多项式和勒让德多项式以及它们的性质德多项式以及它们的性质,知道其他常用正交多项式。知道其他常用正交多项式。3.理解最佳一致逼近的概念理解最佳一致逼近的概念, 理解最佳平方逼近的概理解最佳平方逼近的概念念,掌握最佳平方逼近多项式的求法掌握最佳平方逼近多项式的求法,了解用正交多了解用正交多项式做最佳平方逼近的方法。项式做最佳平方逼近的方法。4.掌握曲线拟合的最小二乘法并会计算掌握曲线拟合的最小二乘法并会计算,了解用正交多了解用正交多项式做最小二乘拟合。项式做最小二乘拟合。5.了解最小二乘三角逼近与快速傅里叶变换了解最小二乘三角逼近与快速傅里叶

4、变换*。CH4 数值积分与数值微分数值积分与数值微分 基本内容及基本要求基本内容及基本要求 1. 了解数值求积的基本思想、代数精度的概念、插值型求积公式及其代数精度、求积公式的收敛性和稳定性。2. 掌握牛顿-柯特斯公式及其性质和余项。3. 掌握复化梯形公式和复化辛普森公式及其余项。4. 了解龙贝格(Romberg)求积算法，知道外推法。5. 会高斯求积公式,了解高斯-勒让德求积公式和高斯-切比雪夫求积公式。6. 了解几种常用的数值微分方法。 CH5、解线性方程组的直接方法、解线性方程组的直接方法基本内容及基本要求基本内容及基本要求1.了解求解方程组的两类方法,了解矩阵基础知识。2.掌握高斯消去

5、法,会矩阵的三角分解。3.掌握高斯列主元素消去法,了解高斯-若当消去法。4.掌握直接三角分解法,了解平方根法,会追赶法,了解有关结论。5.了解向量和矩阵的几种范数。6.了解矩阵和方程组的性态,会求其条件数。7.会初等反射阵和平面旋转阵,了解QR分解,了解用正交约化法解超定方程组。一、解线性方程组的迭代法一、解线性方程组的迭代法 CH6 CH6 线性方程组迭代解法线性方程组迭代解法1. 了解迭代法及其收敛性的概念。2. 掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭代法。3. 了解一阶定常迭代法的基本定理，掌握特殊方程组迭代法的收敛条件。4.

6、掌握共轭梯度法。5. 知道分块迭代法。CH7、非线性方程求根、非线性方程求根 基本内容及基本要求基本内容及基本要求1. 了解求根问题和二分法。2. 了解不动点迭代法,及不动点存在性和迭代收 敛性； 了解收敛阶的概念和有关结论。3. 了解加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。4. 掌握牛顿法及其收敛性、了解简化牛顿法和牛顿法 下山法,了解重根情形。5. 掌握弦截法，了解抛物线法。6. 了解非线性方程组的迭代解法。 CH8、矩阵特征值问题计算、矩阵特征值问题计算 1. 了解特征值和特征向量的概念和性质, 了解圆盘定理、Schur定理和Rayleigh商。2. 掌握乘幂法，了解其加速收敛技术,会反

7、幂法。3. 了解豪斯霍尔德方法。4. 了解QR方法。基本内容及基本要求基本内容及基本要求 第九章第九章 常微分方程初值问题数值解法常微分方程初值问题数值解法关键词：关键词：欧拉法、后退欧拉法、梯形法、显式法、欧拉法、后退欧拉法、梯形法、显式法、隐式法、（隐式法、（2、3、4阶）龙格库塔法、阶）龙格库塔法、单步法、单步法、线性多步法、线性多步法、ADAMS法、预测法、预测-校正法、校正法、相容性、相容性、收敛性、稳定性（判别法）、收敛阶、局部截断收敛性、稳定性（判别法）、收敛阶、局部截断误差、全局截断误差误差、全局截断误差、刚性方程、刚性方程二、数值分析内容提要二、数值分析内容提要第1章绪论x*

8、xn)1010(10)11(121*nnmaaax) 1(1*1021nra) 1(1*10) 1( 21nra*xn一、定理一、定理 设设的近似值的近似值有有位有效数字，位有效数字，则其相对误差限则其相对误差限反之，若其相对误差限满足：反之，若其相对误差限满足：，则，则有有位有效数字。位有效数字。二、误差限的运算：二、误差限的运算： 2*2*1*2*2*1*2*1*1*2*2*1*2*1*2*1*2*1|)(|)(|)/()(|)(|)()()()(xxxxxxxxxxxxxxxxx三、误差的传播三、误差的传播)(| )(|)()(),(),(),()()()(*1*11*1*xxfxfxx

9、xxxfxxfxxfxxxfxfxfiiniinnn四、稳定性四、稳定性 nn1第2章 插值法常用的代数插值公式有：拉格朗日型 njjnjiiijijnjjnyxxxxyxlxP000)()(和牛顿型公式 )()(,)(,)(,)()(11010102100100nnnxxxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxP)()()!1(1)(,)(1)1(10 xfnxxxxfxRnnnnn),(),(01baxxniin插值余项为其中 njjjnjjjnyxyxxH0012)()()(njxlxxxxlxlxxxlxxxxxjjjjjjjjnjiiijjj,2, 1 ,0),()()()(

10、)()(21)(1)(21)(2220)(xlj2埃尔米特插值公式为 其中 的表达式同拉格朗日型公式中的基函数。 插值余项为 )()()!22(1)(12)22(12xfnxRnnn3三次样条插值多项式，详见教材。第3章 函数逼近与曲线拟合baCnixbaCxfi,0),(,)(为)()(.,*10 xfxspann与若ffxaxniiimin,)()(0*满足中在范数 和21、函数逼近的概念。设中一组线性无关的函数，在某种范数意义下距离最近，即则称为某范数在意义下的最佳逼近函数。特别当范数为时，分别为最佳平方逼近和最佳一致逼近。第4章 数值积分与数值微分第5章 解线性方程直接法第6章 解线性

11、方程迭代法雅可比迭代法雅可比迭代法计算公式：对k=0,1,), 1( ,/ )( ,),(1)()1()0()0(1)0(niaxijabxxxxiinijjkjikiTnfxBbDxULDxbULxD)(1)(1) 1()()() 1()( kJkkkkk xx得到矩阵表示借助矩阵分裂高斯高斯塞德尔迭代法塞德尔迭代法计算公式：对k=0,1,), 1( ,/ )( ,),(1)(11)1()1()0()0(1)0(niaxijaxijabxxxxiinijkjijkjikiTn kkkbUxLxDx)()1()1( ,A迭代法等价于的分裂记号采用矩阵示形式为塞德尔迭代法的矩阵表于是，高斯 fx

12、BbLDUxLDx)(1)(1) 1()()(kGkk SORSOR迭代法的计算公式:对k=0,1,. 0 ), 2 , 1( ,/ )( ,),()(11)1()()1()0()0(1)0(松弛因子niaxijaxijabxxxxxiinijkjijkjikikiTn kkkkk）化为的分裂记号采用矩阵)()()1()()1( ,DxUxLxbDxDxA.)()1()( 1)(1) 1( SORkkbLDxUDLDx为迭代法的矩阵表示形式. 1)()5 . 3( )0()() 1(BxfBxx收敛迭代法则对任意初始向量一阶定常迭代法kk定理4定理4定理定理7 7 若矩阵A A按行(或列)严格

13、对角占优,或按行(或列)弱对角占优不可约；则Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代都收敛。. 20 ,SOR 则松弛因子迭代收敛若定理8定理8定理定理9 9 对于线性方程组AxAx=b b，若A A为对称正定矩阵，则当02时，SOR迭代收敛. 定理定理10 10 对于线性代数方程组Ax=b， 若A按行(或列)严格对角占优，或按行(或列)弱对角占优不可约；则当0w1时，SOR迭代收敛。第第7章章 非线性方程求根非线性方程求根.*,)(2.4 |;| )()(| , , 10 (2) ,)( , (1) , ,)( xbaxgyxLygxgbayxLbaxgbaxbaCxg上存在唯一的不动

14、点在那么）（都有使得常数都有并且如果迭代函数定理1定理1*,)(2.2) ,2 0 xxgbax的不动点均收敛于迭代序列对任意初值的条件下在定理定理2定理2并有误差估计(2.5) . |1|*| 01xxLLxxkk. |11|*| 1kkkxxLxx还有. |11|*| 4) |,|1|*| 3) *,), 2 , 1 , 0( )( , 2) *,0)( 1) ; 1| )(|, , 10 (2) ,)( , (1) , ,)( 101101kkkkkkkxxLxxxxLLxxxkxgxbaxxbaxfLxgbaxLbaxgbaxbaCxg收敛于迭代上有唯一的根在方程那么都有使得都有并且如

15、果迭代函数推论推论.)2 . 2( , 1|*)(| ,*)(,)(* 是局部收敛的则迭代法且内有连续导数的某邻域在的不动点为迭代函数若 xgxxgxgx定理3定理3 .)()( :1kkkkxfxfxx牛顿迭代法牛顿迭代法).()()()( :111kkkkkkkxxxfxfxfxx两点弦截法两点弦截法. ), 1( |,| ,)( (1) )( nijniaaanGerschgoriijiinnij某个圆盘之中一个特征值必属于下列的每则设圆盘定理AA定理8定理8.S ,S, 个特征值的中恰有则个圆盘分离与其余且个圆盘构成一个连通域个圆盘中有如果上述的mmnSmnA(2)(2)第第8章章 矩

16、阵特征值问题计算矩阵特征值问题计算(2.9) )1,2,( ./),max( , , )0( , , 131001021kanRkkkkkkknnnvuvAuvvuvA计算，对任何非零初始向量其特征值个线性无关的特征向量有设定理定理.lim ,)max(lim 111kkkkxxu则 ).1,2,( ,)max( , )0( , 0 , 151100121kanRkkkkknnnnnvvuuAvvuA计算，对任何非零初始向量其特征值满足向量个线性无关的特征为非奇异矩阵且有设定理定理.1)max(lim ,)max(lim nkknnkkvxxu则).( , 0 , ), 2 , 1( , 16

17、ijpppninRijjiinn且的近似是而和值和特征向量记为的特征个线性无关的特征向量有设xAA定定理理(2.12) ).1,2,( ,)max( ,)( ),0(110kpakkkkkjvvuuIAvu计算对任何非零初始向量.)max(1,1)max( ,)max( jkjkjjkppvvxxu则反幂法计算公式:., 3 , 2 ,/ ),max( , (2) ;/),max( , ) 1 , 1 , 1 (1 . 2.,)( : . 111111111kpkkkkkkkkkTvuvyUvPuLyvuvvUvULPLUIAPLU得）解（反幂法迭代，保存分解)(),(aybxayxfdxdy

18、本章讨论形如的初值问题的数值解法，其中f（x,y）是已知连续函数，为给定的初值，假设该初值问题的解存在唯一。 第9章 常微分方程数值解法01,.2 , 1 , 0),(ynyxhfyynnnn0111,.2 , 1 , 0),(ynyxhfyynnnn单步法单步法1.欧拉（Euler）法及其改进形式1.向前欧拉公式（欧拉折线法或欧拉显格式） 其中h为步长，该方法的局部截断误差阶为O（h2），是一阶方法。2.向后欧拉公式（后退欧拉公式） ,.2 , 1 , 0),(),(2111nyxfyxfhyynnnnnn,.2 , 1 , 0.;2 , 1 , 0),(),(2),()(11)1(1)0(

19、1nkyxfyxfhyyyxhfyyknnnnnknnnnn,1)1(1nknyy和3. 梯形公式（欧拉公式的改进） 这是二阶隐格式方法。实用中常按下述爹带进行求解： 该方法是二阶方法；如果关于k仅迭代一步，并换则称该方法为欧拉预估校正方法。miKbyhaxhfKKCyyijjijniiimiiinn,.,2 , 1),(1111miiC1, 12.显式龙格-库塔方法（Runge-Kutta）方法,一般形式为： 其中Ci为待定权因子，满足m为所使用的f值的个数，a1=0，ai（i1），bij均是待定参数，随着m取不同的正整数值，便可以得到各阶显式龙格-库塔格式，特别当m=4时，可以得到四阶、经典的龙格-库塔格式： ）342312143211,()21,2()21,2(),()22(61KyhxhfKKyhxhfKKyhxhfKyxhfKKKKKyynnnnnnnnnn1.单步法的收敛性与稳定性2.单步法的收敛性与稳定性的概念非常重要，有关定义 和结论可见参考教材。