全国通用版2019版高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第16讲导数与函数的综合问题优选学案.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 16 讲 导数与函数的综合问题 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.利用导数研究函数的单调性 、 极 (最 )值 ， 并会解决与之有关的方程 (不等式 )问题 2 会利用导数解决实际问题 . 2017 全国卷 ， 21 2017 全国卷 ， 21 2016 四川卷， 21 考查导数在研究函数中的应用 ， 并应用导数的方法探求一些与不等式 、 函数 、 数列有关的综合问题 ， 题目难度较大 . 分值： 12 14 分 1 生活中的优化问题 通常求利润最大 、 用料最省 、 效率最高等问题称为优化问题 ， 一般地 ， 对于实际问题 ，若函数在给定的 定义域内只有

2、一个极值点 ， 那么该点也是最值点 2 利用导数解决生活中的优化问题的基本思路 3 导数在研究方程 (不等式 )中的应用 研究函数的单调性和极 (最 )值等离不开方程与不等式反过来方程的根的个数 、 不等式的证明 、 不等式恒成立求参数等 ， 又可转化为函数的单调性 、 极值与最值的问题 ， 利用导数进行研究 4 导数在综合应用中转化与化归思想的常见类型 (1)把不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题 (2)把证明不等式问题转化为函数的单调性问题 (3)把方程解的问题转化为函数的零点问题 1 思维辨析 (在括 号内打 “” 或 “ ”) (1)若实际问题中函数定义域是开区间 ， 则不存在最优解

3、 ( ) (2)函数 f(x) x3 ax2 bx c 的图象与 x 轴最多有 3 个交点 ， 最少有一个交点 ( ) (3)函数 F(x) f(x) g(x)的最小值大于 0， 则 f(x) g(x) ( ) (4)“ 存在 x (a， b)， 使 f(x) a” 的含义是 “ 任意 x (a， b)， 使 f(x) a” ( ) 2 已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元 )与年产量 x(单位：万件 )的函数关系式为 y=【 ;精品教育资源文库 】 = 13x3 81x 234， 则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( C ) A 13 万件 B 11 万件 C 9 万件 D 7 万件

4、 解析 y x2 81， 令 y 0， 得 x 9 或 x 9(舍去 )， 当 x (0,9)时 ， y 0，当 x (9， ) 时 ， y 0， 则当 x 9 时 ， y 有最大值 ， 即使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 9 万件 3 已知函数 f(x)， g(x)均为 a， b上的可导函数 ， 在 a， b上连续 ， 且 f( x)0， 且 r0， 可得 00， 故 V(r)在 (0,5)上为增函数； 当 r (5,5 3)时 ， V( r)0. 当 x0 时 ， g( x) 3x2 6x 1 k0， g(x)单调递增 ， g( 1) k 10 时 ， 令 h(x) x3 3x2 4，

5、 则 g(x) h(x) (1 k)xh(x) h( x) 3x2 6x 3x(x 2)， h(x)在 (0,2)上单调递减 ， 在 (2， ) 上单调递增 ， 所以 g(x)h(x) h(2) 0. 所以 g(x) 0 在 (0， ) 上没有实根 综上 ， g(x) 0 在 R 上有唯一实根 ， 即曲线 y f(x)与直线 y kx 2 只有一个交点 三 利用导数证明不等式 利用导数证明不等式的解题策略 (1)证明 f(x)g(x)， x (a， b)， 可以构造函数 F(x) f(x) g(x)， 如果 F( x)0，那么 F(x)在 (a， b)上是增函数 ， 同时若 F(a)0 ， 由

6、增函数的定义可知 ， x (a， b)时 ， 有F(x)0， 即证明了 f(x)g(x) (3)在证明过程中 ， 一个重要技巧就是找到函数 F(x) f(x) g(x)的零点 ， 这往往就是解 决问题的一个突破口 【例 3】 已知函数 f(x) xcos x sin x， x ? ?0， 2 ， 求证： f(x)0. 证明 f(x) xcos x sin x， f( x) cos x xsin x cos x xsin x. 在区间 ? ?0， 2 上 f( x) xsin x0)， 则 h( x) 2x 1 3x2 x2 2x 3x2 ?x 3?x 1?x2 . 当 x (0,1)时 ， h

7、( x)0， h(x)在 (1， ) 内单调递增 h(x)min h(1) 4. a h(x)min 4. 实数 a 的取值范围是 ( ， 4 (2)问题等价于 f(x)的值域是 g(x)的值域的子集 ， 显然 ， g(x)单调递减 ， 在区间 2,4上 ， g(x)max g(2) 12， g(x)min g(4) 234. 对于 f(x)， f( x) 3x2 4x 1， 令 f( x) 0， 解得 x 13或 x 1. 当 x 变化时 ， f( x)， f(x)的变化情况列表如下 . x 1 ? 1， 13 13 ?13， 1 1 (1,2) 2 f( x) 0 0 =【 ;精品教育资源

8、文库 】 = f(x) a 4 单调递增 427 a 单调递减 a 单调递增 a 2 f(x)max a 2， f(x)min a 4， ? a 2 12，a 4 234 ， a ? ? 74， 32 . 1 做一个无盖的圆柱形水桶 ， 若要使其体积是 27 ， 且用料最省 ， 则圆柱的底面半径为 ( A ) A 3 B 4 C 6 D 5 解析 设圆柱的底面半径为 R， 母线长为 l， 则 V R2l 27 ， l 27R2， 要使用料最省 ， 只需使圆柱的侧面积与下底面面积之和 S 最小 由题意 ， S R2 2 Rl R2 2 27R. S 2 R 54R2 ， 令 S 0， 得 R 3

9、， 则当 R 3 时 ， S 最小故选 A 2 已知函数 f(x) ax3 3x2 1， 若 f(x)存在唯一的零点 x0， 且 x0 0， 则 a 的取值范围是 ( C ) A (2， ) B (1， ) C ( ， 2) D ( ， 1) 解析 a 0 时 ， 不符合题意 a0 时 ， f( x) 3ax2 6x， 令 f( x) 0， 得 x 0 或x 2a.若 a 0， 则由图象知 f(x)有负数零点 ， 不符合题意 所以 a 0， 由图象结合 f(0) 1 0 知 ， 此时必有 f? ?2a 0， 即 a 8a3 3 4a2 1 0， 化简得 a2 4， 则 a 2. 3 已知函数

10、y x3 3x c 的图象与 x 轴恰有两个公共点 ， 则 c _ 2 或 2_. 解析 设 f(x) x3 3x c， 对 f(x)求导可得 ， f( x) 3x2 3， 令 f( x) 0， 可得 x=【 ;精品教育资源文库 】 = 1 ， 易知 f(x)在 ( ， 1)， (1， ) 上单调递增 ， 在 ( 1,1)上单调递减 ， 若 f(1) 1 3 c 0， 可得 c 2；若 f( 1) 1 3 c 0， 可得 c 2. 4 已知函数 f(x) ax3 3x 1 对 x (0,1总有 f(x)0 成立 ， 则实数 a 的取值范围是_4， ) _. 解析 当 x (0,1时 ， 不等式

11、 ax3 3x 10 可化为 a 3x 1x3 ， 设 g(x) 3x 1x3 ， x(0,1， g( x) 3x3 ?3x 1?3 x2x6 6? ?x 12x4 . 由 g( x) 0 得 x 12， 当 x ? ?0， 12 时 ， g( x)0； 当 x ? ?12， 1 时 ， g( x)0)， 当 a0 时 ， f( x) 0， f( x)没有零点 当 a 0 时 ， 设 u(x) 2e2x， v(x) ax， 因为 u(x) 2e2x在 (0， ) 上单调递增 ， v(x) ax在 (0， ) 上单调递减 ， 在同一坐标系中作出 u(x)， v(x)的简图如下 =【 ;精品教育资

12、源文库 】 = 可知 u(x)与 v(x)的图象在 (0， ) 上仅有一个交点 故当 a 0 时 ， f( x)存在唯一零点 综上得 f( x)的零点的个数为 1. (2)证明：由 (1)， 可设 f( x)在 (0， ) 上的唯一零点为 x0， 当 x (0， x0)时 ， f( x) 0； 当 x (x0， ) 时 ， f( x) 0. 故 f(x)在 (0， x0)上单调递减 ， 在 (x0， ) 上单调递增 ， 所以当 x x0时 ， f(x)取得最小值 ， 最小值为 f(x0) 由于 2e2x0 ax0 0， 所以 e2x0 a2x0， aln x0 2ax0 aln 2a， 所以

13、f(x0) a2x0 2ax0 aln2a2 a aln2a. 故当 a0 时 ， f(x)2 a aln2a. 【跟踪训练 1】 已知 f(x) xln x， 证 明：当 x1 时 ， 2x e f(x) 证明 令 g(x) f(x) 2x e， 则 g( x) f( x) 2 ln x 1. 令 g( x) 0， 得 x e. 当 x (1， e)时 ， g( x)0. g(x)在 (1， e)内单调递减 ， 在 (e， ) 内单调递增 g(x)极小值 g(e) f(e) 2e e 0. 又 g(1) f(1) 2 e e 20， g(x)在 1， ) 内的最小值为 0， g(x) g(x

14、)min 0， f(x) 2x e0 ， 即 2x e f(x) 课时达标 第 16 讲 解密考纲 本考点主要以基本初等函数为载体 ， 综合应用函数 、 导数 、 方程 、 不等式等知识 ， 常考查恒成立问题 、 存在性问题或者与实际问题相结合讨论最优解等问题 ， 综合性较强 ， 常作为压轴题出现三种题型均有出现 ， 以解答题为主 ， 难度较大 1 已知函数 f(x) x3 x， ? m 2,2， f(mx 2) f(x)0 恒成立 ， f(x)在 R 上为增函数 又 f( x) f(x)， 故 f(x)为奇函数 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由 f(mx 2) f(x)0)， 可知

15、g(x)在 (0,1)上是减函数 ， 在 (1， ) 上是增函数 ， g(x)min g(1) 13 32 3 116 0， 当 x0 时 ， g(x) g(1) 0， 于是 f(x) x335x22 4x116. 3 (2016 全国卷 改编 )设函数 f(x) ln x x 1. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)证明：当 x (1， ) 时 ， 10， f(x)单调递增 ； 当 x1 时 ， f( x)0) 当 a0 时 ， 由 ax2 10， 得 x 1a；由 ax2 10 时 ， F(x)在区间 ? ?1a， 上单调递增 ， 在区间 ? ?0， 1a 上单调递减 当 a0 时 ， F( x)0)恒成立 故当 a0 时 ， F(x)在 (0， ) 上单调递减 (2)原式等价于方程 a 2ln xx2 (x)在区间 2， e上有两个不等解 由 ( x) 2x?1 2ln x?x4 易知 ， (x)在 ( 2， e)上为增函数 ， 在 ( e， e)上为减函数 ， 则 (x)max ( e) 1e， 而 (e) 2e22ln 24 ln 22 ( 2)，