全国通用版2019版高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第6讲函数的奇偶性与周期性优选学案.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 6 讲 函数的奇偶性与周期性 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.结合具体函数 ， 了解函数奇偶性的含义 2 能运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性 3 了解函数周期性 、 最小正周期的含义 ， 会判断 、应用简单函数的周期性 . 2017 全国卷 ， 14 2017 山东卷， 14 2016 天津卷， 6 2015 广东卷， 3 1.对函数的奇偶性与周期性的考查主要有两种题型：一是判断函数的奇偶性与周期性 ， 二是已知函数的奇偶性与周期性求值或范围 ， 难度一般 2 函数的单调性 、 奇偶性 、 周期性的综合应用 ， 题型有根据性质判断 图象 、解不等式

2、、 求方程根的个数等 ， 难度较大 . 分值： 5 分 1 偶函数 、 奇函数的概念 一般地 ， 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x， 都有 _f( x) f(x)_， 那么函数 f(x)就叫做偶函数 一般地 ， 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x， 都有 _f( x) f(x)_， 那么函数 f(x)就叫做奇函数 2 奇 、 偶函数的图象特点 偶函数的图象关于 _y 轴 _对称 ， 奇函数的图象关于 _原点 _对称 3 函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数 f(x)是偶函数 ， 那么 f(x) f(|x|) (2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性 ， 偶函数在两个

3、对称的区间上具有相反的单调性 (3)在公共定义域内有：奇 奇奇 ， 偶 偶偶 ， 奇 奇偶 ， 偶 偶偶 ， 奇 偶奇 4 函数的周期性 (1)对于函数 f(x)， 如果存在一个 _非零常数 _T， 使得当 x 取定义域内的每一个值时 ，都有 _f(x T) f(x)_， 那么函数 f(x)就叫做周期函数 ， T 叫做这个函数的周期 (2)如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数 ， 那么这个最小正数就叫做f(x)的 _最小 _正周期 =【 ;精品教育资源文库 】 = 5 函数周期 性的常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量 x 的值： (1)若 f(x a) f(x)， 则

4、T 2a(a0)； (2)若 f(x a) 1f?x?， 则 T 2a(a0)； (3)若 f(x a) 1f?x?， 则 T 2a(a0) 6 函数的对称性与周期性的关系 (1)如果函数 f(x)(x D)在定义域内有两条对称轴 x a， x b(a0 或 x0. 解析 (1)f(x)为奇函数 ， g(x)为偶函数 ， 故 f(x)g(x)为奇函数 ， f(x)|g(x)|为奇函数 ，|f(x)|g(x)为偶函数 ， |f(x)g(x)|为偶函数故选 C (2) 由? 1 x0 ，1 x1 x0 ，得定义域为 ( 1,1， 关于原点不对称 ， 故 f(x)为非奇非偶函数 由? 1 x20，|

5、x 2|2 ， 得定义域为 ( 1,0) (0,1)， 关于原点对称 x 20， 则 f( x) ( x)2 x x2 x f(x)； 当 x0 时 ， xa2 9，解得 2 20， 即 x 1， 其定义域关于原点不对称 ， 是非奇非偶函数 2 已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数 ， 当 x0 时 ， f(x) 3x m(m 为常数 )， 则 f( log35) ( D ) A 6 B 6 =【 ;精品教育资源文库 】 = C 4 D 4 解析 因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数 ， 且当 x0 时 ， f(x) 3x m， 所以 f(0) 1m 0?m 1， 则 f( log35)

6、f(log35) (3log35 1) 4. 3 已知定义在 R 上的偶函数 f(x)， 在 x0 时 ， f(x) ex ln(x 1)， 若 f(a)0， 所以不是奇函数 ， 所以 B 项错；对于 C项 ， f( x) 2 x 2x f(x)， f(x)是偶函数 ， 所以 C 项错；对于 D 项 ， f(x) x3 1 定义域为 R， 但图象不过原点 ， 所以 f(x)是非奇非偶函数 ， 所以 D 项错只有 A 项满足定义域关于原点对称 ， 并且 f( x) f(x)， 是奇函数 2 已知 f(x) 3ax2 bx 5a b 是偶函数 ， 且其定义域为 6a 1， a， 则 a b ( A

7、 ) A 17 B 1 C 1 D 7 解析 因为偶函数的定义域关于原点对称 ， 所以 6a 1 a 0， 所以 a 17.又因为 f(x)为偶函数 ， 所以 3a( x)2 bx 5a b 3ax2 bx 5a b， 得 b 0， 所以 a b 17.故选 A 3 已知 f(x)在 R 上是奇函数 ， 且满足 f(x 4) f(x)， 当 x (0,2)时 ， f(x) 2x2， 则f(2 019) ( A ) A 2 B 2 C 98 D 98 解析 因为 f(x 4) f(x)， 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 f(2 019) f(

8、5044 3) f(3) f( 1) 又 f(x)为奇函数 ， 所以 f( 1) f(1) 21 2 2， 即 f(2 019) 2. 4 已知函数 y f(x)是奇函数 ， 当 x0 时 ， f(x) lg x， 则 f? ?f? ?1100 ( D ) A 1lg 2 B 1lg 2 C lg 2 D lg 2 解析 因为当 x0 时 ， f(x) lg x， 所以 f? ?1100 lg 1100 2， 则 f? ?f? ?1100 f( 2)， 因为函数 y f(x)是奇函数 ， 所以 f? ?f? ?1100 f(2) lg 2. 5 已知偶函数 y f(x)满足 f(x 5) f(

9、x 5)， 且 0 x5 时 ， f(x) x2 4x， 则 f(2 018) ( B ) A 3 B 4 C 4 D 12 解析 f(x 5) f(x 5)， f(x 10) f(x)， f(x)为周期函数 ， 且周期为 10， f(2 018) f(20210 2) f( 2) f(2) 22 42 4.故选 B 6 已知 f(x)是偶函数 ， 且 f(x)在 0， ) 上是增函数 ， 如果 f(ax 1) f(x 2)在 x ? ?12， 1 时恒成立 ， 则实数 a 的取值范围是 ( D ) A 2,1 B 5,0 C 5,1 D 2,0 解析 因为 f(x)是偶函数 ， 在 0， )

10、 上是增函数 ， 如果 f(ax 1) f(x 2)在 x?12， 1 时恒成立 ， 则 ax 1| x 2|， 即 x 2 ax 12 x.由 ax 12 x， 得 ax 1 x，a 1x 1， 而 1x 1 在 x 1 时取得最小值 0， 故 a0. 同理 ， x 2 ax 1 时 ， a 2， 所以a 的取值范围是 2,0 二 、 填空题 7 (2018 河南豫西南部分示范性高中期中 )已知奇函数 f(x)? 2x a， x 0，4 2 x， x 0， 则=【 ;精品教育资源文库 】 = 实数 a _ 4_. 解析 因为函数 f(x)为奇函数 ， 则 f( x) f(x)， 则 f( 1

11、) f(1)， 所以 4 21 (21 a)， 解得 a 4. 8 设定义在 2,2上的偶函数 f(x)在区间 0,2上单调递减 ， 若 f(1 m)|m|， 21 m2 ， 2 m2 ，解得 1 m12. 9 (2017 山东卷 )已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数 ， 且 f(x 4) f(x 2) 若当 x 3,0时 ， f(x) 6 x， 则 f(919) _6_. 解析 f(x 4) f(x 2)， f(x)的周期为 6， 919 1536 1， f(919)f(1) 又 f(x)为偶函数 ， f(919) f(1) f( 1) 6. 三 、 解答题 10 若 f(x)， g(x

12、)是定义在 R 上的函数 ， f(x)是奇函数 ， g(x)是偶函数 ， 且 f(x) g(x) 1x2 x 1， 求 f(x)的表达式 解析 在 f(x) g(x) 1x2 x 1中用 x 代替 x， 得 f( x) g( x) 1? x?2 ? x? 1. 又 f(x)是奇函数 ， g(x)是偶函数 ， 所以 f(x) g(x) 1x2 x 1， 联立方程? f?x? g?x? 1x2 x 1， f?x? g?x? 1x2 x 1，两式相减得 f(x) 12? ?1x2 x 1 1x2 x 1 xx4 x2 1. 11 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2， 且当 x (0,1)时 ， f(x) 2x4x 1. (1)求 f(1)和 f( 1)的值； (2)求 f(x)在 1,1上的解析式