全国通用版2019版高考数学大一轮复习第八章解析几何课时达标45椭圆.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 45 讲 椭圆 解密考纲 对椭圆的定义、标准方程及几何性质的考查，以选择题或填空题的形式出现 一、选择题 1已知焦点在 y 轴上的椭圆 x210y2m 1 的长轴长为 8，则 m ( C ) A 4 B 8 C 16 D 18 解析 椭圆的焦点在 y 轴上，则 m a2.由长轴长 2a 8 得 a 4，所以 m 16.故选 C 2椭圆 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率等于 12，且它的一个顶点为 (0,2 3)，则椭圆 C 的标准方程为 ( D ) A x24y22 1 Bx24y23 1 Cx212y29 1 Dx216y212 1 解析 根据

2、题意，可知 b 2 3，结合离心率等于 12，可知 a2 16，所以椭圆方程为 x216y212 1.故选 D 3已知 ABC 的顶点 B， C 在椭圆 x23 y2 1 上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则 ABC 的周长是 ( C ) A 2 3 B 6 C 4 3 D 12 解析 如图，设椭圆的另外一个焦点为 F，则 ABC 的周长为 |AB| |AC| |BC| (|AB| |BF|) (|AC| |CF|) 4a 4 3. 4已知椭圆 x29y24 k 1 的离心率为45，则 k 的值为 ( D ) A 21 B 21 C 1925或 21 D 19

3、25或 21 解析 当 94 k0，即 4k 5 时， a 3， c2 9 (4 k) 5 k， 5 k3 45，解得 k 1925. 当 9b0)的左焦点为 F，若 F 关于直 线 3x y 0 的对称点 A 是椭圆 C 上的点，则椭圆 C 的离心率为 ( D ) A 12 B 3 12 C 32 D 3 1 解析 设 F( c,0) 关于直线 3 x y 0 的对称点为 A(m ， n) ，则? nm c 3 1，3 m c2 n2 0，解得 m c2， n 32 c，代入椭圆方程可得c24a234c2b2 1 化简可得 e4 8e2 4 0，解得 e 3 1(舍去 )或 e 3 1.故选

4、 D 二、填空题 7设椭圆 x2m2y2n2 1(m0， n0)的右焦点为 (2,0)，离心率为22 ，则此椭圆的方程为 _x28 y24 1_. 解析 椭圆的右焦点为 (2,0)， m2 n2 4， e 22 2m， m 2 2，代入 m2 n2 4，得 n2 4， 椭圆方程为 x28y24 1. 8已知 P 为椭圆 x225y216 1 上的一点， M， N 分别为圆 (x 3)2 y2 1 和圆 (x 3)2 y2 4 上的点，则 |PM| |PN|的最小值为 _7_. 解析 由椭圆方程知 a 5， b 4， c 3.两圆的圆 心分别为椭圆的左右焦点 F1， F2，设两圆半径分别为 r1

5、， r2，则 r1 1， r2 2.所以 |PM|min |PF1| r1 |PF1| 1， |PN|min |PF2| r2 |PF2| 2，故 |PM| |PN|的最小值为 |PF1| |PF2| 3 2a 3 7. 9椭圆 x2a2y25 1(a 为定值，且 a 5)的左焦点为 F，直线 x m 与椭圆相交于点 A， B.=【 ;精品教育资源文库 】 = 若 FAB 的周长的最大值是 12，则该椭圆的离心率是 _23_. 解析 设椭 圆的右焦点为 F ，如图，由椭圆定义知， |AF| |AF| |BF| |BF| 2a. 又 FAB 的周长为 |AF| |BF| |AB| AF| |BF

6、| |AF| |BF| 4a， 当且仅当 AB 过右焦点 F 时等号成立 此时 4a 12，则 a 3. 故椭圆方程为 x29y25 1，所以 c 2，所以 eca23. 三、解答题 10如图，椭圆 C： x2a2y2b2 1(a b 0)的右焦点为 F，右顶点、上顶点分别为 A， B，且 |AB| 52 |BF|. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)若斜率为 2 的直线 l 过点 (0,2)，且 l 交椭圆 C 于 P， Q 两点， OP OQ，求直线 l 的方程及椭圆 C 的方程 解析 (1) |AB| 52 |BF|， a2 b2 52 a， 即 4a2 4b2 5a2， 即 4a2

7、4(a2 c2) 5a2， e ca 32 . (2)由 (1)知 a2 4b2， 椭圆 C： x24b2y2b2 1. 设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)，直线 l 的方程为 y 2 2(x 0)， 即 2x y 2 0. 由? 2x y 2 0，x24b2y2b2 1，消去 y， =【 ;精品教育资源文库 】 = 得 x2 4(2x 2)2 4b2 0，即 17x2 32x 16 4b2 0. 322 1617( b2 4)0，解得 b2 1717 . x1 x2 3217， x1x2 16 4b217 . OP OQ， OP OQ 0，即 x1x2 y1y2 0， x1x2 (

8、2x1 2)(2x2 2) 0,5x1x2 4(x1 x2) 4 0. 从而 4b217 12817 4 0，解得 b 1，满足 b2 1717 . 椭圆 C 的方程为 x24 y2 1. 11设椭圆 E 的方程为 x2a2y2b2 1(a b 0)，点 O 为坐标原点，点 A 的坐标为 (a,0)，点B 的坐标为 (0， b)，点 M 在线段 AB 上，满足 |BM| 2|MA|，直线 OM 的斜率为 510. (1)求椭圆 E 的离心率 e； (2)设点 C 的坐标为 (0， b)， N 为线段 AC 的中点，点 N 关于直线 AB 的对称点的纵坐标为 72，求椭圆 E 的方程 解析 (1

9、)由题设条件知，点 M 的坐标为 ? ?23a， 13b . 又 kOM 510，所以 b2a 510，所以 a 5b， c a2 b2 2b， 故 e ca 2 55 . (2)由题设条件和 (1)的计算结果可得，直线 AB 的方程 x5b yb 1， 点 N 的坐标为 ? ?52 b， 12b . 设点 N 关于直线 AB 的对称点 S 的坐标为 ? ?x1，72 ， 则线段 NS 的中点 T 的坐标为 ? ?54 b x12， 14b 74 . 又点 T 在直线 AB 上，且 kNS kAB 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = 从而有? 54 bx125b 14b 74b 1，721

10、2bx1 52 b 5，解得? x15 52 ，b 3.所以 a 3 5，故椭圆 E 的方程为 x245y29 1. 12如图，已知椭圆 M： x2a2y2b2 1(a b 0)的左、 右焦点分别为 F1( 2,0)， F2(2,0)在椭圆 M 中有一内接三角形 ABC，其顶点 C 的坐标为 ( 3， 1)， AB 所在直线的斜率为 33 . (1)求椭圆 M 的方程； (2)当 ABC 的面积最大时，求直线 AB 的方程 解析 (1) 由 椭 圆 的 定 义 知 2a 2 3 2 2 3 2 2，所以 a2 6，所以 b2 a2 c2 2. 所以椭圆 M 的方程为 x26y22 1. (2)

11、由题意设直线 AB 的方程为 y 33 x m. 由? x26 y22 1，y 33 x m消去 y，得 2x2 2 3mx 3m2 6 0. 因为直线 AB 与椭圆 M 交于不同的两点 A， B，且点 C 不在直线 AB 上， 所以? 12m2 m2 ，1 33 3 m， 解得 2m2 且 m0. 设 A， B 两点的坐标分别为 (x1， y1)， (x2， y2)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 则 x1 x2 3m， x1x2 3m2 62 ， y1 33 x1 m， y2 33 x2 m. 所以 |AB| x2 x1 2 y2 y1 2 43 x1 x2 2 4x1x2 2 4 m2. 点 C( 3， 1)到直线 y 33 x m 的距离 d 3|m|2 . 于是 ABC 的面积 S 12|AB| d 32 |m| 4 m2 32 m2 m22 3， 当且仅当 |m| 4 m2，即 m 2 时，等号成立 所以当 m 2 时， ABC 的面积最大，此时直线 AB 的方程为 y 33 x 2，即 x 3y 6 0.