福建省泉州市普通高中2019级高一下学期教学质量跟踪监测（期末）数学试卷（扫描版含解析）.rar
保密保密启用前启用前 泉州市普通高中泉州市普通高中 2019 级高一下级高一下学期教学质量跟踪监测学期教学质量跟踪监测 数学（新教材必修第数学（新教材必修第 2 2 册册部分部分+ +第第 1 1 册三角）册三角） 2020.07 评分说明：评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的要求的 1. 若复数34iz ，则复数z在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【命题意图】本题考查复数的概念与复数的几何意义等基础知识；考查应用意识；考查数形结合思想，检测直观想象素养. 【试题答案】D. 【试题解析】复数z在复平面内对应的点为34Z（， ），所以选 D. 2.若1sin3，则cos2 A2 29 B79 C79 D4 29 【命题意图】本题考查三角函数的基本公式等基础知识；考查运算求解能力；考查转化与回归思想；检测数学运算素养. 【试题答案】B. 【试题解析】因为2217cos212sin12 ( )39 ，所以选 B. 3.已知向量=(1,2)a，( ,3)xb，若/ /ab，则x A.32B.32C.6D.6 【命题意图】本题考查平面向量的位置关系等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想；检测数学运算素养. 【试题答案】选 B. 【试题解析】因为/ /ab，所以12210 x yx y，即1 320 x ，解得32x .所以选 B. 4.要得到函数cos()24xy的图象，只需将cos2xy 的图象 A.向右平移4个单位 B.向左平移4个单位 C.向右平移2个单位 D.向左平移2个单位 【命题意图】 本题考查三角函数的图象与性质及图象变换等基础知识； 考查运算求解能力； 考查数形结合，特殊与一般的思想；检测直观想象素养. 【试题答案】C. 【试题解析】解法一：因为1coscos2422xyx，所以只需将cos2xy 的图象向右平移2个单位即可得到函数cos24xy的图象. 所以选 C. 解法二：因为,24xkkZ，即2 ,2xkkZ，所以函数cos24xy的图象的对称轴为直线2 ,2xkkZ.因为,2xkkZ,即2 ,xk kZ， 所以函数cos2xy 图象的对称轴为直线2 ,xk kZ.可见只需把函数cos2xy 图象的对称轴2 ,xk kZ向右平移2个单位得到函数cos24xy图象对称轴2 ,2xkkZ.所以选 C. 解法三：特值法. 因为cos24xy,所以当0,24x即2x 时1y ，得五点法第一个点(,1)2Q. 因为cos2xy ,所以当0,2x即0 x 时1y ， 得五点法第一个点(0,1)P.可见把点(0,1)P向右平移2得到点(,1)2Q.所以选 C. 5.下图是 2020 年 1 月 23 日至 2 月 13 日我国新冠肺炎疫情的数据走势图（其中 1 月 23 日2 月 5 日，重症率=现有重症/累计确诊；2 月 6 日开始公布现有确诊数，重症率=现有重症/现有确诊）.若以图中所示方法界定月份，则下列说法错误的是 A.2 月份的重症率明显下降 B.2 月 11 日的治愈率约为死亡率的 4.3 倍 C.2 月 1 日后治愈率超过死亡率 D.2 月以来，新冠肺炎的治愈率总体上呈上升趋势 【命题意图】本题考查统计的基础知识；考查数学问题与统计图表的阅读理解能力；考查数据处理及应用意识；考查数学运算、直观想象和数学建模素养. 【试题答案】A. 【试题解析】观察数据走势图的数学模型可以发现，2 月份的重症率并不是明显下降，而是有升有降的起伏走势. 6甲、乙两人独立解答一道趣味题，已知各人答对的概率分别为23，12，则恰有一人答对的概率为 A.16 B.12 C.56 D.23 【命题意图】本题考查事件关系与事件运算、概率的基本运算公式、事件的相互独立性等基础知识；考查运算求解能力、必然与或然思想；考查应用意识，检测逻辑推理、数学运算、数学建模等素养. 【试题答案】B. 【试题解析】根据题意，甲、乙两人答题是相互独立事件，记“甲答对”为事件 A， “乙答对”为事件 B，“恰有一人答对”为事件 C，则21( ), ( )32P AP B，通过运算求解可得21111( )( )( )( )( )32322P CP AP BP AP B.故选 B 7. 平行四边形ABCD中，=4AB，=2 2AD，3=4BAD，E是线段CD的中点，则=AE AC A.0 B2 C.4 D4 2 【命题意图】 本题主要考查向量线性运算、 数量积运算、 平面向量基本定理及向量的坐标表示等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想等；检测逻辑推理、直观想象、数学运算等素养 【试题答案】C. 【试题解析】解法一：作出如图平行四边形ABCD，分析题中的数据可知AEDC，结合平面几何知识，| | | 2 2,| 2ACBCADAE， 将问题转化化归为向量投影的概念：2=4AE AC AE.故选 C EDBCA解法二：通过向量“平行四边形法则”直观想象，将向量,AE AC，用基底,AB AD表示，22113222AE ACADABADABADABAD AB，运算求解可得221334(2 2)42 2cos4224AE AC .故选 C 解法三：分析题中的数据可知结合平面几何知识，可得AEDC，| 2AE ，根据数形结合思想建立平面直角坐标系，(0,2), (2,2)EC，(0,2) (2,2)4AE AC.故选 C 8.我国古代数学名著九章算术中有如下问题： “今有木长二丈，围之三尺. 葛生其下，缠木七周，上与木齐. 问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦. 弦者，葛之长”. 意思是：今有 2 丈长木，其横截面周长 3 尺，葛藤从木底端绕木 7 周至顶端，问葛藤有多长？（注：1 丈=10 尺） A.21 尺 B.23 尺 C.27 尺 D.29 尺 【命题意图】本题考查空间几何体的侧面积等基础知识；考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、数学文化思想等；检测数学抽象、数学建模、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学文化等素养 【试题答案】D. 【试题解析】解法一 ：将问题背景建立数学模型如图所示的圆柱体，通过空间想象可知葛藤长度为侧面展开图为矩形ABCD对角线长， 由20,21ABBCAD得2229ACABBC.故选D 解法二：结合文中“以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦。弦者，葛之长”的叙述，逻辑推理可得22202129. 9.在ABC中，角,A B C所对的边分别为, ,a b c，且222sinsinsinsinsinABCAB， 若2abc，则ABC的形状是 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【命题意图】本题考查解三角形的基本知识和正弦定理、余弦定理的应用；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想；检测数学运算、逻辑推理素养. 【试题答案】A. 【试题解析】解法一：因为222sinsinsinsinsinABCAB， 由正弦定理，得222abcab （*） 即222122abcab，所以1cos2C . EDBCAxy因为(0,)C，所以3C , 又因为2abc代入（*）式，得222abab,即2()0ab，所以ab. ABC是等边三角形. 解法二：因为222sinsinsinsinsinABCAB， 由正弦定理，得222abcab （*） 又因为2abc代入（*）式，得222abab 即2()0ab，所以ab. 再把ab代入2abc，得222abc， 所以abc.，ABC是等边三角形. 10图中是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径 6cm，高 9cm（不含杯脚） ，已知水的高度是 8cm，现往杯子中放入一种直径为 1cm 的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果加完珍珠后水不溢出，则最多可以加入珍珠 A36颗 B42颗 C48颗 D54颗 【命题意图】本题考查简单几何体的表面积和体积基础知识；考查运算求解能力、空间想象能力；考查转化化归及函数方程思想；检测数学抽象、数学建模、直观想象素养. 【试题答案】C. 【试题解析】杯子体积21 39273V ， 剩余的体积3182171 ( ) 27=927V , 一颗珍珠的体积341()326V球, 则121743427=48.296VV球，故答案为 C 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 2 2 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 1010 分。在每小题给分。在每小题给出的四个选项中，至少有出的四个选项中，至少有 2 2 个选个选项符合题目要求项符合题目要求. .作出的选择中，不选或含有错误选项的得作出的选择中，不选或含有错误选项的得 0 0 分，只选出部分正确选项的得分，只选出部分正确选项的得 2 2 分，正分，正确选项全部选出的得确选项全部选出的得 5 5 分分. . 11.某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮 5 次. 统计各轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为 2，3，4，4，则第五轮结束后，下列情况有可能发生的是 CABOHA.平均数为3，极差是3 B.中位数是3，极差是3 C.平均数为3，方差是0.8 D.中位数是3，方差是0.56 【命题意图】本题考查用样本估计总体的统计基础知识；考查数据处理能力；考查函数方程、分类整合、必然或然思想；检测数据分析素养. 【试题答案】BCD. 【试题解析】若平均数为3，则第5次投中2个，此时极差为2，方差为 2222214(23)(23)(33)(43)(43) 0.855， 故 A 不正确, C 正确； 若中位数为3，则第5次投中1个或2个或3个， 当第5次投中1个，此时极差为3，故 B 正确， 当第5次投中3个，此时平均数233443.25 方差222221(23.2)(33.2)(33.2)(43.2)(43.2) 5， 1=(1.44+0.040.040.640.64)0.565故 D 正确. 12.如图，菱形ABCD中，=2AB，=60DAB，E是AB的中点，将ADE沿直线DE翻折至1ADE的位置后，连接1AC,1A B.若F是1AC的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的有 A.异面直线1A E与DC所成的角不断变大 B.二面角1ADCE的平面角恒为45 C.点F到平面1A EB的距离恒为32 D.当1A在平面EBCD的投影为E点时，直线1AC与平面EBCD所成角最大 【命题意图】本题考查空间点、直线、平面之间的位置关系基础知识；考查抽象概括、推理论证、运算求解、空间想象能力；考查化归转化、数形结合、特殊一般思想；检测数学抽象、逻辑推理、 直观想象素养. 【试题答案】CD 【试题解析】因为/DCEB，所以异面直线1AE与DC所成角即为1AEB或其补角，在翻折过中， 异面直线1AE与DC所成角是先增大后减小，所以A不正确； 二面角1ADCE 的平面角不是定值，所以B不正确; 因为F是1AC的中点，所以点F到平面1A EB的距离是点C到平面1A EB的距离的12; 因为/DCEB，DC 平面1A EB，EB 平面1A EB，所以/DC平面1A EB， EBCDA1所以点C到平面1A EB的距离与点D到平面1A EB的距离相等， 又DEEB，1DEEA，1EAEBE，所以DE 平面1A EB， 易知3DE ，所以点D到平面1A EB的距离为3， 即点F到平面1A EB的距离为32，所以C正确; 因为DE 平面1A EB，DE 平面DEBC， 所以平面1A EB 平面DEBC,平面1AEB平面=DEBC EB， 在平面1A EB中，作1A HEB，垂足为H，则1AH 平面DEBC，直线1AC与平面DEBC所成角为1ACH，因为11A HA E,当且仅当1A在平面的投影为E点时，取到等号， 此时直线1AC与平面DEBC所成角最大，所以 D 正确; 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13.已知1iiz，则|z _. 【命题意图】本小题主要考查复数的四则运算、复数的模等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化思想；考查的核心素养是直观想象和数学运算 【试题答案】2 【试题解析】解法一：1i1iiz ，所以 |2z 解法二：|1 i|2|2|i|1z 14.已知某地区小学、初中、高中三个学段的学生人数分别为 5000，4000，3000. 现采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，若初中学生人数为 80，则高中学生人数应为_. 【命题意图】本小题主要考查分层抽样等基础知识；考查数据处理能力和应用意识；考查函数方程及或然必然思想；考查的核心素养是数学运算和数据分析 【试题答案】60 【试题解析】高中学生人数为300080604000. 15.已知( )sin()3cos()3333f xxx，则(1)(2)(3)(2020)ffff_. 【命题意图】本小题考查三角函数的图象和性质、辅助角公式等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查数形结合思想、化归与转化思想以特殊与一般思想；考查数学抽象、直观想象和数据分析等. 【试题答案】3 【试题解析】( )sin3cos2sin33333f xxxx 因为函数( )f x的周期263T ，且(3)( )f xf x 所以5*( )0()mi mf imN，即20205( )0if i 所以(1)(2)(3)(2020)(1)(2)(3)(4)3ffffffff. 16.已知|=2AB，1|ACABAC,动点M满足2380AMAM AB. 当CA CB取到最小值_时，|CM的最大值为_. 【命题意图】本小题主要考查向量的几何意义，向量的运算，数量积等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查逻辑推理、直观想象、数学运算等 【试题答案】14 31+12 【试题解析】因为1|ACABAC，所以|cos1|ACABBACAC, 因为|1|ACAC，所以1cos2BAC 因为(0,)BAC，所以3BAC. 解法一： 以A为原点，AB所在直线为x轴， 建立平面直角坐标系， 则(0,0)A，(2,0)B，( , 3 )C xx, 所以(,3 )CAxx ，(2,3 )CBxx，则 222(,3 ) (2,3 )(2)(3 )(3 )111424()4()244CA CBxxxxxxxxxxxxx 所以当14x 时，CA CB的最小值为14 此时13( ,)44C，设( , )M x y，则( , )AMx y，(2,0)AB ， 由2380AMAM AB得22680 xyx 即22(3)1xy， 设(3,0)D，则| 1DM 即M在以D为圆心，以 1 为半径的圆上. 221331|(3)()442CD |CM的最大值为31+12 解法二：取线段AB的中点E，由极化恒等式得2221CA CBCEEACE, 当点E垂直AC于E时，|CE取到最小值，且最小值为32， 即2min3|4CE，所以min31()144CA CB 由2380AMAM AB得22320AMAM ABAB， 即()(2)0AMAB AMAB 令2AFAB，则0BM FM,即M在以BF为直径的圆上. 取BF的中点G,当CA CB取到最小值时，1|=2CA， 在ACG中，由余弦定理222=A2AcosCGCAGC AGCAG 得21131=923 cos60 =424CG 即31=2CG，此时|CM的最大值为31+12. 四、解答题：共四、解答题：共 7070 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 10 分） 为研究某植物园中某类植物的高度，随机抽取了高度在30,100（单位：cm）的 50 株植物，得到如图的植高频率分布直方图： （1）求a的值； （2）若园内有该植物 1000 株，试根据直方图信息估计高度在70,90)的植物数量. 【命题意图】本小题主要考查频率分布直方图等基础知识；考查识图能力、数据处理能力和应用意识；考查或然与必然思想、数形结合思想；考查的核心素养是数据分析和数学运算 【试题解析】 （1）由频率分布直方图得： (0.0040.0060.0240.0300.0080.008) 101a， . 3 分 10090807060504030高度（cm）频率组距0.0040.0060.008a0.0240.030ABCD解得0.020a . . 4 分 （2）在频率分布直方图中， 植物高度落在70,90)的频率为(0.0200.008) 100.28， . 6 分 以 50 株植物的样本，可估计园内该类植物高度落在70,90)的频率为0.28， . 8 分 以样本估计总体，可估计园内高度落在70,90)的该类植物有1000 0.28280株. . 10 分 注：跳过 8 分点的频率估计，不扣分；答案正确，但若无出现“以样本估计总体”或“估计”的文字表述，扣 3 分. 18.（本小题满分 12 分） 如图，四面体ABCD中，DA平面ABC，BCAB，5ACBD，41CD . （1）求BCD的面积； （2）求点A到平面BCD的距离. 【命题意图】本小题主要考查简单几何体的表面积与体积等基础知识；考查推理论证、运算求解和空间想象能力；考查化归转化、数形结合思想，检考查的核心素养是逻辑推理、数学运算和直观想象数学 【试题解析】 （1）解法一：由DA平面ABC，得得DAAB，DAAC . 1 分（线面垂直定义） Rt CAD中，2241 254ADDCAC， . 2 分（计算） Rt DAB中，2225 163ABDBDA， Rt ABC中，2225 94BCACAB， . 3 分（计算） 由222DCDBBC得90DBC， . 4 分（勾股定理逆定理应用于证明） 114 51022BCDSBD BC . . 5 分（计算） 解法二：ADABC平面，BCABC平面，ADBC. . 1 分（线面垂直定义） 又BCAB，ADABA， . 2 分（定理条件） BCABD平面. . 3 分（线面垂直判定） 又BDABD平面，BCBD，即90DBC. 2241 254BCDCDB. . 4 分（计算） 114 51022BCDSBD BC . . 5 分（计算） （2）解法一：由（1）知BCABD平面， . 6 分（定理条件） BCDBC平面，. 7 分（定理条件） ABDDBC平面平面， . 8 分（面面垂直判定） 又ABDDBCBD平面平面， . 9 分（定理条件） 过A做AEBD，垂足为E，则AEBCD平面. . 10 分（面面垂直性质） EABCD AE的长即点A到面BCD的距离，Rt DAB中，125AD ABAEBD. . 12 分（计算） 解法二：记点A到面BCD的距离为h. 由D ABCA DBCVV， . 7 分（等积法思路） 得ABCDBCAD Sh S . 9 分（体积公式） Rt CAD中，2241 254ADDCAC， Rt ABC中，2225 94BCACAB， 4 624ABCAD S， 114 51022BCDSBD BC ， . 11 分（计算问题） 得125h . . 12 分（最终答案） 19.（本小题满分 12 分） 在平面四边形ABCD中，3ABAD，2ADBCDBABD . （1）求ABD； （2）若7AC ，2BD ，求ACD的面积. 【命题意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式等基础知识，考查运算求解、空间想象能力，考查转化与化归、数形结合思想，考查数学运算、几何直观素养 【试题解析】 （1）由正弦定理得sinsinABADADBABD, . 2 分(定理分） 所以sinsin23sinsinABADBABDADABDABD, 又sin22sincos2cossinsinABDABDABDABDABDABD, . 3 分（倍角公式分） 得3cos2ABD， MABCDP又0,ABD, . 4 分（范围，求角依据） 所以6ABD. . 5 分（结论分） （2）由余弦定理得2222cosACADCDAD CDADC, . 8 分（余弦定理分） 由（1）知3ADB, 则2BADABDADB , 又2BD，所以1AD. . 9 分（平几计算） 由题设及（1）可知，223ADCADB . 所以2212cos73CDCD , 即260CDCD，解得2CD ，3CD （舍去）. . 10 分（计算） 所以1123sin1 2sin2232ADCSAD CDADC . . 12 分（面积公式 1 分，结论 1 分） 20.（本小题满分 12 分） 已知四棱锥PABCD，PA平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，ABDC，2ABDC，22ADDC，M是PB中点 （1）求证：CM平面PAD； （2）求证：PDBC. 【命题意图】本小题主要考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，线面垂直的性质，勾股定理等基础知识；考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等 【试题解析】 （1）证法一：取PA中点N，连结,MN DN， M为PB中点，MNAB，且12MNAB. . 1 分（构造对边平行） 又ABDC，2ABDC, 故MNCD，且MNCD, . 2 分（构造平行四边形） NMABCDP即四边形MNDC为平行四边形，则CMDN， . 3 分（定理条件） 又ND 平面,PAD CM 平面PAD， . 4 分（线面平行判定） CM平面PAD. . 5 分（定理使用） 证法二：取AB中点H，连结,MH CH， 则MHPA，又PA平面,PAD MH 平面PAD. . 1 分（线面平行条件） MH平面PAD. . 2 分（线面平行判定） 由AHDC，AHDC， 得四边形CDAH为平行四边形，则CHAD， 又AD平面,PAD CH 平面PAD. CH平面PAD. . 3 分（线面平行判定） MHCHH， M为PB中点，所以平面CMH平面PAD. . 4 分（面面平行判定） 又CM 平面CMH,CM平面PAD. . 5 分（面面平行性质） （2）证法一：取AB中点H，连结DH， 由BHDC，BHDC，得四边形CDHB为平行四边形. . 6 分（构造平行四边形） 则DHBCDHBC，. . 7 分（平行四边形性质） 由22ADDHAH得，90ADH，即ADBC. . 9 分（线线垂直） 又PA平面ABCD，PABC. . 10 分（线面垂直性质） PAADA，BC平面PAD. 11 分（线面垂直判定） 又PD平面PAD，故PDBC. . 12 分 （线面垂直性质） MHABDCP MHABDCP证法二：取AB中点H，连结,DH PH，记,ADa PAb. . 6 分（计算） 由BHDC，BHDC，得四边形CDHB为平行四边形 . 8 分（构造平行） 则DHBC，DHBCa. . 9 分（转化） 则2222,2PDabPHab, . 10 分（边长表示） 得222PHPDDH. . 11 分（计算） 故90PDH，即PDDH，PDBC. 12 分（结论） 21.（本小题满分 12 分） 已知函数( )3sin3cosf xxx，( )max2sin ,2 3cos g xxx，( )( )( )F xf xg x. （1）求( )6g； （2）求( )F x在2 4,)33的单调递增区间； （3）若12 ,xx x，( )3F x ，求21xx的最大值. (注：,max , ,.aaba bbba) 【命题意图】本小题考查三角恒等变换、三角函数的图像与性质、解三角不等式及分段函数等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合、分类与整合、化归与转化及函数与方程思想；考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养。 【试题解析】 （1）2sin( )1,2 3cos( )366. . 1 分 所以 ( )max2sin( ),2 3cos( )max1,33666g. . 2 分 （2）在2 4,)33，解2sin2 3cosxx，即tan3x ，得3x或3x . 3 分 故得：当2 ,33x 时，2sin2 3cosxx，所以( )2 3cosg xx； 当 4(,)33x时，2sin2 3cosxx，所以( )2sing xx. . 4 分 当2 ,33x 时，( )( )( )3sin3cos2 3cosF xf xg xxxx 3sin3cos2 3sin()6xxx， . 5 分 令+2 +2 262kxk得2+2 +2 33kxkkZ（）， 因为2 ,33x ，所以取0k ，得33x. . 6 分 当 4(,)33x时，( )( )( )3sin3cos2sinF xf xg xxxx sin + 3cos2sin( +)3xxx，. 7 分 令+2 +2 232kxk，得5+2 +2 66kxkkZ（）， 因为 4(,)33x，所以取1k ，得7463x. . 8 分 所以( )F x在2 4,)33的单调增区间为 ,3 3和7 4,63. . 9 分 （3）由（2）知当2 ,33x 时，( )2 3sin()6F xx， 令( )3F x 即1sin()=62x ，解得=x2 2- -3 3或0=x， 所以2,0)3x 时( )3F x . . 10 分 当 4(,)33x时，( )2sin( +)3F xx， 令( )3F x 即3sin()=32x ，解得=x或=x4 43 3(舍)， 所以4,)3x时，( )3F x . . 11 分 因为( )F x的周期为2，所以当2 ,22 ()xkkkZ时，( )3F x 恒成立， 所以必有122 , ,22 x xkk，故得21xx的最大值为. . 12 分 22.（本小题满分 12 分） 某省采用的“3+1+2”模式新高考方案中，对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换分T（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则” （详见附 1 和附 2） ，具体的转换步骤为：原始分Y等级转换；原始分等级内等比例转换赋分。 某校的一次年级统考中，政治、化学两选考科目的原始分分布如下表： 等级 A B C D E 比例 约15% 约35% 约35% 约13% 约2% 政治学科 81,98 72,80 66,71 63,65 60,62 各等级对应的原始分区间 化学学科 各等级对应的原始分区间 90,100 77,89 69,76 66,68 63,65 现从政治、化学两学科中分别随机抽取了 20 个原始分成绩数据如下： 政治：64 72 66 92 78 66 82 65 76 67 74 80 70 69 84 75 68 71 60 79 化学：72 79 86 75 83 89 64 98 73 67 79 84 77 94 71 81 74 69 91 70 并根据上述数据制作了如下的茎叶图： 政治 化学 9 8 7 6 6 5 4 0 4 7 9 9 8 6 5 4 2 1 0 0 1 2 3 4 5 7 9 9 4 2 0 1 3 4 6 2 1 4 （1）茎叶图中各序号位置应填写的数字分别是： 应填 ，应填 ，应填 ，应填 ，应填 ，应填 . （2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考化学学科，其原始分为91分.基于高考实测的转换赋分模拟，试分别探究这两位同学的转换分，并从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法. （3）若从该校政治、化学学科等级为 A 的学生中，随机挑选 2 人次（两科都选，且两科成绩都为 A等的学生，可有两次被选机会） ，试估计这 2 人次挑选，其转换分都不少于 91 分的概率. 附 1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间. 附 2：计算转换分T的等比例转换赋分公式：2211YYTTYYTT(其中：1Y, 2Y分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；1T, 2T分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限. T的计算结果按四舍五入取整）. 【命题意图】本题考查茎叶图、古典概型、统计抽样、样本估计总体等基本知识；考查学生的阅读理解能力、数据处理能力和运算求解能力；考查统计与概率思想、化归与转化思想、有限无限思想、创新意识和应用意识；用数学的眼光看问题，用数学的思维思考问题，学会根据数学运算的结果解释实际问题，检测逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等素养 【试题解析】 （1）应填 6 ，应填 7 ，应填 8 ，应填 9 ，应填 8 ，应填 9 . 等级 A B C D E 原始分从高到低排序的等级人数占比 约15% 约35% 约35% 约13% 约2% 转换分T的赋分区间 86,100 71,85 56,70 41,55 30,40 (茎全部答对全部答对得 1 分；叶全部答对全部答对得 1 分.) . 2 分 （2）甲同学选考政治学科原始分82分，故其转换等级为 A,1212819886100YYTT， 根据等比例转换公式得：9882100828186TT，计算得87T . . 3 分 乙同学选考化学学科原始分91分,故其转换等级为 A,12129010086100YYTT， 根据等比例转换公式得：10091100919086TT，计算得87T . . 4 分 故甲、乙同学成绩的转换分都为87分. . 4 分 从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法： 参考 1：从茎叶图可知，若按原始分计算，样本数据中的政治学科平均成绩比化学学科平均成绩低，但是甲、乙两位同学在所选学科中都是排在第三名，赋分后，对应的转换分是一样的，这就直接体现了他们的相对排名，反应学生的相对实力。由于选择不同组合的学生可以选择同一个专业，所以在不同的选科组合里，要看每一个学生在这个组合中的相对位置。因此新高考这种“等级转换赋分法”具有一定的公平性与合理性. 参考 2：甲同学政治学科原始分为82分，乙同学化学学科原始分为91分，相差9分.转换后，两个人的成绩都是87分，相差0分，所以新高考这种“等级转换赋分法”对尖子生不公平. . 6 分 注：对新高考这种“等级转换赋分法”的公平性的看法，答案不唯一，也没有标准答案，只要言之有理，即可酌情给分. 以上两个示例供阅卷参考. （3）法一：样本数据中，政治学科属 A 等级的原始分有82，84，92，化学学科属 A 等级的原始分有91， 94，98. 因上述数据都只出现 1 次，故选人次与选分数是等价的. . 7 分 仿（2）计算得政治学科原始分84，92所对应的转换分分别为88，95. . 8 分 仿（2）计算得化学学科原始分94，98所对应的转换分分别为92，97. . 9 分 结合（2）可知，样本数据中，政治、化学学科转换分不少于91分对应的原始分有政治的92分，化学的94分和98分. . 10 分 设“随机挑选2人次，其转换分都不少于91分”为事件M. 样本中，从政治、化学学科等级为 A 的学生中，随机挑选2人次，组成的样本空间记为：82，84，82，92，82，91，82，94，82，98，84，92，84，91，84，94，84，98，92，91，92，94，92，98，91，94，91，98，94，98，共含15个基本事件. 事件M 92，94，92，98，94，98，共含3个基本事件； 由于各基本事件发生的可能性相同，故事件M发生的可能性为3,15即15. . 11 分 根据样本估计总体的思想，可估计这2人次挑选，其转换分都不少于91分的概率为15. . 12 分 法二： 样本数据中，政治学科属 A 等级的原始分有82，84，92，化学学科属 A 等级的原始分有91， 94，98. 因上述数据都只出现 1 次，故选人次与选分数是等价的 . 7 分 设政治学科成绩为 A 等的原始分为Y，对应的转换分为T,化学学科成绩为 A 等的原始分为Y，对应的转换分为T, 则1001008186YTYT, 1001009086YTYT , . 8 分 化简得：1450019YT,1440010YT 令91T ,91T得：87.8Y ，93.6Y. . 9 分 所以两学科转换分都不少于91分对应的原始分有政治的92分，化学的94分和98分. . 10 分 以下同解法一.
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保密保密启用前启用前 泉州市普通高中泉州市普通高中 2019 级高一下级高一下学期教学质量跟踪监测学期教学质量跟踪监测 数学（新教材必修第数学（新教材必修第 2 2 册册部分部分+ +第第 1 1 册三角）册三角） 2020.07 评分说明：评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数选择题和填空题不给中间分 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的要求的 1. 若复数34iz ，则复数z在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【命题意图】本题考查复数的概念与复数的几何意义等基础知识；考查应用意识；考查数形结合思想，检测直观想象素养. 【试题答案】D. 【试题解析】复数z在复平面内对应的点为34Z（， ），所以选 D. 2.若1sin3，则cos2 A2 29 B79 C79 D4 29 【命题意图】本题考查三角函数的基本公式等基础知识；考查运算求解能力；考查转化与回归思想；检测数学运算素养. 【试题答案】B. 【试题解析】因为2217cos212sin12 ( )39 ，所以选 B. 3.已知向量=(1,2)a，( ,3)xb，若/ /ab，则x A.32B.32C.6D.6 【命题意图】本题考查平面向量的位置关系等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想；检测数学运算素养. 【试题答案】选 B. 【试题解析】因为/ /ab，所以12210 x yx y，即1 320 x ，解得32x .所以选 B. 4.要得到函数cos()24xy的图象，只需将cos2xy 的图象 A.向右平移4个单位 B.向左平移4个单位 C.向右平移2个单位 D.向左平移2个单位 【命题意图】 本题考查三角函数的图象与性质及图象变换等基础知识； 考查运算求解能力； 考查数形结合，特殊与一般的思想；检测直观想象素养. 【试题答案】C. 【试题解析】解法一：因为1coscos2422xyx，所以只需将cos2xy 的图象向右平移2个单位即可得到函数cos24xy的图象. 所以选 C. 解法二：因为,24xkkZ，即2 ,2xkkZ，所以函数cos24xy的图象的对称轴为直线2 ,2xkkZ.因为,2xkkZ,即2 ,xk kZ， 所以函数cos2xy 图象的对称轴为直线2 ,xk kZ.可见只需把函数cos2xy 图象的对称轴2 ,xk kZ向右平移2个单位得到函数cos24xy图象对称轴2 ,2xkkZ.所以选 C. 解法三：特值法. 因为cos24xy,所以当0,24x即2x 时1y ，得五点法第一个点(,1)2Q. 因为cos2xy ,所以当0,2x即0 x 时1y ， 得五点法第一个点(0,1)P.可见把点(0,1)P向右平移2得到点(,1)2Q.所以选 C. 5.下图是 2020 年 1 月 23 日至 2 月 13 日我国新冠肺炎疫情的数据走势图（其中 1 月 23 日2 月 5 日，重症率=现有重症/累计确诊；2 月 6 日开始公布现有确诊数，重症率=现有重症/现有确诊）.若以图中所示方法界定月份，则下列说法错误的是 A.2 月份的重症率明显下降 B.2 月 11 日的治愈率约为死亡率的 4.3 倍 C.2 月 1 日后治愈率超过死亡率 D.2 月以来，新冠肺炎的治愈率总体上呈上升趋势 【命题意图】本题考查统计的基础知识；考查数学问题与统计图表的阅读理解能力；考查数据处理及应用意识；考查数学运算、直观想象和数学建模素养. 【试题答案】A. 【试题解析】观察数据走势图的数学模型可以发现，2 月份的重症率并不是明显下降，而是有升有降的起伏走势. 6甲、乙两人独立解答一道趣味题，已知各人答对的概率分别为23，12，则恰有一人答对的概率为 A.16 B.12 C.56 D.23 【命题意图】本题考查事件关系与事件运算、概率的基本运算公式、事件的相互独立性等基础知识；考查运算求解能力、必然与或然思想；考查应用意识，检测逻辑推理、数学运算、数学建模等素养. 【试题答案】B. 【试题解析】根据题意，甲、乙两人答题是相互独立事件，记“甲答对”为事件 A， “乙答对”为事件 B，“恰有一人答对”为事件 C，则21( ), ( )32P AP B，通过运算求解可得21111( )( )( )( )( )32322P CP AP BP AP B.故选 B 7. 平行四边形ABCD中，=4AB，=2 2AD，3=4BAD，E是线段CD的中点，则=AE AC A.0 B2 C.4 D4 2 【命题意图】 本题主要考查向量线性运算、 数量积运算、 平面向量基本定理及向量的坐标表示等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想等；检测逻辑推理、直观想象、数学运算等素养 【试题答案】C. 【试题解析】解法一：作出如图平行四边形ABCD，分析题中的数据可知AEDC，结合平面几何知识，| | | 2 2,| 2ACBCADAE， 将问题转化化归为向量投影的概念：2=4AE AC AE.故选 C EDBCA解法二：通过向量“平行四边形法则”直观想象，将向量,AE AC，用基底,AB AD表示，22113222AE ACADABADABADABAD AB，运算求解可得221334(2 2)42 2cos4224AE AC .故选 C 解法三：分析题中的数据可知结合平面几何知识，可得AEDC，| 2AE ，根据数形结合思想建立平面直角坐标系，(0,2), (2,2)EC，(0,2) (2,2)4AE AC.故选 C 8.我国古代数学名著九章算术中有如下问题： “今有木长二丈，围之三尺. 葛生其下，缠木七周，上与木齐. 问葛长几何？术曰：以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦. 弦者，葛之长”. 意思是：今有 2 丈长木，其横截面周长 3 尺，葛藤从木底端绕木 7 周至顶端，问葛藤有多长？（注：1 丈=10 尺） A.21 尺 B.23 尺 C.27 尺 D.29 尺 【命题意图】本题考查空间几何体的侧面积等基础知识；考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、数学文化思想等；检测数学抽象、数学建模、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学文化等素养 【试题答案】D. 【试题解析】解法一 ：将问题背景建立数学模型如图所示的圆柱体，通过空间想象可知葛藤长度为侧面展开图为矩形ABCD对角线长， 由20,21ABBCAD得2229ACABBC.故选D 解法二：结合文中“以七周乘三尺为股，木长为勾，为之求弦。弦者，葛之长”的叙述，逻辑推理可得22202129. 9.在ABC中，角,A B C所对的边分别为, ,a b c，且222sinsinsinsinsinABCAB， 若2abc，则ABC的形状是 A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 【命题意图】本题考查解三角形的基本知识和正弦定理、余弦定理的应用；考查运算求解能力、推理论证能力；考查数形结合思想；检测数学运算、逻辑推理素养. 【试题答案】A. 【试题解析】解法一：因为222sinsinsinsinsinABCAB， 由正弦定理，得222abcab （*） 即222122abcab，所以1cos2C . EDBCAxy因为(0,)C，所以3C , 又因为2abc代入（*）式，得222abab,即2()0ab，所以ab. ABC是等边三角形. 解法二：因为222sinsinsinsinsinABCAB， 由正弦定理，得222abcab （*） 又因为2abc代入（*）式，得222abab 即2()0ab，所以ab. 再把ab代入2abc，得222abc， 所以abc.，ABC是等边三角形. 10图中是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径 6cm，高 9cm（不含杯脚） ，已知水的高度是 8cm，现往杯子中放入一种直径为 1cm 的珍珠，该珍珠放入水中后直接沉入杯底，且体积不变.如果加完珍珠后水不溢出，则最多可以加入珍珠 A36颗 B42颗 C48颗 D54颗 【命题意图】本题考查简单几何体的表面积和体积基础知识；考查运算求解能力、空间想象能力；考查转化化归及函数方程思想；检测数学抽象、数学建模、直观想象素养. 【试题答案】C. 【试题解析】杯子体积21 39273V ， 剩余的体积3182171 ( ) 27=927V , 一颗珍珠的体积341()326V球, 则121743427=48.296VV球，故答案为 C 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 2 2 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 1010 分。在每小题给分。在每小题给出的四个选项中，至少有出的四个选项中，至少有 2 2 个选个选项符合题目要求项符合题目要求. .作出的选择中，不选或含有错误选项的得作出的选择中，不选或含有错误选项的得 0 0 分，只选出部分正确选项的得分，只选出部分正确选项的得 2 2 分，正分，正确选项全部选出的得确选项全部选出的得 5 5 分分. . 11.某篮球爱好者在一次篮球训练中，需进行五轮投篮，每轮投篮 5 次. 统计各轮投进球的个数，获知其前四轮投中的个数分别为 2，3，4，4，则第五轮结束后，下列情况有可能发生的是 CABOHA.平均数为3，极差是3 B.中位数是3，极差是3 C.平均数为3，方差是0.8 D.中位数是3，方差是0.56 【命题意图】本题考查用样本估计总体的统计基础知识；考查数据处理能力；考查函数方程、分类整合、必然或然思想；检测数据分析素养. 【试题答案】BCD. 【试题解析】若平均数为3，则第5次投中2个，此时极差为2，方差为 2222214(23)(23)(33)(43)(43) 0.855， 故 A 不正确, C 正确； 若中位数为3，则第5次投中1个或2个或3个， 当第5次投中1个，此时极差为3，故 B 正确， 当第5次投中3个，此时平均数233443.25 方差222221(23.2)(33.2)(33.2)(43.2)(43.2) 5， 1=(1.44+0.040.040.640.64)0.565故 D 正确. 12.如图，菱形ABCD中，=2AB，=60DAB，E是AB的中点，将ADE沿直线DE翻折至1ADE的位置后，连接1AC,1A B.若F是1AC的中点，则在翻折过程中，下列说法正确的有 A.异面直线1A E与DC所成的角不断变大 B.二面角1ADCE的平面角恒为45 C.点F到平面1A EB的距离恒为32 D.当1A在平面EBCD的投影为E点时，直线1AC与平面EBCD所成角最大 【命题意图】本题考查空间点、直线、平面之间的位置关系基础知识；考查抽象概括、推理论证、运算求解、空间想象能力；考查化归转化、数形结合、特殊一般思想；检测数学抽象、逻辑推理、 直观想象素养. 【试题答案】CD 【试题解析】因为/DCEB，所以异面直线1AE与DC所成角即为1AEB或其补角，在翻折过中， 异面直线1AE与DC所成角是先增大后减小，所以A不正确； 二面角1ADCE 的平面角不是定值，所以B不正确; 因为F是1AC的中点，所以点F到平面1A EB的距离是点C到平面1A EB的距离的12; 因为/DCEB，DC 平面1A EB，EB 平面1A EB，所以/DC平面1A EB， EBCDA1所以点C到平面1A EB的距离与点D到平面1A EB的距离相等， 又DEEB，1DEEA，1EAEBE，所以DE 平面1A EB， 易知3DE ，所以点D到平面1A EB的距离为3， 即点F到平面1A EB的距离为32，所以C正确; 因为DE 平面1A EB，DE 平面DEBC， 所以平面1A EB 平面DEBC,平面1AEB平面=DEBC EB， 在平面1A EB中，作1A HEB，垂足为H，则1AH 平面DEBC，直线1AC与平面DEBC所成角为1ACH，因为11A HA E,当且仅当1A在平面的投影为E点时，取到等号， 此时直线1AC与平面DEBC所成角最大，所以 D 正确; 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13.已知1iiz，则|z _. 【命题意图】本小题主要考查复数的四则运算、复数的模等基础知识；考查运算求解能力；考查化归与转化思想；考查的核心素养是直观想象和数学运算 【试题答案】2 【试题解析】解法一：1i1iiz ，所以 |2z 解法二：|1 i|2|2|i|1z 14.已知某地区小学、初中、高中三个学段的学生人数分别为 5000，4000，3000. 现采用分层抽样的方法调查该地区中小学生的“智慧阅读”情况，在抽取的样本中，若初中学生人数为 80，则高中学生人数应为_. 【命题意图】本小题主要考查分层抽样等基础知识；考查数据处理能力和应用意识；考查函数方程及或然必然思想；考查的核心素养是数学运算和数据分析 【试题答案】60 【试题解析】高中学生人数为300080604000. 15.已知( )sin()3cos()3333f xxx，则(1)(2)(3)(2020)ffff_. 【命题意图】本小题考查三角函数的图象和性质、辅助角公式等基础知识；考查学生的抽象概括能力、运算求解能力以及数据处理能力；考查数形结合思想、化归与转化思想以特殊与一般思想；考查数学抽象、直观想象和数据分析等. 【试题答案】3 【试题解析】( )sin3cos2sin33333f xxxx 因为函数( )f x的周期263T ，且(3)( )f xf x 所以5*( )0()mi mf imN，即20205( )0if i 所以(1)(2)(3)(2020)(1)(2)(3)(4)3ffffffff. 16.已知|=2AB，1|ACABAC,动点M满足2380AMAM AB. 当CA CB取到最小值_时，|CM的最大值为_. 【命题意图】本小题主要考查向量的几何意义，向量的运算，数量积等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等；考查逻辑推理、直观想象、数学运算等 【试题答案】14 31+12 【试题解析】因为1|ACABAC，所以|cos1|ACABBACAC, 因为|1|ACAC，所以1cos2BAC 因为(0,)BAC，所以3BAC. 解法一： 以A为原点，AB所在直线为x轴， 建立平面直角坐标系， 则(0,0)A，(2,0)B，( , 3 )C xx, 所以(,3 )CAxx ，(2,3 )CBxx，则 222(,3 ) (2,3 )(2)(3 )(3 )111424()4()244CA CBxxxxxxxxxxxxx 所以当14x 时，CA CB的最小值为14 此时13( ,)44C，设( , )M x y，则( , )AMx y，(2,0)AB ， 由2380AMAM AB得22680 xyx 即22(3)1xy， 设(3,0)D，则| 1DM 即M在以D为圆心，以 1 为半径的圆上. 221331|(3)()442CD |CM的最大值为31+12 解法二：取线段AB的中点E，由极化恒等式得2221CA CBCEEACE, 当点E垂直AC于E时，|CE取到最小值，且最小值为32， 即2min3|4CE，所以min31()144CA CB 由2380AMAM AB得22320AMAM ABAB， 即()(2)0AMAB AMAB 令2AFAB，则0BM FM,即M在以BF为直径的圆上. 取BF的中点G,当CA CB取到最小值时，1|=2CA， 在ACG中，由余弦定理222=A2AcosCGCAGC AGCAG 得21131=923 cos60 =424CG 即31=2CG，此时|CM的最大值为31+12. 四、解答题：共四、解答题：共 7070 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（本小题满分 10 分） 为研究某植物园中某类植物的高度，随机抽取了高度在30,100（单位：cm）的 50 株植物，得到如图的植高频率分布直方图： （1）求a的值； （2）若园内有该植物 1000 株，试根据直方图信息估计高度在70,90)的植物数量. 【命题意图】本小题主要考查频率分布直方图等基础知识；考查识图能力、数据处理能力和应用意识；考查或然与必然思想、数形结合思想；考查的核心素养是数据分析和数学运算 【试题解析】 （1）由频率分布直方图得： (0.0040.0060.0240.0300.0080.008) 101a， . 3 分 10090807060504030高度（cm）频率组距0.0040.0060.008a0.0240.030ABCD解得0.020a . . 4 分 （2）在频率分布直方图中， 植物高度落在70,90)的频率为(0.0200.008) 100.28， . 6 分 以 50 株植物的样本，可估计园内该类植物高度落在70,90)的频率为0.28， . 8 分 以样本估计总体，可估计园内高度落在70,90)的该类植物有1000 0.28280株. . 10 分 注：跳过 8 分点的频率估计，不扣分；答案正确，但若无出现“以样本估计总体”或“估计”的文字表述，扣 3 分. 18.（本小题满分 12 分） 如图，四面体ABCD中，DA平面ABC，BCAB，5ACBD，41CD . （1）求BCD的面积； （2）求点A到平面BCD的距离. 【命题意图】本小题主要考查简单几何体的表面积与体积等基础知识；考查推理论证、运算求解和空间想象能力；考查化归转化、数形结合思想，检考查的核心素养是逻辑推理、数学运算和直观想象数学 【试题解析】 （1）解法一：由DA平面ABC，得得DAAB，DAAC . 1 分（线面垂直定义） Rt CAD中，2241 254ADDCAC， . 2 分（计算） Rt DAB中，2225 163ABDBDA， Rt ABC中，2225 94BCACAB， . 3 分（计算） 由222DCDBBC得90DBC， . 4 分（勾股定理逆定理应用于证明） 114 51022BCDSBD BC . . 5 分（计算） 解法二：ADABC平面，BCABC平面，ADBC. . 1 分（线面垂直定义） 又BCAB，ADABA， . 2 分（定理条件） BCABD平面. . 3 分（线面垂直判定） 又BDABD平面，BCBD，即90DBC. 2241 254BCDCDB. . 4 分（计算） 114 51022BCDSBD BC . . 5 分（计算） （2）解法一：由（1）知BCABD平面， . 6 分（定理条件） BCDBC平面，. 7 分（定理条件） ABDDBC平面平面， . 8 分（面面垂直判定） 又ABDDBCBD平面平面， . 9 分（定理条件） 过A做AEBD，垂足为E，则AEBCD平面. . 10 分（面面垂直性质） EABCD AE的长即点A到面BCD的距离，Rt DAB中，125AD ABAEBD. . 12 分（计算） 解法二：记点A到面BCD的距离为h. 由D ABCA DBCVV， . 7 分（等积法思路） 得ABCDBCAD Sh S . 9 分（体积公式） Rt CAD中，2241 254ADDCAC， Rt ABC中，2225 94BCACAB， 4 624ABCAD S， 114 51022BCDSBD BC ， . 11 分（计算问题） 得125h . . 12 分（最终答案） 19.（本小题满分 12 分） 在平面四边形ABCD中，3ABAD，2ADBCDBABD . （1）求ABD； （2）若7AC ，2BD ，求ACD的面积. 【命题意图】本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式等基础知识，考查运算求解、空间想象能力，考查转化与化归、数形结合思想，考查数学运算、几何直观素养 【试题解析】 （1）由正弦定理得sinsinABADADBABD, . 2 分(定理分） 所以sinsin23sinsinABADBABDADABDABD, 又sin22sincos2cossinsinABDABDABDABDABDABD, . 3 分（倍角公式分） 得3cos2ABD， MABCDP又0,ABD, . 4 分（范围，求角依据） 所以6ABD. . 5 分（结论分） （2）由余弦定理得2222cosACADCDAD CDADC, . 8 分（余弦定理分） 由（1）知3ADB, 则2BADABDADB , 又2BD，所以1AD. . 9 分（平几计算） 由题设及（1）可知，223ADCADB . 所以2212cos73CDCD , 即260CDCD，解得2CD ，3CD （舍去）. . 10 分（计算） 所以1123sin1 2sin2232ADCSAD CDADC . . 12 分（面积公式 1 分，结论 1 分） 20.（本小题满分 12 分） 已知四棱锥PABCD，PA平面ABCD，底面ABCD为等腰梯形，ABDC，2ABDC，22ADDC，M是PB中点 （1）求证：CM平面PAD； （2）求证：PDBC. 【命题意图】本小题主要考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，线面垂直的性质，勾股定理等基础知识；考查空间想像能力、推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算等 【试题解析】 （1）证法一：取PA中点N，连结,MN DN， M为PB中点，MNAB，且12MNAB. . 1 分（构造对边平行） 又ABDC，2ABDC, 故MNCD，且MNCD, . 2 分（构造平行四边形） NMABCDP即四边形MNDC为平行四边形，则CMDN， . 3 分（定理条件） 又ND 平面,PAD CM 平面PAD， . 4 分（线面平行判定） CM平面PAD. . 5 分（定理使用） 证法二：取AB中点H，连结,MH CH， 则MHPA，又PA平面,PAD MH 平面PAD. . 1 分（线面平行条件） MH平面PAD. . 2 分（线面平行判定） 由AHDC，AHDC， 得四边形CDAH为平行四边形，则CHAD， 又AD平面,PAD CH 平面PAD. CH平面PAD. . 3 分（线面平行判定） MHCHH， M为PB中点，所以平面CMH平面PAD. . 4 分（面面平行判定） 又CM 平面CMH,CM平面PAD. . 5 分（面面平行性质） （2）证法一：取AB中点H，连结DH， 由BHDC，BHDC，得四边形CDHB为平行四边形. . 6 分（构造平行四边形） 则DHBCDHBC，. . 7 分（平行四边形性质） 由22ADDHAH得，90ADH，即ADBC. . 9 分（线线垂直） 又PA平面ABCD，PABC. . 10 分（线面垂直性质） PAADA，BC平面PAD. 11 分（线面垂直判定） 又PD平面PAD，故PDBC. . 12 分 （线面垂直性质） MHABDCP MHABDCP证法二：取AB中点H，连结,DH PH，记,ADa PAb. . 6 分（计算） 由BHDC，BHDC，得四边形CDHB为平行四边形 . 8 分（构造平行） 则DHBC，DHBCa. . 9 分（转化） 则2222,2PDabPHab, . 10 分（边长表示） 得222PHPDDH. . 11 分（计算） 故90PDH，即PDDH，PDBC. 12 分（结论） 21.（本小题满分 12 分） 已知函数( )3sin3cosf xxx，( )max2sin ,2 3cos g xxx，( )( )( )F xf xg x. （1）求( )6g； （2）求( )F x在2 4,)33的单调递增区间； （3）若12 ,xx x，( )3F x ，求21xx的最大值. (注：,max , ,.aaba bbba) 【命题意图】本小题考查三角恒等变换、三角函数的图像与性质、解三角不等式及分段函数等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合、分类与整合、化归与转化及函数与方程思想；考查逻辑推理、直观想象、数学运算等核心素养。 【试题解析】 （1）2sin( )1,2 3cos( )366. . 1 分 所以 ( )max2sin( ),2 3cos( )max1,33666g. . 2 分 （2）在2 4,)33，解2sin2 3cosxx，即tan3x ，得3x或3x . 3 分 故得：当2 ,33x 时，2sin2 3cosxx，所以( )2 3cosg xx； 当 4(,)33x时，2sin2 3cosxx，所以( )2sing xx. . 4 分 当2 ,33x 时，( )( )( )3sin3cos2 3cosF xf xg xxxx 3sin3cos2 3sin()6xxx， . 5 分 令+2 +2 262kxk得2+2 +2 33kxkkZ（）， 因为2 ,33x ，所以取0k ，得33x. . 6 分 当 4(,)33x时，( )( )( )3sin3cos2sinF xf xg xxxx sin + 3cos2sin( +)3xxx，. 7 分 令+2 +2 232kxk，得5+2 +2 66kxkkZ（）， 因为 4(,)33x，所以取1k ，得7463x. . 8 分 所以( )F x在2 4,)33的单调增区间为 ,3 3和7 4,63. . 9 分 （3）由（2）知当2 ,33x 时，( )2 3sin()6F xx， 令( )3F x 即1sin()=62x ，解得=x2 2- -3 3或0=x， 所以2,0)3x 时( )3F x . . 10 分 当 4(,)33x时，( )2sin( +)3F xx， 令( )3F x 即3sin()=32x ，解得=x或=x4 43 3(舍)， 所以4,)3x时，( )3F x . . 11 分 因为( )F x的周期为2，所以当2 ,22 ()xkkkZ时，( )3F x 恒成立， 所以必有122 , ,22 x xkk，故得21xx的最大值为. . 12 分 22.（本小题满分 12 分） 某省采用的“3+1+2”模式新高考方案中，对化学、生物、地理和政治等四门选考科目，制定了计算转换分T（即记入高考总分的分数）的“等级转换赋分规则” （详见附 1 和附 2） ，具体的转换步骤为：原始分Y等级转换；原始分等级内等比例转换赋分。 某校的一次年级统考中，政治、化学两选考科目的原始分分布如下表： 等级 A B C D E 比例 约15% 约35% 约35% 约13% 约2% 政治学科 81,98 72,80 66,71 63,65 60,62 各等级对应的原始分区间 化学学科 各等级对应的原始分区间 90,100 77,89 69,76 66,68 63,65 现从政治、化学两学科中分别随机抽取了 20 个原始分成绩数据如下： 政治：64 72 66 92 78 66 82 65 76 67 74 80 70 69 84 75 68 71 60 79 化学：72 79 86 75 83 89 64 98 73 67 79 84 77 94 71 81 74 69 91 70 并根据上述数据制作了如下的茎叶图： 政治 化学 9 8 7 6 6 5 4 0 4 7 9 9 8 6 5 4 2 1 0 0 1 2 3 4 5 7 9 9 4 2 0 1 3 4 6 2 1 4 （1）茎叶图中各序号位置应填写的数字分别是： 应填 ，应填 ，应填 ，应填 ，应填 ，应填 . （2）该校的甲同学选考政治学科，其原始分为82分，乙同学选考化学学科，其原始分为91分.基于高考实测的转换赋分模拟，试分别探究这两位同学的转换分，并从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法. （3）若从该校政治、化学学科等级为 A 的学生中，随机挑选 2 人次（两科都选，且两科成绩都为 A等的学生，可有两次被选机会） ，试估计这 2 人次挑选，其转换分都不少于 91 分的概率. 附 1：等级转换的等级人数占比与各等级的转换分赋分区间. 附 2：计算转换分T的等比例转换赋分公式：2211YYTTYYTT(其中：1Y, 2Y分别表示原始分Y对应等级的原始分区间下限和上限；1T, 2T分别表示原始分对应等级的转换分赋分区间下限和上限. T的计算结果按四舍五入取整）. 【命题意图】本题考查茎叶图、古典概型、统计抽样、样本估计总体等基本知识；考查学生的阅读理解能力、数据处理能力和运算求解能力；考查统计与概率思想、化归与转化思想、有限无限思想、创新意识和应用意识；用数学的眼光看问题，用数学的思维思考问题，学会根据数学运算的结果解释实际问题，检测逻辑推理、数学运算、数学建模、数据分析等素养 【试题解析】 （1）应填 6 ，应填 7 ，应填 8 ，应填 9 ，应填 8 ，应填 9 . 等级 A B C D E 原始分从高到低排序的等级人数占比 约15% 约35% 约35% 约13% 约2% 转换分T的赋分区间 86,100 71,85 56,70 41,55 30,40 (茎全部答对全部答对得 1 分；叶全部答对全部答对得 1 分.) . 2 分 （2）甲同学选考政治学科原始分82分，故其转换等级为 A,1212819886100YYTT， 根据等比例转换公式得：9882100828186TT，计算得87T . . 3 分 乙同学选考化学学科原始分91分,故其转换等级为 A,12129010086100YYTT， 根据等比例转换公式得：10091100919086TT，计算得87T . . 4 分 故甲、乙同学成绩的转换分都为87分. . 4 分 从公平性的角度谈谈你对新高考这种“等级转换赋分法”的看法： 参考 1：从茎叶图可知，若按原始分计算，样本数据中的政治学科平均成绩比化学学科平均成绩低，但是甲、乙两位同学在所选学科中都是排在第三名，赋分后，对应的转换分是一样的，这就直接体现了他们的相对排名，反应学生的相对实力。由于选择不同组合的学生可以选择同一个专业，所以在不同的选科组合里，要看每一个学生在这个组合中的相对位置。因此新高考这种“等级转换赋分法”具有一定的公平性与合理性. 参考 2：甲同学政治学科原始分为82分，乙同学化学学科原始分为91分，相差9分.转换后，两个人的成绩都是87分，相差0分，所以新高考这种“等级转换赋分法”对尖子生不公平. . 6 分 注：对新高考这种“等级转换赋分法”的公平性的看法，答案不唯一，也没有标准答案，只要言之有理，即可酌情给分. 以上两个示例供阅卷参考. （3）法一：样本数据中，政治学科属 A 等级的原始分有82，84，92，化学学科属 A 等级的原始分有91， 94，98. 因上述数据都只出现 1 次，故选人次与选分数是等价的. . 7 分 仿（2）计算得政治学科原始分84，92所对应的转换分分别为88，95. . 8 分 仿（2）计算得化学学科原始分94，98所对应的转换分分别为92，97. . 9 分 结合（2）可知，样本数据中，政治、化学学科转换分不少于91分对应的原始分有政治的92分，化学的94分和98分. . 10 分 设“随机挑选2人次，其转换分都不少于91分”为事件M. 样本中，从政治、化学学科等级为 A 的学生中，随机挑选2人次，组成的样本空间记为：82，84，82，92，82，91，82，94，82，98，84，92，84，91，84，94，84，98，92，91，92，94，92，98，91，94，91，98，94，98，共含15个基本事件. 事件M 92，94，92，98，94，98，共含3个基本事件； 由于各基本事件发生的可能性相同，故事件M发生的可能性为3,15即15. . 11 分 根据样本估计总体的思想，可估计这2人次挑选，其转换分都不少于91分的概率为15. . 12 分 法二： 样本数据中，政治学科属 A 等级的原始分有82，84，92，化学学科属 A 等级的原始分有91， 94，98. 因上述数据都只出现 1 次，故选人次与选分数是等价的 . 7 分 设政治学科成绩为 A 等的原始分为Y，对应的转换分为T,化学学科成绩为 A 等的原始分为Y，对应的转换分为T, 则1001008186YTYT, 1001009086YTYT , . 8 分 化简得：1450019YT,1440010YT 令91T ,91T得：87.8Y ，93.6Y. . 9 分 所以两学科转换分都不少于91分对应的原始分有政治的92分，化学的94分和98分. . 10 分 以下同解法一.
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