6.4.1 平面几何中的向量方法 ppt课件-新人教A版（2019）高中数学必修第二册高一下学期.pptx

1、6.4.1 平面几何中的向量方法第六章第六章 平面向量及其应用平面向量及其应用 有了运算，向量的力量无限；没有运算，向量就只是一个路标。 思考：你还记得平面向量学习了哪些知识吗？ 1、平面向量的定义； 2、平面向量的加、减、数乘三种线性运算； 3、平面向量的数量积运算； 4、平面向量基本定理； 5、平面向量的坐标表示及坐标运算； 平面向量在解决数学和实际问题中有举足轻重的作用，那么，接下来我们将借助向量的运算探索三角形边长与角度的关系，把解直角三角形问题拓展到解任意三角形问题。复习巩固复习巩固由由于向量的线性运算和数量积运算具有于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质

2、，鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问中的一些问题题下下面我们共同看几个例面我们共同看几个例题题例1.如图，DE是 的中位线，用向量方法证明：ABCBCDEBCDE21,/证明：因为DE是 的中位线，所以从而所以又 于是ABCACAEABAD21,21)(212121ABACABACADAEDEABACBCBCDE21BCDEBCDE21,/建立平面几何与向量的联系，用向量表示问

3、题中涉建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；夹角等问题；把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何元素成几何元素例例2：如图，已知平行四边形：如图，已知平行四边形ABCDABCD，你能发现对角线，你能发现对角线ACAC和和BDBD的长度与两条的长度与两条邻边邻边ABAB和和ADAD的长度之间的关系吗？的长度之间的关系吗？ABCD来源:学科网ZXXK解：取 为基底，设 ，,ADABbADaAB ,则所以b

4、aDBbaAC,22222)(bbaabaAC22222bbaabaDB）（上面两式相加得所以)(22222baDBAC)(22222ABABBDAC第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系：第三步，把运算结果“翻译”成几何关系： 专题：关于三角形的三专题：关于三角形的三“心心”问题问题OABCOABC到到的三顶点距离相等。的三顶点距离相等。故故 是是解析：解析：由由向量模的定义知向量模的定义知的外心的外心 ，选，选B。 222OAOBOCOAOBOC ()()()OAOBABOBOCBCOCOA

5、CA 0BO AO BO C A内心内心 B外心外心 C垂心垂心 D重心重心例例1、若、若o为为ABC内一内一点点 则则O O是是ABCABC的（的（ ）结结论论的外心是 ABCO 外心外心ABCO,:,.OAa OBb OCcBCcb CAab ABba 则证明：设证明：设例例2已已知知O为为ABC所在平面内一点，且满足所在平面内一点，且满足:,.ABOC BCOA CAOB 求证：求证：222222| | | .OABCOBCAOCAB 化简：化简：222222:| .OABCOBCAOCAB 由题设222222()()()ac bba ccb a 同理：同理：,.BCOA CAOB ()

6、0,AB OCbacb ca c 从而从而:c ba cb a 得.ABOC 垂心垂心ABC OAOCOCOBOBOA 1.O是是的垂心的垂心. AB OC CA OB BC OA的垂心ABC是2.O222222.0,.3的垂心的轨迹一定通过则动点，满足的三个点，动点是平面上不共线、是平面上一定点，ABCPCOSCACACCOSBABABOAOPPCBAO结论：结论：练练习习O是平面上一定点，是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点是平面上不共线的三个点，动，动点点 P 满足满足(),|cos|cosABACOPOAABBACC ()|cos|cos|cos|cosABACBC ABB

7、C ACBCABBACCABBACC | |cos() | |cos| | 0|cos|cosBCABBBCACCBCBCABBACC ()|cos|cosABACBCABBACC ()|cos|cosABACABBACC ()|cos|cosABACOPOAABBACC 则则P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABC的的_. 在在ABC的边的边BC的高的高AD上上.P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABC的的垂心垂心.所以，所以，时，时，解解: 垂心垂心1()3PGPAPBPC 练练习习.P.P是是ABCABC所在平面内任一点所在平面内任一点.G.G是是ABCABC的重心的重心CGPCBGPBAGPA

8、PG3()()PGAGBGCGPAPBPC 0GAGBGC 0,AGBGCG 证明证明: G是是ABC的重心的重心PCPBPAPG3)(31PCPBPAPG即即由此可得由此可得（反之亦然（证略）（反之亦然（证略） 重心重心结论结论：ABC 0OCOBOA 1. O是是的重心的重心2. P是是ABC所在平面内任一点所在平面内任一点.G是是ABC的重心的重心1()3PGPAPBPC ., 0, .3的重心的轨迹一定通过则动点满足：不共线的三个点，动点是平面上、是平面上一定点，ABCPACABOAOPCBAOA AB BA AC CO OP P = = O OA A + + ( (+ +) ), ,

9、 0 0, ,+ + ) ). .| |A AB B| | | |A AC C| |例例 O O是平面上一定点，是平面上一定点，A A、B B、C C是平面上不共线的三个点，是平面上不共线的三个点， 动动点点P P满足满足 则则P P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABCABC的（的（ ） A A外心外心 B B内心内心 C C重心重心 D D垂心垂心B 内心内心是是BAC的角平分线上的任意向量，过内心；的角平分线上的任意向量，过内心； (),|ABACRABAC 解：结论结论： A AB BA AC CO OP P= =O OA A+ +( (+ +) ), , 0 0, ,+ +) ). .| |A AB B| | | |A AC C| |1 1、O O是平面上一定点，是平面上一定点，A A、B B、C C是平面上不共线的三个点，是平面上不共线的三个点，动点动点P P满足满足 则则P P的轨迹一定通过的轨迹一定通过ABCABC的内心的内心. .0)|CB|CB|CA|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA 2、O是内心是内心的充要条件是的充要条件是课课堂小结：堂小结：10OAOBOC 、2=0OA OB OB OCOC OA 、30aOAbOBcOC 、OABC是的重心OABC是的内心OABC是的垂心4OAOBOC 、OABC是的外心