北京市通州区2020-2021学年高一下学期期末考试数学试卷 (解析版).docx

1、北京市通州区2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷一、单选题(本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设 z1=3-4i,z2=-2+5i ，则 z1+z2 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.下列说法不正确的是（ ） A.平行六面体的侧面和底面均为平行四边形B.直棱柱的侧棱长与高相等C.斜棱柱的侧棱长大于斜棱柱的高D.直四棱柱是长方体3.下列命题正确的是（ ） A.三点确定一个平面B.梯形确定一个平面C.两条直线确定一个平面D.四边形确定一个平面4.已知点A直线l，又A平面 ，则（

2、 ） A.l/B.l=AC.lD.l=A 或 l5.先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，此试验的样本空间为（ ） A.正面，反面B.正面，反面C.（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面）D.（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）6.给定空间中的直线 l 与平面 ，则“直线 l 与平面 垂直”是“直线 l 垂直于 平面内无数条直线”的（ ） A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知P（A）0.5，P（B）0.3，如果P（AB）0，那么P（A B）等于（ ） A.0.8B.0.5C.0.3D.0.28.已知

3、 a, 是平面，m、n是直线，则下列命题正确的是（ ） A.若 m/,mn ，则 n/B.若 m,m ，则 /C.若 m, ，则 m/D.若 m/,n/ ，则 m/n9.在ABC中，D为BC中点，点E为AD上靠近D点的一个三等分点，若 BE=AB+AC ，则 += （ ） A.1B.34C.-13D.-1210.将边长为1的正方形ABCD沿対角线AC折起，使得平面ADC平面ABC，在折起后形成的三棱锥DABC中，给出下列四个命题：ACBD；BD与平面ABC所成的角为 4 ；DBC是等边三角形；三棱锥DABC的体积是 24 其中正确命题的个数有（ ） A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题(

4、本题共6小题，每小题5分，共30分)11.已知 z(1+2i)=4+3i ，则z_ 12.袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2球，则2球颜色相同的概率等于_ 13.已知半径为R的球，其表面积为S，体积为V，若SV，则R_ 14.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在面对角线AC上运动，给出下列四个命题： D1P平面A1BC1；D1PBD；平面PDB1平面A1BC1；三棱锥A1BPC1的体积不变则其中所有正确的命题的序号是_15.在一次文艺比赛中，12名专业人土和12名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一选手

5、的打分： 小组A 42 45 48 46 52 47 49 55 42 51 47 45小组B 55 36 70 66 75 49 46 68 42 62 58 47B小组的第75百分位数是_；从评委打分相似性上看更像专业人士组成的小组是_16.已知点A（1，1），点B（5，3），将向量 AB 绕点A逆时针旋转 2 ，得到向量 AC ，则点C坐标为_； |BC|= _ 三、解答题(本题共6小题，共80分17.某公司入职笔试中有两道必答题，某应试者答对第一题的概率为0.9，答对第二题的概率为0.8，假设每道题目是否答对是相互独立的 （1）求该应试者两道题都答对的概率； （2）求该应试者只答对一题

6、的概率 18.某校从参加高一年级期中考试的学生中抽取n名学生，统计了他们的某科成绩（成绩均为整数，且满分为100分），绘制成频率分布直方图如图所示，已知分数在40，50）的频数为2 （1）求a，n的值； （2）抽取n名学生中，甲同学期中该科成绩为45分，乙同学期中该科成绩为93分若从40，50）内的两名同学中选一人，从90，100中选出两名同学组成学习小组，求甲、乙两同学恰好在该小组的概率； （3）假设40，50）内的两名同学在期末考试中，甲同学该科考了68分，另一名考了72分，样本中其他学生该科期末成绩不变，试比较n名学生期中成绩方差 s12 与期末成绩方差 s22 的大小、（结论不要求证明

7、） 19.如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA2DC，ACBC，F是BE中点 （1）求证：DC平面AEB； （2）求证：DF平面AEB 20.已知向量 m=(32,cos),n=(1,-2sin),0, （1）求向量 m 的模的取值范围； （2）从条件： m/n ，： mn 这两个条件中选择一个作为条件，求向量 a=(cos,sin) 与 n 夹角的余弦值（注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分） 21.在ABC中，已知AB2， BAC=3,cosACB=41919 ，D为AC中点 （1）求BC的长； （2）求BD的长及BCD的面积 22.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是正

8、方形，PD平面ABCD，PDAB2，点E，F分别是PD，BC的中点 （1）求证：平面PBC平面PDC； （2）在线段PC上确定一点G，使平面EFG平面PAB，并给出证明； （3）求二面角PACD的正弦值，并求出D到平面PAC的距离 答案解析部分一、单选题1.设 z1=3-4i,z2=-2+5i ，则 z1+z2 在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】 A 【考点】复数的代数表示法及其几何意义，复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】 z1=3-4i,z2=-2+5i ，则 z1+z2=3-4i-2+5i=1+i . 故复平面内对应的点位于一象限.

9、故答案为：A. 【分析】 首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数代数形式的几何意义即可得出答案。2.下列说法不正确的是（ ） A.平行六面体的侧面和底面均为平行四边形B.直棱柱的侧棱长与高相等C.斜棱柱的侧棱长大于斜棱柱的高D.直四棱柱是长方体【答案】 D 【考点】棱柱的结构特征 【解析】【解答】根据平行多面体的定义知：平行六面体的侧面和底面均为平行四边形，A正确，不符合题意； 直棱柱的侧棱长与底面垂直，故与高相等，B正确，不符合题意；斜棱柱的侧棱与高可构成以侧棱为斜边，高为直角边的直角三角形，斜边大于直角边，C正确，不符合题意；当直四棱柱的底面不是长方形时不是长方体，D错误，符合题意.

10、故答案为：D. 【分析】由棱柱的几何性质对选项逐一判断即可得出答案。3.下列命题正确的是（ ） A.三点确定一个平面B.梯形确定一个平面C.两条直线确定一个平面D.四边形确定一个平面【答案】 B 【考点】平面的基本性质及推论 【解析】【解答】当三点共线时不能确定一个平面，A不符合题意； 梯形上底和下底平行，能确定一个平面，B符合题意；两条直线异面时不能确定一个平面，C不符合题意；空间四边形不能确定一个平面，D不符合题意.故答案为：B. 【分析】根据题意由确定平面的定理对选项逐一判断即可得出答案。4.已知点A直线l，又A平面 ，则（ ） A.l/B.l=AC.lD.l=A 或 l【答案】 D 【

11、考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】【解答】点A直线l，又A平面 ，则 l 与平面 至少有一个公共点，所以 l=A 或 l 故答案为：D 【分析】由直线与平面的位置关系对选项逐一判断即可得出答案。5.先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，此试验的样本空间为（ ） A.正面，反面B.正面，反面C.（正面，正面），（反面，正面），（反面，反面）D.（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）【答案】 D 【考点】事件与基本事件空间 【解析】【解答】解：先后抛掷两枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，此试验的样本空间为 （正面，正面），（正面

12、，反面），（反面，正面），（反面，反面）故答案为：D 【分析】由基本事件的定义，列举出即可。6.给定空间中的直线 l 与平面 ，则“直线 l 与平面 垂直”是“直线 l 垂直于 平面内无数条直线”的（ ） A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】 A 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】【解答】由题意，若“直线 l 与平面 垂直”则“直线 l 垂直于 平面内无数条直线”成立的，所以充分性是成立的； 若“直线 l 垂直于 平面内无数条直线”则直线“直线 l 不一定平面 垂直”，所以必要性不成立，所以“直线 l

13、 与平面 垂直”是“直线 l 垂直于 平面内无数条直线”成立的充分不必要条件故答案为：A 【分析】由直线与平面的位置关系结合充分和必要条件的定义即可得出答案。7.已知P（A）0.5，P（B）0.3，如果P（AB）0，那么P（A B）等于（ ） A.0.8B.0.5C.0.3D.0.2【答案】 A 【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式 【解析】【解答】 P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.3+0.5-0=0.8 . 故答案为：A. 【分析】由概率的计算公式计算出结果即可。8.已知 a, 是平面，m、n是直线，则下列命题正确的是（ ） A.若 m/,mn ，则 n

14、/B.若 m,m ，则 /C.若 m, ，则 m/D.若 m/,n/ ，则 m/n【答案】 B 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系 【解析】【解答】若 m/,mn ，则 n/ 或 n 或 n 与 相交，A不符合题意； 若 m,m ，则 / ，B符合题意；若 m, ，则 m/ 或 m ，C不符合题意；若 m/,n/ ，则 m/n 或 m,n 相交或 m,n 异面，D不符合题意.故答案为：B. 【分析】根据直线与平面的位置关系对选项逐一判断即可得出答案。9.在ABC中，D为BC中点，点E为AD上靠近D点的一个三等分点，若 BE=AB+AC ，则 += （ ） A.1B.34C.-13D.-12

15、【答案】 C 【考点】向量加减混合运算及其几何意义，向量的线性运算性质及几何意义 【解析】【解答】 BE=BA+AE=BA+23AD=BA+2312(AB+AC)=-23AB+13AC . 故 +=-23+13=-13 .故答案为：C. 【分析】首先由向量加减的运算性质整理已知条件即可得出BE=-23AB+13AC ， 由此即可得出答案。10.将边长为1的正方形ABCD沿対角线AC折起，使得平面ADC平面ABC，在折起后形成的三棱锥DABC中，给出下列四个命题：ACBD；BD与平面ABC所成的角为 4 ；DBC是等边三角形；三棱锥DABC的体积是 24 其中正确命题的个数有（ ） A.1个B.

16、2个C.3个D.4个【答案】 C 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面所成的角 【解析】【解答】如图所示： E 为 AC 中点，连接 DE,BE ，则 DEAC ， BEAC ， DEBE=E ， 故 AC 平面 BDE ， BD 平面 BDE ，故 ACBD ，正确；平面ADC平面ABC， DEAC ，故 DE 平面 ABC ， DBE 即BD与平面ABC所成的角，正方形边长为1，故 DE=BE=22 ，故 tanDBE=1 ， DBE0,2 ，故 DBE=4 ，正确；在直角 DEB 中， DE=BE=22 ，故 DB=DE2+BE2=1 ， BC=CD=1 ，故DBC是等边三角形，正

17、确；SABC=1211=12 ， DE 平面 ABC ，故 VD-ABC=132212=212 ，错误.故答案为：C. 【分析】 结合折起后形成的三棱锥D-ABC进行分析，取AC中点O，连接OB、OD.通过证明AC平面OBD，可判断 ；可证得BD与平面ABC所成的角为DBO可判断；在RtBOD中可求得BD长，可判断 ；三棱锥D-ABC的底面为RtABC、高为OD，计算其体积可判断.，由此得出答案。二、填空题11.已知 z(1+2i)=4+3i ，则z_ 【答案】 2-i 【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】由已知 z=4+3i1+2i=(4+3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i

18、)=4-8i+3i-6i25=2-i 故答案为： 2-i 【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理即可得出答案。12.袋子中有大小和质地完全相同的4个球，其中2个红球，2个白球，不放回地从中依次随机摸出2球，则2球颜色相同的概率等于_ 【答案】 13 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【解析】【解答】2个红球编号为 A,B ，2个白球编号为 a,b ，则依次取2球的基本事件有： AB,Aa,Ab,Ba,Bb,ab 共6个，其中2球颜色相同的事件有 AB,ab 共2个， 所求概率为 P=26=13 故答案为： 13 【分析】根据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把

19、数值代入到概率的个数计算出结果即可。13.已知半径为R的球，其表面积为S，体积为V，若SV，则R_ 【答案】 3 【考点】球的体积和表面积 【解析】【解答】 S=4R2 ， V=43R3 ， S=V ，故 4R2=43R3 ，解得 R=3 . 故答案为：3. 【分析】根据题意由球的表面积公式和体积公式结合已知条件整理计算出结果即可。14.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在面对角线AC上运动，给出下列四个命题： D1P平面A1BC1；D1PBD；平面PDB1平面A1BC1；三棱锥A1BPC1的体积不变则其中所有正确的命题的序号是_【答案】 【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，空间中直线

20、与直线之间的位置关系，直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定 【解析】【解答】在正方体中，D1ABC1 ， D1CBA1 ， 且D1ADC1=D1 ， 平面D1AC平面A1BC1；P在面对角线AC上运动，D1P平面A1BC1；正确 当P位于AC的中点时，D1PBD不成立，错误；A1C1平面BDD1B1；A1C1B1D，同理A1BB1D，B1D平面A1BC1 ， 平面BDD1B面ACD1 ， 平面PDB1平面A1BC1；正确三棱锥A1-BPC1的体积等于B-A1PC1的体积，A1PC1的面积为定值 12 A1C1AA1 ， B到平面A1PC1的高为BP为定值，三棱锥A1-BPC1的体积不变，

21、正确故答案为： 【分析】利用正方体的结构特征结合已知条件，用线面平行的判定定理、线线垂直的判断方法、面面垂直的判定定理、三棱锥的体积公式，从而找出正确命题的序号。15.在一次文艺比赛中，12名专业人土和12名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分，下面是两组评委对同一选手的打分： 小组A 42 45 48 46 52 47 49 55 42 51 47 45小组B 55 36 70 66 75 49 46 68 42 62 58 47B小组的第75百分位数是_；从评委打分相似性上看更像专业人士组成的小组是_【答案】 67；A 【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差 【解析】【解答

22、】将小组B的数据进行排序得到： 36,42,46,47,49,55,58,62,66,68,70,75 ， 1275%=9 ，B小组的第75百分位数是 66+682=67 .XA=112( 42+45+48+46+52+47+49+55+42+51+47+45)47 ，sA2=112(42-47)2+(45-47)2+(45-47)217.08 .XB=112( 55+36+70+66+75+49+46+68+42+62+58+47)56sB2=112(55-56)2+(36-56)2+(47-56)2139 .sA2s22 .【考点】频率分布直方图，众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差，

23、列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【解析】【分析】(1)由频率分布直方图的性质，计算出结果即可。 (2)根据题意首先求出总的事件个数再由题意求出基本事件的个数，再把数值代入到概率的个数计算出结果即可。 (3)根据题意由平均数公式代入数值计算出结果，再由方差公式计算出结果然后再与标准值进行比较即可得出结论。 19.如图，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA2DC，ACBC，F是BE中点 （1）求证：DC平面AEB； （2）求证：DF平面AEB 【答案】 （1）证明：EA和DC都垂直于平面ABC，故 DCAE ， DC 平面AEB， AE 平面AEB， DC平面AEB.（2）证明： G 为 A

24、B 中点，连接 FG,CG ，F是BE中点， G 为 AB 中点， 则 FG_12EA ，DCAE ，EA2DC，故 DC_FG ，故四边形 DCFG 为平行四边形， DFCG ，ACBC ， G 为 AB 中点，故 CGAB ，EA 平面 ABC ， CG 平面 ABC ，故 CGAE ， AEAB=A ，故 CG 平面 ABE ，DFCG ， 故 DF 平面 ABE .【考点】直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质 【解析】【分析】(1)由题意即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。 (2)由已知条件作出辅助线，结合中点的性质得出线线平行，由此得出

25、 四边形 DCFG 为平行四边形，从而得出线线平行，然后由线面垂直的判定定理即可得证出结论。 20.已知向量 m=(32,cos),n=(1,-2sin),0, （1）求向量 m 的模的取值范围； （2）从条件： m/n ，： mn 这两个条件中选择一个作为条件，求向量 a=(cos,sin) 与 n 夹角的余弦值（注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分） 【答案】 （1）m=(32,cos) ，则 |m|=(32)2+cos2=34+cos2 ， 0, ， 故 cos20,1 ，故 |m|=34+cos232,72 .（2）若选择条件： m=(32,cos),n=(1,-2sin),

26、0, ， m/n ， 则 32(-2sin)=1cos ，即 cos=-3sin ，即 tan=-33 ， 0, ，故 =56 .a=(-32,12) ， n=(1,-1) ，故 cosa,n=an|a|n|=-32-1212=-64-24 .若选择条件： m=(32,cos),n=(1,-2sin),0, ， mn ，则 mn=321+cos(-2sin)=0 ，即 sin2=32 ， 0, ， 20,2 ，故 2=3 或 23 ，故 =6 或 3 .当 =6 时， a=(32,12) ， n=(1,-1) ，故 cosa,n=an|a|n|=32-1212=64-24 .当 =3 时， a

27、=(12,32) ， n=(1,-3) ，故 cosa,n=an|a|n|=12-3212=-12 .综上所述：当 mn 时， cosa,n=64-24 或 -12 .【考点】向量的模，平面向量的坐标运算，平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，数量积表示两个向量的夹角 【解析】【分析】(1)根据题意由向量模的坐标公式，计算出|m|=(32)2+cos2=34+cos2再由余弦函数的性质即可得出向量模的取值范围。 (2) 若选择条件 由共线向量的坐标公式代入数值计算出tan=-33 ， 由此得出角=56然后再由夹角的数量积坐标公式计算出结果即可。 若选择条件 ，根据数量积的坐标公式代入数值计算出

28、sin2=32由此得到角的大小再由夹角的数量积公式计算出结果即可。21.在ABC中，已知AB2， BAC=3,cosACB=41919 ，D为AC中点 （1）求BC的长； （2）求BD的长及BCD的面积 【答案】 （1）cosACB=41919 ， ACB(0,) ，则 sinACB=1-cos2ACB=5719 ， 根据正弦定理： BCsinA=ABsinACB ，即 BC32=25719 ，解得 BC=19 .（2）在 ABC 中：根据余弦定理， BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC ， 即 19=4+AC2-2AC ，解得 AC=5 （舍去负值），故 AD=52 .在 ABD

29、中，根据余弦定理：BD2=AB2+AD2-2ABADcosBAC=4+254-5=214 ，故 BD=212 .SBCD=12BCCDsinACB=1219525719=534 .【考点】正弦定理，余弦定理 【解析】【分析】 (1)由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinACB的值，进而在ABC中，由正弦定理可解得BC的值. (2)由已知在ABC中利用余弦定理得到BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC ， 解得AC的值，由已知可求得AD=CD=号，在ABD中，由余弦定理可得BD的值，进而利用三角形的面积公式可求SBCD的值. 22.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是正方形，PD平

30、面ABCD，PDAB2，点E，F分别是PD，BC的中点 （1）求证：平面PBC平面PDC； （2）在线段PC上确定一点G，使平面EFG平面PAB，并给出证明； （3）求二面角PACD的正弦值，并求出D到平面PAC的距离 【答案】 （1）PD 平面 ABCD ， BC 平面 ABCD ，故 PDBC . 正方形 ABCD ，故 BCCD ， CDPD=D ，故 BC 平面 PCD ，BC 平面 PBC ，故平面 PBC 平面 PCD .（2）G 为 PC 中点， F 为 BC 中点， E 为 PD 中点，故 FGPB ， EGCD ，即 EGAB ， AB 平面 PAB ， PB 平面 PAB

31、，故 FG 平面 PAB ， EG 平面 PAB ，FG 平面 EFG ， EG 平面 EFG ，且 FGEG=G ，故平面 PAB 平面 EFG .（3）O 为 AC 中点，连接 DO,PO ，则 ACDO ， PD 平面 ABCD ， AC 平面 ABCD ，故 PDAC ， DOPO=O ，故 AC 平面 PDO ，故 POD 为二面角 PACD 的平面角.DO=2 ， PO=PD2+DO2=4+2=6 ， sinPOD=PDPO=26=63 .作 DHPO 于 H ， AC 平面 PDO ， DH 平面 PDO ，故 ACDH ，DHPO ， POAC=O ，故 DH 平面 PAC ，

32、D到平面PAC的距离为 DH .PDO 中，根据面积法： DH=PDDOPO=226=233 .【考点】平面与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，平面与平面垂直的判定，与二面角有关的立体几何综合题，点、线、面间的距离计算 【解析】【分析】 (1)利用PD平面ABCD得出PDBC，ABCD是正方形得出CDBC，即证BC平面PCD，平面PBC平面PCD； (2)取PC的中点G，连接EG，FG，得出平面EFG/平面PAB；利用平面与平面平行的判定定理证明即可； (3)连接BD交AC于点O，连接PO，POD是二面角P-AC-D的平面角，求出sinPOD，过点D作DNPO，交PO于点N，DN是点D到平面PAC的距离，利用等面积法求出DN.