6.4.3.2正弦定理ppt课件-新人教A版（2019）高中数学必修第二册高一下学期.pptx

1、6.4.3.2正弦定理余弦定理余弦定理 已知三边已知三边, ,怎样求三个角呢？怎样求三个角呢？Cabbaccos2222Abccbacos2222Baccabcos2222bcacbA2cos222acbcaB2222cosabcbaC2cos222推论：推论：C CB BA Ab ba ac c温故知新温故知新在RtABC中,各角与其对边的关系:caA sincbB sin1sin C不难得到不难得到:CcBbAasinsinsinCBAabccc新课讲解新课讲解在非直角三角形在非直角三角形ABC中有这样的关系吗中有这样的关系吗?CcBbAasinsinsinbADcADCBsin,sin所

2、以AD=csinB=bsinC, 即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB图1过点A作ADBC于D,此时有若三角形是锐角三角形, 如图1,由上证明，可得结论：由上证明，可得结论：CCbADsinsin ）（且CcBbAasinsinsin仿锐角三角形中证明可得：D若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 此时也有cADB sin交BC延长线于D,过点A作ADBC，CAcbB图2在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.CcBbAasinsinsin即思考思考是否可以用其他方是否可以用其他方法证明正弦定理法证明正弦定理?探究探究O

3、C/cbaCBA,90CCCBARCcBbAaRBbRAa2sinsinsin2sin,2sin同理作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,RcCC2sinsinRCc2sin剖析定理、加深理解正弦定理可以解决三角形中哪类问题：2.已知两角和任一边，求其他两边和一角.3.已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角.RCcBbAa2sinsinsin1.边角互换CcBbsinsin解：由15030 或C222cba21360sin1sinsin0bBcC90ACAacBbABC, 1,60,310和求中，：在例题ACB06013正弦定理正弦定理301501802106015

4、0CC，由于已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其他边和角求其他边和角例 2 在ABC 中，已知c = 10,A = 45。, C = 30。求 a , b (精确到0.01）.解： 且 105C)(A180 BCcBbsinsin b = CBcsinsin19.32=30sin105sin10已知两角和任意边，求其他两边和一角已知两角和任意边，求其他两边和一角CcAasinsina = CAcsinsin14.14=21030sin45sin10BACbc)26(5a例例3 3 在在ABC中，已知中，已知c=10cm,=10cm,A=45=45。, ,C=30=30。求求

5、a , , b . .解： 且 105C)(A180 BCcBbsinsin b = CBcsinsin(cm)=30sin105sin10已知两角和任意边，求其他两边和一角已知两角和任意边，求其他两边和一角CcAasinsina = CAcsinsin(cm)=21030sin45sin10BACabc)26(5正弦定理的常见变形1若ABC的三个内角满足sinA：sinB：sinC=5：11：13，则ABC（ ） A一定是锐角三角形 B一定是直角三角形 C一定是钝角三角形 D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 C C 练习练习 2设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos

6、C+ccosB=asinA，则ABC的形状为（ ） A锐角三角形B直角三角形 C钝角三角形D不确定B B 三角形面积公式三角形面积公式)(21)1(边边上上的的高高表表示示ahahSaa AbcBacCabSsin21sin21sin21) 2 ( 例例4在 ABC中，已知a,b,A,讨论三角形解探究：的情况.sinsinbAa分析：由B=,可求出角B，sinc=sinaCA从而.1.当A为钝角或直角时:必须ab,才能有且只有一解，否则无解。0(),AB则C=1802.当A为锐角时:如果ab,那么只有一解。如果absinA,则有两解;（2）若a=bsinA,则只有一解.（3）若absinA,则

7、无解.方法二：画圆法方法二：画圆法 若若A A为锐角时为锐角时: :锐角一解一锐、一钝二解直角一解无解babaAbAbaAbasinsinsinn若若A A为直角或钝角时为直角或钝角时: :锐角一解无解baba b a b a b a b a a 已知边a,b和 A 仅有一个解 有两个解 仅有一个解 无解 a b CH=bsinAab a=CH=bsinA ab的情的情况，以后做题时要注意。况，以后做题时要注意。练习（练习（1 1）(2016(2016全国卷全国卷文文9)9) 103.s31,4AinABCBCBABC，则边上的高等于中，1010.B55.C10103.DD D 10103.c

8、os31,4AABCBCBABC，则边上的高等于中，1010.B1010.C10103.D（2 2）(2016(2016全国卷全国卷理理8)8) C C 例6 6：如图,在ABC中, 求证: ABC的面积 .证明证明( , ),( , ).ABx yACu v 1|2SxvyuO (A)B(x,y)C(u,v)xy1| sin2SABACA 2221| sin2ABACA 2221| (1cos)2ABACA 2221|(| cos)2ABACABACA 221(|)()2ABACABAC ( , ),( , ).ABx yACu v 222221()()()2Sxyuvxuyv21()2xv

9、yu1|2xvyu(1)正弦定理适应的范围 A)直角三角形 B)锐角三角形C)钝角三角形D)任意三角形(2)在三角形ABC中如果bBaAcossin，则B的值为A) 30A) 30o o B) 45 B) 45o o C) 60 C) 60o o D) 90 D) 90o o(3)在ABC中，A=60o,C=45o, b=2,则此三角形的最小边长为 _( B )( B )232( ( ) )当堂练习当堂练习4.在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，试证明：a=bcosC+ccosB证明:由余弦定理知abcbaC2cos222cabacB2cos222右边=cabaccabcbab222

10、22222abacacba22222222aa222左边 aABCDcba 5. 5.在任一在任一 中，求证：中，求证： ABC 0)sin(sin)sin(sin)sin(sin BAcACbCBa证明：由于正弦定理：令证明：由于正弦定理：令 CkcBkBAkasin,sin,sin 左边左边 代入左边得：代入左边得： )sinsinsinsinsinsinBCACAB CBCABAksinsinsinsinsin(sin 等式成立等式成立=右边右边0 小结小结; sin2 , sin2 sin2(1)CRcBRbARa ，; 2sin , 2sinB , 2sin ).3(RcCRbRaA

11、 ; sin:sin:sin: ).2(CBAcba ;sinsin ,sinsin ,sinsin ).4(AaCcCcBbBbAa )(2sinsinsin外外接接圆圆的的半半径径为为其其中中ABCRRCcBbAa 1.正弦定理正弦定理正弦定理的变形：正弦定理的变形：2.三角形面积公式三角形面积公式)(21)1(边边上上的的高高表表示示ahahSaa AbcBacCabSsin21sin21sin21) 2 ( 若若A A为锐角时为锐角时: :锐角一解一锐、一钝二解直角一解无解babaAbAbaAbasinsinsinn若若A A为直角或钝角时为直角或钝角时: :锐角一解无解baba b a b a b a b a a 已知边a,b和 A 仅有一个解 有两个解 仅有一个解 无解 a b CH=bsinAab a=CH=bsinA aCH=bsinA A C B A C B1 A B A C B2 C H H H2.三角形解的个数三角形解的个数