第八章立体几何初步 期末单元复习卷-新人教A版（2019）高中数学必修第二册高一下学期.docx

1、立体几何初步期末单元复习卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 在正四棱锥中，M为PA的中点，N为BC的中点，则从点M沿着四棱锥的表面到点N的最短路径的长度为A. B. C. 4D. 32. 若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A. B. C. D. 3. 我国古代数学名著九章算术中记载“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺问积几何？”这里的“羡除”，是指由三个等腰梯形和两个全等的三角形围成的五面体在图1所示羡除中，等腰梯形ABCD和等腰梯形ABFE的高分别为7和3，且这两个等腰梯形所在的平面互相垂直按如图2的分割方式进行体积计算，得该“羡除

2、”的体积为A. 84B. 66C. 126D. 1054. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，对于下列四个命题：；其中正确命题的个数有A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5. 已知直线l和平面内的两条直线m，n，则“”是“且”的A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是A. B. C. D. 7. 已知m，n，l是三条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8

3、. 已知点E在正方体的侧面内含边界，F是的中点，若，则的最小值为A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 如图所示，在正方体中， M ， N 分别为棱，的中点，其中正确的结论为A. 直线AM与是相交直线B. 直线AM与BN是平行直线C. 直线BN与是异面直线D. 直线MN与AC所成的角为10. 如图，在四棱锥中，M、N分别为AC、PC上的点，且平面PAD，则A. B. 平面PABC. D. 11. 正方体的棱长为1，E，F，G分别为BC，的中点，则A. 直线与直线AF垂直B. 直线与平面AEF平行C. 平面AEF截正方体所得的截面面积为D. 点C与点G到平面AEF

4、的距离相等12. 如图，在圆锥SO中，轴截面SAB是边长为2的等边三角形，点M为高SO上一动点，圆柱MO为圆锥SO的内接圆柱内接圆柱的两个底面的圆周都在圆锥表面上点P为圆锥底面的动点，且则A. 圆柱MO的侧面积的最大值为B. 圆柱MO的轴截面面积的最大值为C. 当时，点P的轨迹长度为D. 当时，直线MP与圆锥底面所成角的最大值为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 如图，圆锥的底面圆直径AB为2，母线长SA为4，若小虫P从点A开始绕着圆锥表面爬行一圈到SA的中点C，则小虫爬行的最短距离为_.14. 已知一个长方体共顶点的三个面的面积分别为2，3，4，则其体对角线长度为_.15. 如

5、图为正方体表面的一种展开图，则在原正方体中，四条线段所在直线中互为异面直线的有_对16. 矩形ABCD中，现将沿对角线AC向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为_；设二面角的平面角为，当在内变化时，的范围为_.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 如图所示棱锥中，底面ABCD是长方形，底面周长为8，且PD是四棱锥的高.设当时，求三棱锥的体积；四棱锥外接球的表面积的最小值.18. 如图，已知平面，且，设梯形ABCD中，且，求证：AB，CD，l共点相交于一点19. 如图所示，在四棱锥中，平面PAD，E是PD的中点求证：；求证：平面20. 如图，四棱锥中，为等边三角形，平面，F为

6、的中点.证明：平面；证明：平面平面；若，求直线与平面所成角的正弦值.21. 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点.求证：平面若平面平面，平面平面，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论.22. 如图所示，正四棱锥中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；问在棱AD上是否存在一点F，使侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由.答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】 本题考查了棱锥的侧面展开图特征，属于基础题 .【解

7、答】 解：如图，易知将平面 PBC 和平面 PAB 沿着 PB 展开，此时 MN 最小 . 因为 ，所以四边形 PABC 是菱形 . 因为 M 为 PA 的中点， N 为 BC 的中点，所以最短路径的长度为 2.【答案】C【解析】【分析】 本题考查球的表面积，考查学生空间想象能力，球的内接体问题，是基础题 正方体的体对角线就是球的直径，求出半径后，即可求出球的表面积 【解答】 解：由题意，正方体的体对角线就是球的直径， 所以 ， 所以 ， 故选： 3.【答案】A【解析】【分析】 本题考查简单组合体 柱、锥、台 的表面积与体积、棱柱与棱锥的体积，属于中档题 由图可知该“羡除”的中间部分为直三棱柱

8、，左右两侧为两个全等的四棱锥，根据棱柱与棱锥体积公式求出该“羡除”的体积【解答】 解：按图 2 中的分割方式，该“羡除”的中间为直三棱柱， 直三棱柱的底面为直角三角形，两条直角边长分别为 7 和 3 ，直三棱柱的高为 6 ， 则直三棱柱的体积 ； 该“羡除”的两侧为全等的两个四棱锥，四棱锥的底面为直角梯形， 直角梯形的面积 ，四棱锥的高为 ， 则两个四棱锥的体积 故该“羡除”的体积 故选： 4.【答案】A【解析】【分析】 本题考查空间线线、线面和面面的位置关系的判断，注意运用判定定理和性质定理，考查空间想象能力和推理能力，属于基础题 由面面平行的判定定理，即可判断的正误；运用线面平行的性质定理

9、，即可判断的正误；由面面平行的判定定理和性质，即可判断的正误；由线面的位置关系，及线面平行的性质即可判断的正误 【解答】 解：由 ， ， ， ，则平面 与 可能相交，故不正确； ， ，可能有 ，则 不成立，可得不正确； ， ， 或 m ， n 异面，则不正确； ， 或 m ， n 异面，则不正确 综上可得，没有正确的命题 故选： 5.【答案】C【解析】【分析】 本题考查空间中线面位置关系，属于基础题 .【解答】 解：由直线 l 和平面 内的两条直线 m ， n ，可得， 充分性：因为“ ”，所以 l 必垂直于平面内的所有直线，所以“ 且 ” ; 必要性：由“ 且 ”，若 ，则 l 不一定垂直平

10、面 ， 综上可得，“ ”是“ 且 ”的充分不必要条件 . 6.【答案】A【解析】【分析】 本题考查空间中线面平行的判定定理，属于中档题 利用线面平行判定定理可知 B 、 C 、 D 均不满足题意，从而可得答案，对 A 利用反证法可以证明结论 【解答】 解：对于选项 B ，由于 ，结合线面平行判定定理可知 平面 MNQ ，故 B 不满足题意； 对于选项 C ，由于 ，结合线面平行判定定理可知 平面 MNQ ，故 C 不满足题意； 对于选项 D ，由于 ，结合线面平行判定定理可知 平面 MNQ ，故 D 不满足题意； 对于选项 A ，如图，连接 BC ，易知 ，则根据线面平行判定定理得知 面 QN

11、M ， 如果 面 MNQ ，又 ，所以面 面 QNM ， 而事实上 QN 和 AC 有交点，矛盾， 所以直线 AB 与平面 MNQ 不平行 所以选项 A 满足题意， 故选 7.【答案】D【解析】【分析】 本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题 在 A 中， 与 相交或平行；在 B 中， 与 相交或平行；在 C 中， 与 相交或平行；在 D 中，由面面平行的判定定理得 【解答】 解：由 m ， n ， l 是三条不同的直线， ， 是两个不同的平面，知： 在 A 中，若 ， ， ， ， ，则 与 相交或平行，故 A 错误； 在 B 中

12、，若 ， ， ， ，则 与 相交或平行，故 B 错误； 在 C 中，若 ， ， ， ， ，则 与 相交或平行，故 C 错误； 在 D 中，若 ， ， ，则由面面平行的判定定理得 ，故 D 正确 故选： 8.【答案】A【解析】【分析】 本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，属于中档题 取 AB 的中点 H ，可得 平面 ，当点 E 在直线 上时， ，故 BE 最短时 最小，此时 E 点在点 G 的位置，进而即可求得结果 .【解答】 解：如图所示，取 AB 的中点 H ，连接 ，设 ， . 易得 ， 因为 平面 ， 平面 ， 所以 ， 又 ， ， 平面 ， 所以

13、平面 ，又 平面 ， 所以 ， 易得 ， ， 面 BCF ， 所以 平面 BCF ， 所以 因为 平面 ， 故 平面 ，所以 E 在直线 上，可使得 由于 ，故 中， ， 所以当 EB 取最小值时， 最小，此时 E 点在点 G 的位置 . 设正方体棱长为 2 ，得 ， 所以 ， 的最小值 故选： 9.【答案】CD【解析】【分析】 本题考查异面直线的判定方法，考查两条直线的位置关系，两条直线有三种位置关系：异面，相交或平行 利用两条直线是异面直线的判断方法来验证 ABC 的正误，利用平移法，判断 D ，得到结论【解答】 解： 平面 ， 平面 ， ， 直线 AM 与直线 异面，故 A 不正确， 同

14、理可证：直线 AM 与直线 BN 异面，故 B 不正确；直线 BN 与直线 异面，故 C 正确， 利用平移法，可得直线 MN 与 AC 所成的角即为 和 AC 所成角，即为 ，故 D 正确， 故选 10.【答案】BD【解析】【分析】 本题考查直线与平面平行的性质定理的应用、线面平行的判定，属于基础题 直接利用直线与平面平行的性质定理推出结果即可 【解答】 解：四棱锥 中， M ， N 分别为 AC ， PC 上的点，且 平面 PAD ， 平面 PAC ，平面 平面 ， 由直线与平面平行的性质定理可得： ， 因为 平面 PAB ， 平面 PAB ， 所以 平面 PAB 故选 11.【答案】BC【

15、解析】【分析】 本题考查空间中线线、线面、面面的位置关系与判定，属于中档题 . A ， D 易于判断， B 可以作平面，使平面 平面 AEF ，由面面平行的性质定理即可， C 选项，分析出：截面是梯形至关重要 . 【解答】 解： ，显然 AF 与 不垂直，故 A 错误； 取 的中点 M ，连接 GM ， ，则 ， 故 同理可得 又 平面 平面 AEF ， 平面 ， 直线 与平面 AEF 平行 ，故 B 正确； 平面 AEF 截正方体所得的截面为 ， 截面面积为 ， 故 C 正确； 选项 D ，因为 E 为 BC 中点，所以 B ， C 到平面 AEF 的距离相等，而 B ， G 到平面 AEF

16、 的距离不相等，所以点 C 与点 G 到平面 AEF 的距离不相等 ，故 D 错误 . 故选 12.【答案】ACD【解析】【分析】 本题考查圆锥的相关性质，考查直线与平面的夹角求法，数形结合思想，基本不等式等，属于较综合的中档题 设圆柱 MO 的底面半径为 ，则高 ，进而由基本不等式可判断 A 、 B ，在 AB 上取一点 H ，使得 ，探究可得点 P 的轨迹是过点 H 且垂直 AB 的弦，进而可判断 C 、 【解答】 解：设内接圆柱 MO 的底面半径为 ，高 ，则 ，即 ， 圆柱 MO 的侧面积 ，当仅当 时取等号，故 A 正确； 圆柱 MO 的轴截面面积 ，当仅当 时取等号，故 B 错误；

17、 在 AB 上取一点 H ，使得 ，因为 ，且 ，所以 平面 MPH ， 则 ，又因为 ，且 ，所以 平面 AMH ，则 ， 所以点 P 的轨迹是过点 H 且垂直 AB 的弦， 当 时，由 ，得 ，此时，该弦的长度为 ，故 C 正确； 当 时，由 ，得 ，则当点 P 与点 H 重合时，直线 MP 与圆锥底面所成角的最大值为 ，故 D 正确； 故选： 13.【答案】【解析】【分析】 本题考查了圆锥侧面展开图是扇形的应用问题，属于基础题 . 要求小虫爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，【解答】 解：由题意知底面圆的直径 ， 故底面周长等于 ， 底面面积为 ，

18、设圆锥的侧面沿母线 PA 剪开展开后的扇形圆心角为 弧度， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得 ，解得 ， 所以展开图中 ， 即 ， 所以小虫爬行的最短距离为 故答案为 14.【答案】【解析】【分析】 本题考查了长方体的结构特征，属于基础题 . 根据已知条件求出同一顶点出发的三条棱的长度，然后由公式计算 . 【解答】 解：设长方体共顶点的三条棱长分别为 a ， b ， c ， 由已知可得 ，解得 长方体的对角线长是： 故答案为： 15.【答案】3【解析】【分析】 本题主要考查异面直线的定义，属于基础题 . 将展开图还原为正方体，根据异面直线的定义即可得到答案 . 【解答】 解：还原后的正方体如

19、图，其中 AB 与 CD ， AB 与 GH ， EF 与 GH 为异面直线，共 3 对 故答案为 16.【答案】【解析】【分析】 本题考查空间点线面距离的求法，几何体的外接球的体积的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，属于较难题 设 AC 中点为 O ，则 O 为四面体外接球球心，求出 ，即可求解 ；作 交 AC 于 E 点，作 ，由余弦定理，进行求解即可【解答】 解：设 AC 中点为 O ，如图所示， 则 O 为四面体外接球球心，半径 ，故 ； 由矩形 ABCD 中， ， ，可得 ， 作 交 AC 于 E 点，作 ， 可得 ， 在 中，利用勾股定理可得 ，则 ， 且 ， 可得 ，

20、 故此时 ，由余弦定理求得 ， 在 中，由余弦定理求得 ， 在 中，由余弦定理求得 ， 根据 ， 即可确定 故答案为： ； 17.【答案】解：当时，的面积为，三棱锥的体积为：将四棱锥补成长方体，如图，则四棱锥外接球和长方体的外接球相同，设，则，四棱锥外接球半径：，当时，R取得最小值为，球O的表面积，四棱锥外接球的表面积的最小值【解析】本题考查三棱锥的体积、四棱锥的外接球的表面积的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题当时，三棱锥的体积为，由此能求出结果将四棱锥补成长方体，则四棱锥外接球和长方体的外接球相同，由此能求

21、出四棱锥外接球的表面积的最小值18.【答案】证明在梯形ABCD中，CD是梯形ABCD的两条腰，CD必定相交于一点，设又，且，又，即AB，CD，l共点【解析】本题考查平面的基本性质，属于基础题.由题意和平面的基本性质，证明AB与CD的公共点为两个平面的公共点即可.19.【答案】证明：在四棱锥中，平面PAD，平面ABCD，平面平面，取PA的中点F，连接EF，BF，是PD的中点，则EF为的中位线，又由可得，且，四边形BCEF是平行四边形，平面PAB，平面PAB，平面【解析】本题考查线面平行的性质定理及线面平行的判定定理，属于基础题.由线面平行的性质定理即可得证;取PA的中点F，连接EF，BF，可以证

22、明四边形BCEF是平行四边形，得，由线面平行的判定定理即可得证.20.【答案】解：证明：取中点E，连接DE，EF，则且，四边形为平行四边形，平面，平面，平面证明：平面，是正三角形，平面，平面，平面，平面平面过点作，则平面，即为直线与平面所成角，在中，利用等面积法得，所以【解析】本题考查线面平行的判定定理、面面垂直的判定定理、线面角的求解，属于中档题取中点E，证明；先证明平面，再结合，证明面面垂直过点作，由知平面，求21.【答案】证明：如图，记AC与BD的交点为O，连接因为O，M分别是AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，所以四边形AOEM是平行四边形，所以又因为平面BDE，平面BDE，所以平

23、面，证明如下：由知平面BDE，又平面ADM，平面平面，所以，同理，平面BDE，又平面ABM，平面平面，所以，所以【解析】本题考查了直线与平面的位置关系及直线与直线的位置关系，属于中档题.记AC与BD的交点为O，连接OE，可证，从而可证得平面BDE；由知平面BDE，可证得，同理证得，从而可得22.【答案】解：取AD中点M，连接MO，PM，因为面ABCD，所以，依条件可知，平面POM，所以平面POM，则，则为所求二面角的平面角又面ABCD，为侧棱PA与底面ABCD所成的角，设，连接AE，OE，为异面直线PD与AE所成的角或其补角，平面PBD，平面又平面PBD，；延长MO交BC于N，取PN中点G，连

24、BG，EG，平面PMN平面平面又，为正三角形又平面平面，平面是AD的4等分点，靠近A点的位置【解析】本题考查二面角及平面角的求法，异面直线所成角的正切值的求法，属于较难题.取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知为所求二面角的平面角，为侧棱PA与底面ABCD所成的角，则，设，则，；依题意连结AE，OE，则，故为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证平面POB，故为直角三角形，所以；延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得平面PMN，故平面平面PBC，而为正三角形，易证平面PBC，取MA的中点F，连EF，则四边形MFEG为平行四边形，从而，平面PBC，F是AD的4等分点，靠近A点的位置