广东省广州市2020-2021学年高一下学期期末三校（广大附广外铁一）联考数学试题（含答案）.rar
高二数学试卷第 1页（共 4 页）2020-2021 学年下学期期末三校联考学年下学期期末三校联考高一数学高一数学命题学校：广大附中命题学校：广大附中命题人：命题人：审题人：审题人：本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.一、选择题：本大题 8 小题，每小题分，共 40 分.1i为虚数单位，若复数z满足11zii ，则z （）A0B1C2D22下列结论中，错误的是（）A“1x ”是“20 xx”的充分不必要条件B已知命题2:,10pxR x ，则01,:2xRxpC.“220 xx”是“1x ”的充分不必要条件；D. 命题：“xR ，sin1x ”的否定是“0 xR，0sin1x ”；3如图，在平行四边形ABCD中，13AEAC ，若EDADAB ，则（）A13B1C23D134若某同学连续3次考试的名次（3次考试均没有出现并列名次的情况）不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是（）A甲同学：平均数为2，方差小于1B乙同学：平均数为2，众数为1C丙同学：中位数为2，众数为2D丁同学：众数为2，方差大于15如图，矩形ABCD中，3AB ，正方形ADEF的边长为 1，且平面ABCD 平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为（）A77B77C55D556化简32cos202tan20所得的结果是（）A14B12C32D2图 1高一数学试卷第 2页（共 4 页）7已知函数 yf x是定义在R上的偶函数，且 2fxf x，当01x时， f xx，设函数xxfxg7log)()(，则 g x的零点的个数为（）A6B12C8D148已知正实数x，y满足434 yx,则231121yx的最小值为（）A4283B3221C1223D1222二、多选题：本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，选对得 5，漏选得 2 分，错选得 0 分.9下列命题中正确的是（）A(0,)x ，23xxB(0,1)x ，23loglogxxC(0,)x ，121( )log2xxD1(0,)3x ，131( )log2xx10正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F，G 分别为 BC，CC1，BB1的中点则（）A直线 D1D 与直线 AF 垂直B直线 A1G 与平面 AEF 平行C平面 AEF 截正方体所得的截面面积为98D点 C 与点 G 到平面 AEF 的距离相等11将曲线xxxycos)sin(3sin2上每个点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到 g x的图像，则下列说法正确的是（）A213gB g x的图像可由1cos2yx的图像向右平移23个单位长度得到C g x在0,上的值域为30,2D g x的图像关于点(,0)6对称12设函数 ,fxx xbxc b cR，则下列命题中正确的有（）A若201920192020ff，则1010c B方程 0f x 可能有三个实数根C当0b 时，函数 fx在R是单调增函数D当0b 时，函数 fx在R上有最小值三、填空题：本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.小明和小红各自扔一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明扔出的点数不大于 2 或小红扔出的点数不小于 3 的概率为_高二数学试卷第 3页（共 4 页）14.如图所示，在ABC，6,45 ,120 ,3ABABCADBCD ，则AC的长是_15在平行四边形 ABCD 中，ABBD，1222 BDAB，将此平行四边形沿对角线 BD 折叠，使平面ABD 平面 CBD，则三棱锥 A-BCD 外接球的体积是_.16已知函数 2ln2010 xxx xf xxx，若 f x的图象上有且仅有 2 个不同的点关于直线23y的对称点在直线30kxy，则实数k的取值是_四、解答题：本大题四、解答题：本大题 6 6 小题，第小题，第 1 17 7 题题 1 10 0 分，其余各题分，其余各题 1 12 2 分，共分，共 70 分。17.（10 分）在ABC中，AB、为锐角，角ABC、 、所对的边分别为abc、 、，且510sin,sin510AB（I）求AB的值；（II）若21ab，求abc、 、的值。18. （12 分）春节期间，某地昼夜气温呈周期性变化，温度y随时间x变化近似满足函数bxAy)sin(（0A，0，） ，且在每天凌晨2时达到最低温度3，在下午14时达到最高温度9, 从 2 时到 14 时为半个周期求这段时间气温随时间变化的函数解析式；这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为0？注：一昼夜指从凌晨 0 时（含）到午夜 24 时（不含） 19. （12 分）如图，在四棱锥BACDE中，正方形ACDE所在的平面与正三角形ABC所在的平面垂直，点NM,分别为AEBC,的中点，点F在棱CD上.（1）证明：MN平面BDE.（2）若2AB ，点M到AF的距离为305，求CF的长.高一数学试卷第 4页（共 4 页）20. （12 分）某游乐园为了吸引游客，推出了 A，B 两款不同的年票，游乐园每次进园门票原价为 100 元。A 年票前 12 次进园门票每次费用为原价，从第 13 次起，每次费用为原价的一半，A 年票不需交开卡工本费。B 年票每次进园门票为原价的 9.5 折，B 年票需交开卡工本费a元（Na ） 。已知某市民每年至少去该游乐园 11 次，最多不超过 14 次。该市民多年来年进园记录如下：（1）估计该市民年进园次数的众数；（2）若该市民使用 A 年票，求该市民在进园门票上年花费的平均数；（3） 从该市民在进园门票上年花费的平均数来看，若选择 A 年票比选择 B 年票更优惠，求a的最小值.21 （12 分）如图 1，在直角梯形ABCD中，/AB CD，90B，3AB ，2CD ，3BC ，E在AB上，且ADAE. 将ADE沿DE折起，使得点A到点P的位置，且PBPC，如图2.（1）证明：平面PDE 平面BCDE；（2）求二面角CPBE的正弦值.22. （12 分）已知函数( )ln(1)(1) ,xf xaeax(其中0a ) 在R上是减函数,点1,12233(), (,(),(,()A x f xB xf xC xf x从左到右依次是函数( )yf x图象上三点, 且2132xxx.() 求证：ABC是钝角三角形;() 试问,ABC能否是等腰三角形?若能,求ABC面积的最大值;若不能,请说明理由.年进园次数11121314频率0.150.400.100.35答案第 1页，总 5页2020-2021 学年下学期期末三校联考高一数学年下学期期末三校联考高一数学学答案答案1-8：BCDACBBA9BD10BC11BC12ABC13791471561628由题意知：( )f x关于1x 对称，而 g x的零点即为xxf7log)(的根，又( )f x在R上的偶函数，知：( )0,1f x 且周期为 2，关于 y 轴对称的函数，而77- x时，x7log且关于 y 轴对称由( )f x与x7log在(0,)的图象，共有 6 个交点由偶函数的对称性知：在(,0)上也有 6 个交点，所以共 12 个交点.故选：D10BC根据题意，假设直线 D1D 与直线 AF 垂直，又1DDAE,AEAFA AE AF平面AEF，所以1DD 平面 AEF,所以1DDEF,又11/DDCC,所以1CCEF,与4EFC矛盾，所以直线 D1D 与直线 AF 不垂直，所以选项 A 错误；因为 A1GD1F，A1G 平面 AEFD1，1D F 平面 AEFD1，所以 A1G平面 AEFD1，故选项 B 正确平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1， 由题得该等腰梯形的上底2,2EF 下底12AD ,腰长为52，所以梯形面积为98，故选项 C 正确；假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立，故选项 D 错误12ABC22(2019)( 2019)20192019( 20192019)22020ffbcbcc ,解得 c1010，故 A 对；令2,0bc ，则( ) |20f xxxx ，解得 x0，2，2，故 B 正确；当 b0 时，22,0( ),0 xbxc xf xx xbbcxbxc x ，由解析式可知函数 fx在 R 上是单调增函数，故 C 正确；当 b0 时，22,0( ),0 xbxc xf xx xbbcxbxc x ，值域是 R，故函数 fx在 R 上没有最答案第 2页，总 5页小值，故 D 错误.故选：ABC156如图所示，因为平面BDC 平面 ABD，所以AB 平面 BDC，CD 平面 ABD，可得ABBC，CDAD， 取 AC 的中点 O，则OAOBOCOD，于是外接球的球心是 O，12OAAC， 则2214OAAC又由1222222BDABBCABAC所以半径2121ACOA所以外接球的体积为.6V16 2直线30kxy关于直线32y 对称的直线l的方程为0kxy， 对应的函数为ykx ，其图象与函数 yf x的图象有 2 个交点对于一次函数ykx ，当0 x 时，0y ，由 0f x 知不符合题意当0 x 时，令 kxf x，可得 fxkx，此时，令 ln2010 xxf xg xxxxx当0 x 时， g x为增函数， g x R，当0 x 时， g x为先增再减函数， , 2g x 结合图象，直线yk 与函数 yg x有 2 个交点，因此，实数2k ，即2k 故答案为 2.17. （本小题满分 10 分）（I）AB、为锐角，510sin,sin510AB222 53 10cos1 sin,cos1 sin510AABB2 53 105102cos()coscossinsin.5105102ABABAB0AB4AB5 分答案第 3页，总 5页（II）由（I）知34C，2sin2C 由sinsinsinabcABC得5102abc，即2 ,5ab cb又21ab221bb1b 2,5ac10 分18. （本小题满分 12 分）依题意，39bAbA1 分，解得6A，3b2 分；122142T，24T，122T3 分，由33)212sin(64 分，且，解得32，5 分所以3)3212sin(6xy6 分由03)3212sin(6xy得21)3212sin(x，所以623212kx或6723212kx，Zk 10 分，由240 x，解得6x或22x，即在每天的6时或22时的气温为012 分19 （本小题满分 12 分）解： （1）取的中点 G，接 EG，MG，M 为棱 BC 的中点，MGCD，且，又 N 为棱 AE 的中点，四边形 ACDE 为正方形，ENCD，且，从而 ENMG，且 EN=MG，于是四边形 EGMN 为平行四边形，3 分MNEG， 4 分MN平面 BDE，EG平面 BDE，MN平面 BDE.5 分（2）在正ABC 中，M 为 BC 的中点，AMBC.6 分平面 ABC平面 ACDE，ACCD，CD平面 ABC，CDAM，7 分AM平面 BCD，AMMF， 8 分设 CF=a，在AFM 中，AM=，FM=，AF=，则，10 分解得 CF=1.12 分答案第 4页，总 5页21(本题满分 12 分)（1）从样本数据来看，估计该市民年进园次数的众数为 12。2 分（2）若该市民使用 A 年票一年进游乐园 n 次，该市民在进园门票上的年花费为 y 元，则100 11,11,1100,11,100 12,12,1200,12,100 1250,13,1250,13,100 12502,14,1300,14.nnnnynnnn所以该市民在进园门票上年花费的平均数为11000.1512000.4012500.1013000.351225（元） 。8 分（3）若该市民使用 B 年票，则该市民在进园门票上年花费的平均数为1000.95 (11 0.15120.4013 0.10140.35)1201.75aa（元） 。10 分若选择 A 年票比选择 B 年票更优惠，则 122523.25。因为aN，所以 a24，所以 a 的最小值为 24。12 分22(本题满分 12 分)（1）如图，取DE的中点O，连接PO，易知PDPE，则PODE.取BC的中点M，连接MO，则/MO BE，故MOBC.连接PM，因为PBPC，M为BC的中点，所以PMBC，又PMOMM，所以BC 平面PMO，从而BCPO，在平面BCDE内，BC与DE相交，因此PO平面BCDE，故平面PDE 平面BCDE.（2）由（1）知PO 平面BCDE，连接CE，易得3BC ，1BE ，可得222CECBBECD，连接CO，则CODE，3CO ，故可以以O为坐标原点，OE，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0, 3P，1,0,0E，0, 3,0C，33,022B，故33,322PB ，33,022CB ，13,022EB .设平面PBC的法向量为111,mx y zr，则0,0,m PBm CB 即111113330,22330,22xyzxy取11x ，则13y ，13z ，所以1, 3, 3m 为平面PBC的一答案第 5页，总 5页个法向量.设平面PBE的法向量为222,nxy zr，则0,0,n PBn EB 即222223330,22130,22xyzxy取23x ，则21y ，21z ，所以3, 1,1n 为平面PBE的一个法向量.所以33cos,7535m nm nm n ，因此二面角CPBE的正弦值为3324 701353535.22. (本题满分 12 分)解：解： () 证明:据题意1,12233(), (,(),(,()A x f xB xf xC xf x且 x1x2f (x2)f (x3),x2=231xx 12123232(,()(),(,()()BAxxf xf xBCxxf xf x 12321232()() ()() ()()BA BCxxxxf xf xf xf x 123212320,0,()()0,()()0 xxxxf xf xf xf x0,(, )2BA BCB 即ABC是钝角三角形()假设ABC为等腰三角形，则只能是BABC 即2132 ()()()f xf xf x3212132 ln(1)2(1)ln(1)(1)(1)()xxxaeaxaeeaxx321222 ln(1)2(1)ln(1)(1)2(1)xxxaeaxaeeax3212ln(1)ln(1)(1)xxxeee31332122122(1)(1)(1)2xxxxxxxxxeeeeeeee3212xxxeee而事实上,3131222xxxxxeeee由于31xxee,故(2)式等号不成立.这与(1)式矛盾. 所以ABC不可能为等腰三角形222212123232() ()()() ()()xxf xf xxxf xf x即：2221321232 ()() ()()xxxxf xf xf xf x
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高二数学试卷第 1页（共 4 页）2020-2021 学年下学期期末三校联考学年下学期期末三校联考高一数学高一数学命题学校：广大附中命题学校：广大附中命题人：命题人：审题人：审题人：本试卷共 4 页，22 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.一、选择题：本大题 8 小题，每小题分，共 40 分.1i为虚数单位，若复数z满足11zii ，则z （）A0B1C2D22下列结论中，错误的是（）A“1x ”是“20 xx”的充分不必要条件B已知命题2:,10pxR x ，则01,:2xRxpC.“220 xx”是“1x ”的充分不必要条件；D. 命题：“xR ，sin1x ”的否定是“0 xR，0sin1x ”；3如图，在平行四边形ABCD中，13AEAC ，若EDADAB ，则（）A13B1C23D134若某同学连续3次考试的名次（3次考试均没有出现并列名次的情况）不低于第3名，则称该同学为班级的尖子生.根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次的数据，推断一定是尖子生的是（）A甲同学：平均数为2，方差小于1B乙同学：平均数为2，众数为1C丙同学：中位数为2，众数为2D丁同学：众数为2，方差大于15如图，矩形ABCD中，3AB ，正方形ADEF的边长为 1，且平面ABCD 平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为（）A77B77C55D556化简32cos202tan20所得的结果是（）A14B12C32D2图 1高一数学试卷第 2页（共 4 页）7已知函数 yf x是定义在R上的偶函数，且 2fxf x，当01x时， f xx，设函数xxfxg7log)()(，则 g x的零点的个数为（）A6B12C8D148已知正实数x，y满足434 yx,则231121yx的最小值为（）A4283B3221C1223D1222二、多选题：本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，选对得 5，漏选得 2 分，错选得 0 分.9下列命题中正确的是（）A(0,)x ，23xxB(0,1)x ，23loglogxxC(0,)x ，121( )log2xxD1(0,)3x ，131( )log2xx10正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F，G 分别为 BC，CC1，BB1的中点则（）A直线 D1D 与直线 AF 垂直B直线 A1G 与平面 AEF 平行C平面 AEF 截正方体所得的截面面积为98D点 C 与点 G 到平面 AEF 的距离相等11将曲线xxxycos)sin(3sin2上每个点的横坐标伸长为原来的 2 倍，纵坐标不变，得到 g x的图像，则下列说法正确的是（）A213gB g x的图像可由1cos2yx的图像向右平移23个单位长度得到C g x在0,上的值域为30,2D g x的图像关于点(,0)6对称12设函数 ,fxx xbxc b cR，则下列命题中正确的有（）A若201920192020ff，则1010c B方程 0f x 可能有三个实数根C当0b 时，函数 fx在R是单调增函数D当0b 时，函数 fx在R上有最小值三、填空题：本大题 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13.小明和小红各自扔一颗均匀的正方体骰子，两人相互独立地进行，则小明扔出的点数不大于 2 或小红扔出的点数不小于 3 的概率为_高二数学试卷第 3页（共 4 页）14.如图所示，在ABC，6,45 ,120 ,3ABABCADBCD ，则AC的长是_15在平行四边形 ABCD 中，ABBD，1222 BDAB，将此平行四边形沿对角线 BD 折叠，使平面ABD 平面 CBD，则三棱锥 A-BCD 外接球的体积是_.16已知函数 2ln2010 xxx xf xxx，若 f x的图象上有且仅有 2 个不同的点关于直线23y的对称点在直线30kxy，则实数k的取值是_四、解答题：本大题四、解答题：本大题 6 6 小题，第小题，第 1 17 7 题题 1 10 0 分，其余各题分，其余各题 1 12 2 分，共分，共 70 分。17.（10 分）在ABC中，AB、为锐角，角ABC、 、所对的边分别为abc、 、，且510sin,sin510AB（I）求AB的值；（II）若21ab，求abc、 、的值。18. （12 分）春节期间，某地昼夜气温呈周期性变化，温度y随时间x变化近似满足函数bxAy)sin(（0A，0，） ，且在每天凌晨2时达到最低温度3，在下午14时达到最高温度9, 从 2 时到 14 时为半个周期求这段时间气温随时间变化的函数解析式；这段时间该地一昼夜内哪几个时刻的气温为0？注：一昼夜指从凌晨 0 时（含）到午夜 24 时（不含） 19. （12 分）如图，在四棱锥BACDE中，正方形ACDE所在的平面与正三角形ABC所在的平面垂直，点NM,分别为AEBC,的中点，点F在棱CD上.（1）证明：MN平面BDE.（2）若2AB ，点M到AF的距离为305，求CF的长.高一数学试卷第 4页（共 4 页）20. （12 分）某游乐园为了吸引游客，推出了 A，B 两款不同的年票，游乐园每次进园门票原价为 100 元。A 年票前 12 次进园门票每次费用为原价，从第 13 次起，每次费用为原价的一半，A 年票不需交开卡工本费。B 年票每次进园门票为原价的 9.5 折，B 年票需交开卡工本费a元（Na ） 。已知某市民每年至少去该游乐园 11 次，最多不超过 14 次。该市民多年来年进园记录如下：（1）估计该市民年进园次数的众数；（2）若该市民使用 A 年票，求该市民在进园门票上年花费的平均数；（3） 从该市民在进园门票上年花费的平均数来看，若选择 A 年票比选择 B 年票更优惠，求a的最小值.21 （12 分）如图 1，在直角梯形ABCD中，/AB CD，90B，3AB ，2CD ，3BC ，E在AB上，且ADAE. 将ADE沿DE折起，使得点A到点P的位置，且PBPC，如图2.（1）证明：平面PDE 平面BCDE；（2）求二面角CPBE的正弦值.22. （12 分）已知函数( )ln(1)(1) ,xf xaeax(其中0a ) 在R上是减函数,点1,12233(), (,(),(,()A x f xB xf xC xf x从左到右依次是函数( )yf x图象上三点, 且2132xxx.() 求证：ABC是钝角三角形;() 试问,ABC能否是等腰三角形?若能,求ABC面积的最大值;若不能,请说明理由.年进园次数11121314频率0.150.400.100.35答案第 1页，总 5页2020-2021 学年下学期期末三校联考高一数学年下学期期末三校联考高一数学学答案答案1-8：BCDACBBA9BD10BC11BC12ABC13791471561628由题意知：( )f x关于1x 对称，而 g x的零点即为xxf7log)(的根，又( )f x在R上的偶函数，知：( )0,1f x 且周期为 2，关于 y 轴对称的函数，而77- x时，x7log且关于 y 轴对称由( )f x与x7log在(0,)的图象，共有 6 个交点由偶函数的对称性知：在(,0)上也有 6 个交点，所以共 12 个交点.故选：D10BC根据题意，假设直线 D1D 与直线 AF 垂直，又1DDAE,AEAFA AE AF平面AEF，所以1DD 平面 AEF,所以1DDEF,又11/DDCC,所以1CCEF,与4EFC矛盾，所以直线 D1D 与直线 AF 不垂直，所以选项 A 错误；因为 A1GD1F，A1G 平面 AEFD1，1D F 平面 AEFD1，所以 A1G平面 AEFD1，故选项 B 正确平面AEF截正方体所得截面为等腰梯形AEFD1， 由题得该等腰梯形的上底2,2EF 下底12AD ,腰长为52，所以梯形面积为98，故选项 C 正确；假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立，故选项 D 错误12ABC22(2019)( 2019)20192019( 20192019)22020ffbcbcc ,解得 c1010，故 A 对；令2,0bc ，则( ) |20f xxxx ，解得 x0，2，2，故 B 正确；当 b0 时，22,0( ),0 xbxc xf xx xbbcxbxc x ，由解析式可知函数 fx在 R 上是单调增函数，故 C 正确；当 b0 时，22,0( ),0 xbxc xf xx xbbcxbxc x ，值域是 R，故函数 fx在 R 上没有最答案第 2页，总 5页小值，故 D 错误.故选：ABC156如图所示，因为平面BDC 平面 ABD，所以AB 平面 BDC，CD 平面 ABD，可得ABBC，CDAD， 取 AC 的中点 O，则OAOBOCOD，于是外接球的球心是 O，12OAAC， 则2214OAAC又由1222222BDABBCABAC所以半径2121ACOA所以外接球的体积为.6V16 2直线30kxy关于直线32y 对称的直线l的方程为0kxy， 对应的函数为ykx ，其图象与函数 yf x的图象有 2 个交点对于一次函数ykx ，当0 x 时，0y ，由 0f x 知不符合题意当0 x 时，令 kxf x，可得 fxkx，此时，令 ln2010 xxf xg xxxxx当0 x 时， g x为增函数， g x R，当0 x 时， g x为先增再减函数， , 2g x 结合图象，直线yk 与函数 yg x有 2 个交点，因此，实数2k ，即2k 故答案为 2.17. （本小题满分 10 分）（I）AB、为锐角，510sin,sin510AB222 53 10cos1 sin,cos1 sin510AABB2 53 105102cos()coscossinsin.5105102ABABAB0AB4AB5 分答案第 3页，总 5页（II）由（I）知34C，2sin2C 由sinsinsinabcABC得5102abc，即2 ,5ab cb又21ab221bb1b 2,5ac10 分18. （本小题满分 12 分）依题意，39bAbA1 分，解得6A，3b2 分；122142T，24T，122T3 分，由33)212sin(64 分，且，解得32，5 分所以3)3212sin(6xy6 分由03)3212sin(6xy得21)3212sin(x，所以623212kx或6723212kx，Zk 10 分，由240 x，解得6x或22x，即在每天的6时或22时的气温为012 分19 （本小题满分 12 分）解： （1）取的中点 G，接 EG，MG，M 为棱 BC 的中点，MGCD，且，又 N 为棱 AE 的中点，四边形 ACDE 为正方形，ENCD，且，从而 ENMG，且 EN=MG，于是四边形 EGMN 为平行四边形，3 分MNEG， 4 分MN平面 BDE，EG平面 BDE，MN平面 BDE.5 分（2）在正ABC 中，M 为 BC 的中点，AMBC.6 分平面 ABC平面 ACDE，ACCD，CD平面 ABC，CDAM，7 分AM平面 BCD，AMMF， 8 分设 CF=a，在AFM 中，AM=，FM=，AF=，则，10 分解得 CF=1.12 分答案第 4页，总 5页21(本题满分 12 分)（1）从样本数据来看，估计该市民年进园次数的众数为 12。2 分（2）若该市民使用 A 年票一年进游乐园 n 次，该市民在进园门票上的年花费为 y 元，则100 11,11,1100,11,100 12,12,1200,12,100 1250,13,1250,13,100 12502,14,1300,14.nnnnynnnn所以该市民在进园门票上年花费的平均数为11000.1512000.4012500.1013000.351225（元） 。8 分（3）若该市民使用 B 年票，则该市民在进园门票上年花费的平均数为1000.95 (11 0.15120.4013 0.10140.35)1201.75aa（元） 。10 分若选择 A 年票比选择 B 年票更优惠，则 122523.25。因为aN，所以 a24，所以 a 的最小值为 24。12 分22(本题满分 12 分)（1）如图，取DE的中点O，连接PO，易知PDPE，则PODE.取BC的中点M，连接MO，则/MO BE，故MOBC.连接PM，因为PBPC，M为BC的中点，所以PMBC，又PMOMM，所以BC 平面PMO，从而BCPO，在平面BCDE内，BC与DE相交，因此PO平面BCDE，故平面PDE 平面BCDE.（2）由（1）知PO 平面BCDE，连接CE，易得3BC ，1BE ，可得222CECBBECD，连接CO，则CODE，3CO ，故可以以O为坐标原点，OE，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0, 3P，1,0,0E，0, 3,0C，33,022B，故33,322PB ，33,022CB ，13,022EB .设平面PBC的法向量为111,mx y zr，则0,0,m PBm CB 即111113330,22330,22xyzxy取11x ，则13y ，13z ，所以1, 3, 3m 为平面PBC的一答案第 5页，总 5页个法向量.设平面PBE的法向量为222,nxy zr，则0,0,n PBn EB 即222223330,22130,22xyzxy取23x ，则21y ，21z ，所以3, 1,1n 为平面PBE的一个法向量.所以33cos,7535m nm nm n ，因此二面角CPBE的正弦值为3324 701353535.22. (本题满分 12 分)解：解： () 证明:据题意1,12233(), (,(),(,()A x f xB xf xC xf x且 x1x2f (x2)f (x3),x2=231xx 12123232(,()(),(,()()BAxxf xf xBCxxf xf x 12321232()() ()() ()()BA BCxxxxf xf xf xf x 123212320,0,()()0,()()0 xxxxf xf xf xf x0,(, )2BA BCB 即ABC是钝角三角形()假设ABC为等腰三角形，则只能是BABC 即2132 ()()()f xf xf x3212132 ln(1)2(1)ln(1)(1)(1)()xxxaeaxaeeaxx321222 ln(1)2(1)ln(1)(1)2(1)xxxaeaxaeeax3212ln(1)ln(1)(1)xxxeee31332122122(1)(1)(1)2xxxxxxxxxeeeeeeee3212xxxeee而事实上,3131222xxxxxeeee由于31xxee,故(2)式等号不成立.这与(1)式矛盾. 所以ABC不可能为等腰三角形222212123232() ()()() ()()xxf xf xxxf xf x即：2221321232 ()() ()()xxxxf xf xf xf x
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