广东省惠州市2020-2021学年下学期期末质量检测高一数学试题（PDF版含详细答案）（含答案）.rar

数学试题 第 1 页，共 6 页 惠州市惠州市 2020-2021 学年度第二学期期末质量检测学年度第二学期期末质量检测 高一数学试题高一数学试题 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项：注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上 2、作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效 3、 非选择题必须用黑色字迹签字笔作答， 作图题可先用铅笔作答， 答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效 4、作答作图题时，请用 2B 铅笔、直尺等工具作图。 一、一、单项选择题单项选择题：本题共本题共 8 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 40 分分 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得 5 分，选错得分，选错得 0 分分 1已知复数1 izi+=（其中i为虚数单位），则=z（ ） A1 B2 C3 D2 2已知向量()12a =，()2,bt= ，若/ /ab，则t =（ ） A1 B2 C4 D4 3已知圆锥轴截面为正三角形，母线长为2，则该圆锥的体积等于（ ） A33 B3 C23 D2 4已知有样本数据 2、4、5、6、8，则该样本的方差为（ ） A5 B4 C2 D0 5空间中，m，n 是两条不同直线， 是平面，有下列四个命题： 若 n，m，则 nm； 若 n，m，则 nm； 若 n，m，则 nm； 若 n，mn，则 m 则正确的命题个数是（ ） A3 B2 C1 D0 数学试题 第 2 页，共 6 页 6 如图是根据某市 1 月 1 日至 1 月 10 日的最低气温（单位： ） 的情况绘制的折线统计图， 由图可知这 10 天的最低气温的第 50 百分位数是（ ） A2 B1 C0 D2 7棣莫弗公式()()()cossincossinnxixnxinx+ =+ （其中i为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（16671754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数4cossin33i+ 在复平面内所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 8已知ABC三角形的外接圆圆心为O，且2AOABAC=+，AOAB=， 则BA在BC上的投影向量为（ ） A14BC B34BC C14BC D34BC 二、二、多多项选择题项选择题：本题共本题共 4 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求有多项符合题目要求全部选对得全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9已知ABC中，3AB =，5AC =，7BC =，则下列结论正确的有（ ） AABC为钝角三角形 BABC为锐角三角形 CABC面积为15 34 D152AB AC= 10下列命题错误的有（ ） A若a、b都是单位向量，则ab B若ab，且bc，则ac C若非零向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点共线 D向量AB的模与向量BA的模相等 数学试题 第 3 页，共 6 页 11如图是一个古典概型的样本空间和事件A和B，其中( )24n =，( )12n A =，( )8n B =,()16n AB =，下列运算结果，正确的有（ ） A()4n AB = B()16P AB = C()23P AB = D()12P AB = 12如图，正三棱柱111ABCABC的底面边长为 2，侧棱长为2 3，E为11BC的中点， 则正确的结论有（ ） A1AC/平面1ABE； B1AC与平面11AAB B所成的角为6； C三棱锥11AB EB的体积为233； D1B到平面1AEB的距离为2 3913 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知向量()2,1a =，()1, 1b =，为向量a与b的夹角，则cos = _ 14在复数范围内，方程2450 xx+=的解集为_ 15一个公司共有 N 名员工，下设一些部门，要采用等比例分层随机抽样的方式从全体员 工中抽取样本容量为 n 的样本，如果某部门有 m 名员工，则从该部门抽取的员工人 数为_ 16某次数学考试的一道多项选择题，学生作答时可以从 A、B、C、D 四个选项中至少选择一个选项，至多可以选择四个。得分规则是：“全部选对的得 5 分，部分选对的得 2分，有选错的得 0 分”已知某选择题的正确答案是 CD，若某同学不会做该题目，随机选择一个或两个选项，则该同学能得分的概率是_ B A1 C A C1 B1 E A B 数学试题 第 4 页，共 6 页 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 10 分） 如图，测量河对岸的塔高 AB 时，可以选取与塔底 B 在同一水平面内的两个测量基点 C与 D现测得BCD=30，BDC=135，CD=50 米，在点 C 测得塔顶 A 的仰角为45，求塔高 AB 18 （本小题满分 12 分） 如图，一块边长为 100cm 的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下来，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器 （1）请在答卷指定位置的空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图； （不需要写步骤及作图过程） （2）求该正四棱锥形容器的体积 100 50 60 x z O y 数学试题 第 5 页，共 6 页 19 （本小题满分 12 分） 某科研课题组通过一款手机APP软件，调查了某市 1000 名跑步爱好者平均每周的跑步量（简称“周跑量”） ，得到如下的频数分布表及直方图： 周跑量 (km/周) 人数 周跑量 (km/周) 人数 )10,15 100 )35,40 150 )15,20 120 )40,45 60 )20,25 130 )45,50 30 )25,30 180 )50,55 10 )30,35 220 （1）请补全该市 1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图； （2）根据以上图表数据，估计样本的下四分位数、众数及平均数（结果保留一位小数） 20 （本小题满分 12 分） 在1cos2aBbc=；22()abc bc=+这两个条件中任选一个作为已知条件，补充到下面的横线上并作答 问题：在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知_ （1）求角A； （2）若2a =，ABC的面积为34，求ABC的周长 数学试题 第 6 页，共 6 页 21 （本小题满分 12 分） 如图， 四棱锥PABCD中， PD平面ABCD， 底面ABCD是正方形，PD=AB=2，E为PC中点 （1）求证：DE平面PCB； （2）求二面角E-BD-C的余弦值 22 （本小题满分 12 分） 进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有 2 道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p，乙同学答对每题的概率都为()q pq，且在考试中每人各题答题结果互不影响已知每题甲、乙同时答对的概率为12，恰有一人答对的概率为512 （1）求p和q的值； （2）试求两人一共答对 3 道题的概率 PEABCD第 1 页，共 10 页 惠州市惠州市 2020-2021 第二学期期末第二学期期末质量检测质量检测 高一数学试题高一数学试题标准答案与评分细则标准答案与评分细则 一、单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 40 分分 1【解析】因为221(1)1,1( 1)2ii izizii i ，所以应选答案 B. 2【解析】/ , 12 ( 2)0,abt 解得4,t ，故选 D 3【解析】圆锥母线为=2l，底面半径为=1r，则223hlr 所以圆锥的体积21133333Vrh 故选 A 4【解析】平均数为24 5 6 855 ， 该样本的方差为2222225455 5658 545，故选 B. 5【解析】若/ , / ,mn则直线m和n可能平行，还可能相交或异面，故/mn错误 若/n，m，则n与m无交点，所以/mn或m与n为异面直线，正确，故选 B 6【解析】由折线图可知，这10天的最低气温()按照从小到大排列为:3, 2, 1, 1,0,0,1,2,2,2, 因为共有10个数据，所以10 50%5是整数，则这10天的最低气温的第 50 百分位数是0002(). 故选 C 7【解析】由已知得44413(cossin)cossin333322iii , 复数4(cossin)33i 在复平面内所对应的点的坐标为13(,)22，位于第三象限故选 C 8【解析】2,AOABAC点O为线段BC中点，,ABAOAHBO作，点H为BO中点，14BHBC则BA在BC上的投影向量为14BC,故选 A 二、多二、多项选择题项选择题：本题共本题共 4 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的四个选项中，有多项符合在每小题给出的四个选项中，有多项符合题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D A B B C C A P O 第 2 页，共 10 页 题目要求题目要求全部选对得全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9【解析】在ABC中，22203571cos01202 3 52AA ，,ABC为钝角三角形， 故 A 正确；故 B 错误；115 3sin24ABCSAB ACA，故 C 正确； 15cos2AB ACAB ACA,故 D 错误；故选：AC 10【解析】对于 A：若a、b都是单位向量，则ab，因为a、b的方向不一定相同，故a、b不一定相等，故 A 错误；对于 B：因为ab，且bc，当0b时，b与任何向量都平行，故不能得到ac，故 B 错误；对于 C：非零向量AB与CD是共线向量，即/AB CD，不能得到 A、B、C、D 四点共线，故 C 错误；对于 D：向量AB与向量BA互为相反向量，故向量BA与向量AB的模相等，故 D 正确；故选：ABC 11【解析】对于 A： n ABn An Bn AB, 4n ABn An Bn AB.故 A 正确； 对于 B： 41,246n ABP ABn故 B 正确； 对于 C： 162243n ABP ABn,故 C 正确； 对于 D： 24 168n ABnn AB , 81243n ABP ABn.故 D 错误； 故选：ABC 12【解析】对于A，连接1AB交1AB于点O，连接EO, 点E为11C B中点，点O为1AB中点，1/ /EOAC， 1AC 面1ABE，EO面1ABE, 11/ /ACABE面，A正确 对于B,三棱柱111ABCABC为正三棱柱,ABC是边长为 2 的等边三角形，平面111ABC 平面11AAB B，取11AB的中点N，连结AN, 1C N则111C NAB， 题号 9 10 11 12 全部正确选项 AC ABC ABC AD 第 3 页，共 10 页 1C N平面11AAB B，故1C AN为直线1C A与平面11AAB B所成的角 在三角形111ABC中易得2211113C NC AAN， 22111112 3,4AAACAAAC, 在直角三角形1C NA中1113sin4C NC ANAC故B错误; 对于C , 11111111 2 331332AB EBB EBVSAE ,故C错误; 对于D，设1B到平面1AEB的距离为d，由题意可得11111BAEBABEBVV， 1113AEBSd，111132AE BE d 11313132d , 62 391339d，故D正确，故选 AD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分 131010 142, 2ii 15mnN 16310 13【解析】由题意得，22222 1 1 ( 1)110cos1010211( 1)a ba b . 14【解析】16 4 1 54 由求根公式可得44422222biiixia 所以方程的解集为2, 2ii 。 【注】【注】1、答案可、答案可写成写成122,2xi xi 、2 i ，|22x xixi 或。 2、答案答案为非为非集合的形式，集合的形式，则则 0 分分， 15【解析】设某部门抽取的员工人数为x，则,xnmnxmNN 16【解析】某同学随机选择选项一个或两个选项，分别为：选择一项有 ,ABCD； 选择两项有： ,A BA CA DB CB DC D；共有基本事件 10 种， 其中“能得分”的基本事件有 ,CDC D，共 3 种，故“能得分”的概率为310 B A1 C A C1 B1 E 第 4 页，共 10 页 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 10 分） 【解析】在BCD中，000001801803013515CBDBCDBDC1 分 000sinsin15sin(4530 )CBD2 分 0000sin45 cos30cos45 sin303 分 6244 分 由正弦定理sinsinBCCDBDCCBD得5 分 0sin50sin135sin624CDBDCBCCBD6 分 50( 3 1) 8 分 在RtABC中045ACB50( 3 1)ABBC 9 分 所以所求塔高 AB 为50( 3 1)米10 分【无此步骤无此步骤，本得分点不得分本得分点不得分】 【注】【注】1、角度用如图的角度用如图的, , 表示表示同样得分同样得分。 2、缺少缺少062sinsin154CBD中间步骤，不扣分中间步骤，不扣分；结果错误按；结果错误按采采分点给分。分点给分。 18（本小题满分 12 分） 【解析】（1） 8 分 【注】【注】 1、作图共作图共 8 分，分解为：分，分解为： 基本结构基本结构满足满足锥体要求锥体要求 3 分（底面分（底面两边夹角两边夹角 45 、平行四边形、平行四边形、1 个顶点个顶点各各 1 分分）。 x z O y 40 30 30 -30 -30 第 5 页，共 10 页 比例比例正确正确 3 分分（底面边长（底面边长、锥体的高锥体的高，顶点顶点在在底面底面投影投影为为底面底面中心中心各各 1 分分）。 虚实线虚实线标准标准规范规范 2 分分（无无虚线虚线扣扣 1 分分，画画直线直线不用不用尺尺扣扣 1 分分）。 2、直观图直观图整体整体可可进行进行平移平移和和放缩放缩，按比例作出直观图即可按比例作出直观图即可给分给分。 （2）设加工后的正四棱锥为PABCD，易得地面是边长为60cm的正方形，斜高为50， 易得棱锥高40OPcm,9 分 正四棱锥形容器的体积为13P ABCDABCDVSOP正方形10 分 160 60 40311 分 48000 故求正四棱锥形容器的体积为348000cm12 分【无此步骤无此步骤，本得分点不得分本得分点不得分】 19（本小题满分 12 分） 【解析】（1）该市 1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图如下： 4 分 【注】【注】高度高度划线标识正确划线标识正确每每个个 2 分。分。 （2）由频率分布表得10,20)的频率为100 1200.221000，5 分 20,25)的频率为1300.131000，0.13 0.220.25 因此，样本的下四分位数位于20,25)内，6 分 由0.25 0.2220 521.20.13 7 分【表达式正确可给表达式正确可给 1 分分】 所以样本的下四分位数约为21.28 分 第 6 页，共 10 页 由频率分布直方图得样本的众数为30 3532.529 分 由频率分布表得样本的平均数估计为： 10012013018022015012.517.522.527.532.537.510001000100010001000100060301042.547.552.5 10001000100010 分 28.5 11 分 所以样本的下四分位数约为21.2，众数为32.5，平均数为28.512 分 【注】【注】1、计算下四分位数列式计算下四分位数列式形式形式正确，可得正确，可得 1 分分 2、计算平均数列式计算平均数列式的形式的形式正确，可得正确，可得 1 分分 20（本小题满分 12 分） 【解析】（1）选择： 由正弦定理2sinsinsinabcRABC得，1sincossinsin2ABBC，1 分 由CAB得1sincossinsincoscossin2ABBABAB， 2 分 即1sincossin2BAB3 分 又sin0B， 1cos2A， 4 分 又(0, )A，5 分【注：无此步骤，本得分点不得分】【注：无此步骤，本得分点不得分】 23A.6 分 选择： 由选择条件可得222abcbc1 分 由余弦定理222cos2bcaAbc2 分 得2222()1cos22bcbcbcAbc ，4 分 又(0, )A，5 分【注：无此步骤，本得分点不得分】【注：无此步骤，本得分点不得分】 23A.6 分 第 7 页，共 10 页 （2）因为1sin2ABCbcAS7 分 12sin2334ABCSbcbc， 即3344bc 1bc，.8 分 又由余弦定理2221cos22bcaAbc ，化简得224cbcb ，.9 分 即24b cbc，10 分 所以5bc，.11 分 25abc 所以ABC的周长为25 .12 分 【注】【注】1、选择、选择，选择，选择，都有作答，按选择，都有作答，按选择作答情况给分作答情况给分。 2、在运用正弦定理或余弦定理时、在运用正弦定理或余弦定理时务必写出定理的表达式务必写出定理的表达式，没有注明，没有注明“由正弦定理得由正弦定理得”或或“由余弦定由余弦定理得理得”的类似表达，整题扣的类似表达，整题扣 1 分分。 21（本小题满分 12 分） 【解析】（1）证明：,PDABCD BCABCD平面平面， PDBC1 分 在正方形ABCD中，CDBC， 且PDCDD，PDPCD平面，CDPCD平面2 分 BCPCD平面,3 分 又DEPCD平面，BCDE4 分 PDCD，点E为PC中点，DEPC5 分 又PCBCC，PCPCB平面，BCPCB平面 DEPCB平面6 分 【注】【注】证线面垂直时，需写出“两线相交”及“两线都在面内”三个辅助条件证线面垂直时，需写出“两线相交”及“两线都在面内”三个辅助条件，否则扣否则扣 1 分分，但不重复，但不重复扣分扣分。 第 8 页，共 10 页 （2）【解法解法 1】 取DC的中点F，连接EF，作FHBD于点H，连接EH, 则/PDEF，PD 平面ABCD， EF平面ABCD，7 分 BDABCD平面 EFBD，又FHBD，FHEFF BD平面EHF，EHABCD平面， BDEH EHF为二面角-E BD C的一个平面角8 分 在PCD中，112EFPD 在正方形ABCD中，1DF ，DFH为等腰直角三角形，所以22HF 9 分 在EHF中，由勾股定理得62EH 10 分 232cos362EHF 11 分 所以二面角-E BD C的余弦值为33 12 分 【解法解法 2】 取DC的中点F，连接,EF BF BE， EFBCD面7 分 由（1）知DEBE，则BDE为直角三角形， 122ECPC，2ED8 分 在BCE中，226BEBCEC9 分 设二面角-E BD C的平面角为 PEABCDFHPEABCDF第 9 页，共 10 页 则12cos12BFDBEDDF BCSSDE BE10 分 1 2=26 3=311 分 所以二面角-E BD C的余弦值为33 12 分 【注】【注】1、建建立空间直角坐标系，立空间直角坐标系， 利用空间向量求解同样给分利用空间向量求解同样给分，本过程本过程 6 分可分解为：建系分可分解为：建系 1 分分，相关，相关向量向量 1 分，法向量方程组分，法向量方程组 1 分，法向量分，法向量 1 分，余弦值分，余弦值 1 分，结论分，结论 1 分分。 2、求、求HF的另一种计算方法的另一种计算方法:BDACO,HFOC1222 22（本小题满分 12 分） 【解析】（1）设A=甲、乙同时答对某个题目， B=恰有一人答对某个题目，1 分 由于已知有 12P Apq，.2 分 5(1)(1)212P Bpqp qpqpq3 分 联立1,217.12pqpq 得171122pp4 分 解得3,42,3pq或2,33.4pq5 分 由于pq，所以34p ，23q .6 分 （2）【解【解法法 1】设iA甲同学答对了i道题，iB 乙同学答对了i道题，其中0i ，1，2. 由于iA和iB相互独立，12AB与21A B互斥， 设E 甲乙二人共答对 3 道题，则1221EABA B.7 分 第 10 页，共 10 页 11331344448P A ，23394416P A，8 分 12112433339P B ，2224339P B9 分 所以 12211221P EP ABP A BP A P BP A P B10 分 34948916911 分 512 所以，甲乙二人共答对 3 道题的概率为512.12 分 【解【解法法 2】两人共答对 3 道题目，可分为“甲答对 2 个，乙答对 1 个”或“甲答对 1 个，乙答对 2 个” 且两事件互斥7 分【注注：无说明事件互斥，本得分点不给分无说明事件互斥，本得分点不给分】 “甲答对 2 个，乙答对 1 个”的概率为33442 1123333 8 分 =149 分 “甲答对 1 个，乙答对 2 个”的概率为133144442233 10 分 =1611 分 所以，甲乙二人共答对 3 道题的概率为14+16=512.12 分