6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 教案-新人教A版（2019）高中数学必修第二册.docx

1、6.3.5 平面向量数量积的坐标表示一、教学目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题3.通过对平面向量数量积的坐标表示的学习，培养学生数学抽象、数学运算等数学素养二、教学重点 掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算，能用向量方法证明两角差的余弦公式教学难点 会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题三、教学过程1、复习回顾问题1：回顾所学平面向量的数量积以及向量线性坐标运算内容，回答下列问题： 1已知向量a，b满足|a|1，|b|2，若a，b的夹角为60，则ab_1_2设i，j为正交单位向量，则 ii=_1_；jj=_1_；ij=

2、_0_2、探索新知问题2：通过对平面向量的数量积及向量线性坐标运算的学习，能否已根据两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，用a和b的坐标表示ab ?答：记a(x1，y1)，b(x2，y2)，ax1iy1j，bx2iy2jab(x1iy1j)(x2iy2j)x1x2i2(x1y2x2y1)ijy1y1j2x1x2y1y2重要结论：平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和问题3：若a（x，y），如何计算向量的模|a| ？ 答：|a|=问题4：若点A（x1，y1），B（x2，y2），如何

3、计算向量的模？ 答： （两点间的距离公式）问题5：已知两个非零向量a（x1，y1），b（x2，y2），怎样用坐标表示ab ？ 答：设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abab0x1x2y1y20追问：怎样用坐标表示ab ？ 答：ab x1y2x2y10 问题6：已知两个非零向量a（x1，y1），b（x2，y2），怎样用坐标表示a， b的夹角呢？ 答：设是a与b的夹角，则cos .【例1】若点A（1，2），B（2，3），C（2，5），则ABC是什么形状？证明你的猜想解：因为（21，32）（1，1）（21，52）（3，3）所以1（3）130于是所以ABC是直角三角形【例2】设a（5，7），b（

4、6，4），求ab及a，b的夹角（精确到1）解： ab5（6）（7）（4）30282 92【例3】用向量方法证明两角差的余弦公式：证明：角 的终边与单位圆的交点分别为A，B，则设、的夹角为，则所以另一方面，如图（1）可知另一方面，如图（2）可知于是 所以 所以方法规律：进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质，解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算【例4】 (1)已知向量，若，则=_(2)已知向量，则与的夹角=_解：(1) 因为，所以，解得 (2) 设与的夹角为，则又， 即与的夹角是【例5】已知向量，

5、若与的夹角是锐角，则求实数的取值范围解：由题意 ，即，若，则，解得，综上的范围是方法规律：利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积(2)求模利用|a|计算两向量的模(3)求夹角余弦值由公式cos 求夹角余弦值(4)求角由向量夹角的范围及cos 求的值【例6】如图，直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，AB=AD=4，CD=8，若，求解：以为坐标原点，建立直角坐标系如图：因为直角梯形ABCD中，ABCD，ABAD，AB=AD=4，CD=8若，所以，所以，则方法规律：对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出

6、相应点的坐标即可求解四、课堂练习P36 练习1、若向量a(x,2)，b(1,3)，ab3，则x等于(A) A.3 B.3 C. D.2、已知向量a(1，n)，b(1，n)，若2ab与b垂直，则|a|等于(C) A.1 B. C.2 D.43、已知向量a(1，2)，b(x,4)，且ab，则|ab|等于(B) A.5 B.3 C.2 D.24、已知平面向量a(1，x)，b(2x3，x)(xR)(1)若ab，求x的值(2)若ab，求|ab|解：(1) x1或x3 (2) 2或25、已知a(1，1)，b(，1)，若a与b的夹角为钝角，求实数的取值范围 解：(，1)(1,1)五、课堂小结1 平面向量数量

7、积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具2 应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力3 注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1y2x2y10，abx1x2y1y204 事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误六、课后作业习题6.3 8、10七、课后反思