期末复习专题训练16—立体几何（动点问题）-新人教A版（2019）高中数学必修第二册.rar

期末复习专题训练期末复习专题训练 16立体几何（动点问题）立体几何（动点问题）一、单选题1如图，定点A和B都在平面内，定点P，PB，C是内异于A和B的动点，且PCAC那么，动点C在平面内的轨迹是()A一条线段，但要去掉两个点B一个圆，但要去掉两个点C一个椭圆，但要去掉两个点D半圆，但要去掉两个点2 已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 2，M，N分别是棱BC，1CC的中点， 动点P在正方形11BCC B（包括边界）内运动，若1/ /PA面AMN，则线段1PA的长度范围是()A2，5B2，3C3 22，3D3 22，53在正四棱锥SABCD中，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，动点P在线段MN上运动时，下列四个结论，不一定成立的为()EPAC；/ /EPBD；/ /EP平面SBD； EP 平面SACABCD4如图正四棱锥SABCD的底边边长为 2，高为 2，E是边BC的中点，动点P在表面上运动，并且总保持PEAC，则动点P的轨迹的周长为()A22B23C26D2625如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为 6，点 F 是棱1AA的中点，AC与 BD的交点为O，点M在棱BC上，且2BMMC，动点T（不同于点)M在四边形ABCD内部及其边界上运动，且TMOF，则直线1B F与TM所成角的余弦值为()A104B105C54D556已知定点A，B都在平面内，PA 平面，点C是平面内异于A和B的动点，且满足PCBC， 设PC与平面 PAB 所成的角为1， 二面角CPAB的大小为2， 则()A12B12C12D1，2在大小关系不确定7 如图， 在三棱锥SABC中， 侧棱SA 平面ABC，2ABBC，90ABC， 侧棱SB与平面ABC所成的角为45，M为AC的中点，N是侧棱SC上一动点，当BMN的面积最小时，异面直线SB与MN所成角的正弦值为()A16B23C336D368已知正四面体ABCD中，M，N分别为棱BC，AD的中点，P为棱 AB 上（含端点）的动点，则异面直线MP和CN所成角的余弦值的最大值为()A234B32C63D73二、多选题9 如图， 在正方体1111ABCDABC D中， 点P在线段1BC上运动时， 下列命题正确的是()A三棱锥1AD PC的体积不变B直线 AP 与平面1ACD所成角的大小不变C直线 AP 与直线1AD所成角的大小不变D二面角1PADC的大小不变10如图，点M、N分别是正四面体ABCD棱 AB 、CD上的点，设BMx，直线MN与直线BC所成的角为，则()A当2NDCN时，随着x的增大而增大B当2NDCN时，随着x的增大而减小C当2CNND时，随着x的增大而减小D当2CNND时，随着x的增大而增大11如图，已知a，b是相互垂直的两条异面直线，直线 AB 与a，b均相互垂直，且2AB ，动点P，Q分别位于直线a，b上，若直线PQ与 AB 所成的角4，线段PQ的中点为M，下列说法正确的是()APQ的长度为2 2BPQ的长度不是定值C点M的轨迹是圆D三棱锥ABPQ的体积为定值12如图，在正方体1111ABCDABC D中，点P，Q分别是棱1BB，1DD上异于端点的两个动点，且DQBP，则下列说法正确的是()A三棱锥DAPQ的体积为定值B对于任意位置的点P，平面APQ与平面1111ABC D所成的交线均为平行关系CPAQ的最小值为3D对于任意位置的点P，均有平面APQ 平面11AC CA三、填空题13已知矩形ABCD中，4AB ，3AD ，点E是边CD上的动点，将ADE沿 AE 折起至PAE，使得平面 PAB 平面ABC，过P作PGAB，垂足为G，则AG的取值范围为14如图，已知棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中，点P在线段1BC上运动，给出下列结论：异面直线 AP 与1DD所成的角范围为,3 2 ；平面1PBD 平面11AC D；点P到平面11AC D的距离为定值2 33；存在一点P，使得直线 AP 与平面11BCC B所成的角为3其中正确的结论是15 已知正方体1111ABCDABC D的棱长为 2， 点M，N分别是棱BC，1CC的中点， 则点1A到平面AMN的距离是；若动点P在正方形11BCC B（包括边界） 内运动，且1/ /PA平面AMN，则线段1PA的长度范围是16在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中，E， F 分别是棱11AD，11C D的中点，N为线段1BC的中点若P，M分别为1D B， EF 的动点，则PMPN最小时直线 PM 与直线PN所成的角的余弦值为期末复习专题训练期末复习专题训练 16立体几何（动点问题）答案立体几何（动点问题）答案1解：PBPBAC又PCACAC面PBCBCAC动点C在平面内的轨迹是以 AB 为直径的一个圆，但要去掉A、B两个点故选：B2解：取11BC的中点E，1BB的中点 F ，连结1AE，1AF， EF ，取 EF 中点O，连结1A点M，N分别是棱长为 2 的正方体1111ABCDABC D中棱BC，1CC的中点，1/ /AMAE，/ /MNEF，AMMNM，1AEEFE，平面/ /AMN平面1AEF，动点P在正方形11BCC B（包括边界）内运动，且1/ /PA面AMN，点P的轨迹是线段 EF ，2211215AEAF，22112EF ，1AOEF，当P与O重合时，1PA的长度取最小值为22123 2( 5)()22AO ，当P与E（或)F重合时，1PA的长度取最大值为115AEAF1PA的长度范围为3 22，5故选： D 3解：如图所示，连接AC、 BD相交于点O，连接 EM ，EN在中：由正四棱锥SABCD，可得SO 底面ABCD，ACBD，SOACSOBDO，AC平面SBD，E，M，N分别是BC，CD，SC的中点，/ /EMBD，/ /MNSD，而EMMNN，平面/ /EMN平面SBD，AC平面EMN，ACEP故正确在中：由异面直线的定义可知：EP与 BD是异面直线，不可能/ /EPBD，因此不正确；在中：由可知平面/ /EMN平面SBD，/ /EP平面SBD，因此正确在中：由同理可得：EM 平面SAC，若 EP 平面SAC，则/ /EPEM，与EPEME相矛盾，因此当P与M不重合时，EP与平面SAC不垂直即不正确恒不一定成立的结论是：故选： D 4解：连接 BD，交AC于O，连接OS，正四棱锥SABCD，OS平面ABCD，又AC 平面ABCD，ACOS，四边形ABCD是正方形，ACBD，又BDOSO，AC平面SBD，取CD，CS的中点M， F ，连接MF，ME， EF ，则/ /EFSB，/ /MEBD，平面/ /SBD平面 EFM ，AC平面 EFM ，P点的轨迹为 EFM，2OSABBCCDAD，122OBBD，6SBSD，SBD的周长为2 62 2，EFM的周长为62故选：C5解：易知BDAC因为AF 平面ABCD，所以 AFBD，所以BD 平面AFO，又OF 平面AFO，所以BDOF，在棱DC上取一点N，且2DNNC，连接NM，则/ /NMBD，所以NMOF，所以动点T的轨迹为线段MN（不包括)M取棱1CC的中点H，连接 DH ，易知1/ /DHFB，则HDB即异面直线1B F与TM所成的角连接BH，因为22633 5DH ，6 2BD ，3 5BH ，所以22210cos25DHBDBHHDBDHBD，故选：B6解：如图，PA 平面，PCBC，BCAC（垂直斜线则垂直射影） ，2BAC即为二面角CPAB的平面角，作CDAB于 D ，易知CD 平面 PAB ，即1CPD为PC与平面 PAB 所成的角，而1sinCDPC，2sinCDAC，且ACPC，12sinsin，12故选：C7解：由题意知ABC为等腰直角三角形，因为M为AC的中点，所以BMAC又SA 平面ABC，所以SABM，所以BM 平面SAC，所以BMMN，故BMN的面积12SBMMN由题意知2 2AC ，所以122BMAC，所以22SMN，当MN最小时，BMN的面积最小，此时MNSC当MNSC时，过S作SESC，交CA的延长线于点E，则/ /SEMN，连接 BE ，则BSE为异面直线SB与MN所成的角或其补角因为SA 平面ABC，所以SBA为直线SB与平面ABC所成的角，所以45SBA，所以2SAAB，所以2 2SB ，2 3SC 又tanSASESCAACSC，所以6SE ，所以2AE ，2 2ME ，在Rt EMB中，由题意知10BE ，所以由余弦定理得：22286103cos2622 26SBSEBEBSESBSE，故当BMN的面积最小时，异面直线SB与MN所成角的余弦值为36故选： D 8解：不妨设正四面体ABCD的棱长为 2，(02)BPxx ，过C作/ /CHMP，连接HN，可得HCN（或补角）为异面直线MP，CN所成角由 PM 为BCH的中位线，可得2212212 1212CHMPxxxx ，3232CN ，2211(22 )2 1 (22 )4632HNxxxx ，所以22224443(463)2cos22132 31xxxxxHCNxxxx ，令2(24)xtt ，则2xt ，所以22117cos315332 3572 37()2 3142828tHCNttt，当145t 即45x 时，cosHCN取得最大值73故选： D 9解 ： 对于A，因为1/ /BC平面AD，所以1BC上任意一点到平面1ADC的距离相等，所以体积不变，故选项A正确；对于B，点P在直线1BC上运动时，直线 AB 与平面1AC所成的角和直线1AC与平面1AC所成的角不相等，故选项B错误；对于C，因为1AD 平面11ABC D,所以点P在直线1BC上运动时，直线 AP 与直线1AD所成的角的大小不变，故选项C正确；对于 D ， 当点P在直线1BC上运动时， AP 的轨迹是平面1PAD,即二面角1PADC的大小不受影响，故选项 D 正确故选：ACD10解：当2NDCN时，如图，作/ /NFBC交 BD于点 F ，所以直线MN与直线BC所成的角即为直线MN与直线NF所成的角，即MNF，从图中可以看出，随着x的增大，MNF逐渐增大，所以随着x的增大而增大，故选项A正确，选项B错误；当2CNND时，如图，作/ /NEBC交 BD于点E，11解：过点P作PB 于点B，连接B Q，如图所示：则4QPB ，故22 2cos4PQ，故A正确；B不正确；设B Q的中点为N，易得BBBQ ，且2B Q，则有1BN ，设 AB 的中点为O，连接O，M，N，B，易得四边形OMNB为平行四边形，故1OMBN，12MNPB，即点M到平面的距离为定值，可得点M的轨迹为圆，故C正确；当点Q与B点重合时，三棱锥体ABPQ转换为三角形，其体积为 0，而当点Q与点B不重合时，且点P与点A不重合时，其体积显然不为 0，故 D 错误，故选：AC12解：对于A，D APQP ADQVV，ADQ面积不定，而P到平面ADQ的距离为定值 AB ，D APQV不是定值，故A错误；对于B，由于/ /PQ平面1111ABC D，则经过直线PQ的平面APQ与1111ABC D的所有交线均与PQ平行，根据平行的传递性，可得所有的交线也平行，故B正确；对于C，设正方体棱长为 1，(0,1)PBDQa，则21APAQa，2PQ ，则22222211211cos1(0, )2(1)112aaaPAQaaa ，(,)3 2PAQ ，故C错误；对于 D ，由题意得直线PQ与平面11AC CA垂直，对于任意位置的点P，均有平面APQ 平面11AC CA，故 D 正确故选： BD13解：设AGx，DEy，因为E为CD上的动点，平面 PAB 平面ABC，因为PGAB，PG 平面 PAB ， AB 为平面 PAB 与平面ABCE的交线，所以PG 平面ABCD，所以PGAG，在PAG中，3PA ，AGx，所以22229PGPAAGx，因为229()EGyx，PEy，PGE中，222229()PGPEEGyyx，联立可得22299()xyyx，即9xy，因为34y ，所以934x 故AG的范围是94，3)故答案为：94，3)14解：对于，当在点时，异面直线与所成的角最大为，当在点时，异面直线与所成的角最小为，异面直线与所成的角的范围为，故错误；对于，因为平面，所以平面平面，故正确；对于，平面，所以点到平面的距离为定值，且等于的，即，故正确；对于，直线与平面所成的角为，当时，最小，最大，最大值为，故不正确，故答案为：15解：取的中点，的中点，连接，则，平面平面，到平面的距离等于到平面的距离，PC1DDACAC1DD2P1B1AB1DD14D DCAP1DD,4 2 1BD 11AC D1PBD 11AC D1/ /BC11AC DP11AC D1BD132 33AP11BCC BAPBtanABAPBBP1BPBCBPtanAPB2tan311BCE1BBF1AE1AFEFFM1/ /AEAM/ /EFMN1/ /AEFAMN1AAMNFAMN正方体棱长为 2，设到平面的距离为，则，又，即到平面的距离为平面，的轨迹为线段，当时，取得最小值，当与（或重合时，取得最大值故答案为：，16解：连结交于点，因为，分别是棱，的中点，则，由和为底面正方形的两条对角线，故，所以，又侧棱底面，且底面，故，5AM2MN 3AN 5922cos2535MAN1sin5MAN11353225AMNS FAMNh13322FAMNhVh1122 1 2323FAMNA MNFVV 223h43h 1AAMN431/ /APAMNPEF115AEAF2EF 1APEF1AP223 25()22PE)F1AP513 252AP433 22511D BEFGEF11AD11C D11/ /EFAC11AC11D B1111D BAC11EFD B1BB 1111ABC DEF 1111ABC D1EFBB又和为平面内两条相交的直线，所以平面，故，若点不在处，则，故点在处时，最小，连结，取的中点，因为，所以，所以，故，三点共线时等号成立） ，所以，三点共线时，最小，此时，因为，所以，则，所以，所以，又，所以，设最小时直线与直线所成的角为，1BB11D B11BB D DEF 11BB D DEFPGMG22PMPGGMPGMGPMBDBDRBMBRBPBPPBNPBR RBPNBP RPNP(NPPMRPPMRM RPMRPMPNPM1221BRMD11/ /BDB D112BPBRPDMD111333PDBD1234PMRM123PNPBBND BBN 11111121()()32D AABB BBCBB 11111121636A AABAD222111111111|()6362PNPNA AABAD111113142MNMBB ND BBC 111111131()()42ABADADA A11111131442ADABA A 22111111317|()4428MNMNADABA A PMPNPMPN所以，所以最小时直线与直线所成角的余弦值为故答案为： 2222217()1428cos| |2222242PMPNMNPM PNPMPNPMPN1212