6.4.3正弦定理ppt课件-新人教A版（2019）高中数学必修第二册高一下学期.pptx

1、余弦定理及其推论：余弦定理及其推论：利用余弦定理可以解决的问题：利用余弦定理可以解决的问题：1 1、已知两边和夹角求第三边。、已知两边和夹角求第三边。2 2、已知三边求三角。、已知三边求三角。c2=a2+b2 - 2abcosCa2=b2+c2 - 2bccosAb2=c2+a2 - 2cacosBabcbaCcabacBbcacbA2cos2cos2cos222222222复习：复习：我们知道我们知道: : 三角形中三角形中: : 大角对大边大角对大边, , 大边对大角大边对大角. .那么三角形中那么三角形中,一个角与它的对边一个角与它的对边长度是否存在更精确的长度是否存在更精确的定量定量关

2、系关系?课题引入:AcbaCBCBAabc先考察先考察RtABC此结论在斜三角形此结论在斜三角形ABC中也成立吗中也成立吗?思考：那么对于一般的三角形思考：那么对于一般的三角形,以上关系式以上关系式是否仍然成立？是否仍然成立？可分为可分为锐角三角形，锐角三角形，钝角三角形钝角三角形两种情况分析两种情况分析.sinsinsinabcABC思考：向量的数量积运算中出现了角的余弦，思考：向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？而我们需要的是角的正弦，如何实现转化？证明：证明： 过过A作单位向量作单位向量j 垂直于垂直于AC，AC CB AB 由，909090| |co

3、s| |cos() | |cos().jACj CBCjABA asinC=c sinA.sinsinacAC同理，过点C作与 垂直的单位向量 ，可得CB j.sinsincbCB.sinsinsinabcABC BCAj则j ACj CBj AB ，jACCBj AB 两边同乘以单位两边同乘以单位向量向量 得jOABCb正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即的比相等，即CcBbAasinsinsin asinAbsinBcsinC2R.=2RbsinBOABCbObABCBB正弦定理正弦定理的变式：的变式：CRcBRbARasi

4、n2,sin2,sin2)1( CBAcbasin:sin:sin:)2( sinsinsin(3),.sinsinsinaAaAbBbBcCcC2sinsinsinabcRABC 例例1 在在 中，已知中，已知 , 求求b. 10,45 ,30cACABC 解：解： 且且CcBbsinsin 105)(180CABsin10 sin105sinsin30cBbC正弦定理的应用正弦定理的应用5( 62)题型一题型一(ASA, AAS): 已知两角和任意一边已知两角和任意一边, 解三角形解三角形, 解唯一解唯一.ACBcb?-已知元素为已知元素为一对半一对半. .题型二题型二(SSA):已知两边

5、和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,解三角形解三角形解解:(1)由正弦定理由正弦定理:sin3sin2bABa60,或或B120当当 时时,=60=60C=90.32cC=30sin16 .sinaCcA例例2.(1) 已知已知a=16，b= ，A=30 .解三角形解三角形.16 3当当=120=120时时, ,B16300ABC16316注意注意: :已知已知SSA, 解三角形解三角形, 有一解有一解, 两解两解, 或无解或无解3种情况种情况.(2) 已知已知a=16，b= ，A=60 .解三角形解三角形.16 63baBA解解:(2)sin2sin2bABabaBA B为锐角为锐角4

6、5B总结总结: (1) 所求角为所求角为小边对角，必为一解小边对角，必为一解(1)当当b a时，时，探究探究: 已知已知a，b，A，求，求B时解的个数情况时解的个数情况.求求B只有一解只有一解.sinsin(0,1)bABa(2)当当b a时，时，若若A 90，求，求B无解；无解；若若A 90，sinsinbABasin1,sin1,sin1,BBB一解;无解;两解.(2) 所求角为所求角为大边对角，已知角必须锐大边对角，已知角必须锐角，角，解的个数算了再说解的个数算了再说. .用正弦定理判定用正弦定理判定(SSA) 解的个数解的个数: 先求另一对角先求另一对角正弦值是否在正弦值是否在(0,

7、1)内内, 再看它是大角还是小角再看它是大角还是小角.注意注意: :已知已知SSA, 可用正弦定理求对角可用正弦定理求对角, 也可用余弦定理求第三边也可用余弦定理求第三边.思考：思考：前面已用正弦定理解决前面已用正弦定理解决, 还有别的方法吗？还有别的方法吗？222(1)2cosabcbcA225676848cc2485120cc(32)(16)0cc3216cc 或222(2)2cosabcbcA216 3256033cc8 38 153c舍去舍去负根负根例例2.(1) 已知已知a=16，b= ，A=30 .解三角形解三角形.16 3(2) 已知已知a=16，b= ，A=60 .解三角形解三

8、角形.16 63三角形有两解三角形有两解.8 38 153c三角形有一解三角形有一解. 正弦定理：正弦定理： 利用正弦定理可以解决的问题：利用正弦定理可以解决的问题：2sinsinsinabcRABC1、已知三角形的任意、已知三角形的任意两角与一边两角与一边，解三角形。，解三角形。2、已知三角形的、已知三角形的两边与其中一边的对角两边与其中一边的对角，解三角形。，解三角形。小结小结正弦定理正弦定理 变式：变式：CRcBRbARasin2,sin2,sin2) 1 ( (3) : :sin:sin:sina b cABC(2)sin,sin,sin222abcABCRRR3、判定三角形、判定三角

9、形(SSA)解的个数：解的个数：正弦定理正弦定理: 先求另一对角正弦值是否在先求另一对角正弦值是否在(0, 1)内内, 再看它是大角还是小角再看它是大角还是小角.余弦定理余弦定理: 看第三边的方程的正根个数看第三边的方程的正根个数.11. 在在ABC中，已知中，已知 A=750 ，B= 450 ，c= ，求，求a ， b3233ba练习练习:42675sin2.根据下列条件根据下列条件, 判断三角形解的个数判断三角形解的个数 (1)b=13，a=26，A=30.练习练习: :(2)b=26，a=13，A=30.所求所求B为锐角为锐角, 一解一解所求所求B为大边对角为大边对角, (3)b=20，

10、a=13，A=30.二解二解(4)b=30，a=13，A=30.无解无解(5)b=10，a=13，A=120. 钝角对边为大边钝角对边为大边, 一解一解(6)b=20，a=13，A=120. 钝角对边为小边钝角对边为小边, 无解无解一解一解所求所求B为大边对角为大边对角, 所求所求B为大边对角为大边对角, 900 A90AabsinAa=bsinA bsinAab无无解解一一解解两两解解一解一解无解无解 一解一解AC条件条件图形图形解的解的个数个数总结总结:ACBBCAACDB2B1CADABCD.A,b,a,ABC时时解解三三角角形形的的各各种种情情况况已已知知中中在在 ABbC.bsinA步骤步骤: 1.作出角作出角A2.描出第三顶点描出第三顶点C3.作出并求出点作出并求出点C上高上高bsinA4.以以C为圆心为圆心, A对边为半径作对边为半径作弧弧,分析与分析与C的对边交点个数的对边交点个数.a=bsinA 或或ab.