新人教A版（2019）高中数学必修第二册高一下学期期末综合训练五.rar

2020-2021 学年度第二学期学年度第二学期高一数学 期末综合训练五高一数学 期末综合训练五第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分）一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 下面四个说法中，正确说法的个数为（ ）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；（2）两条直线可以确定一个平面；（3）若M，M，l，则Ml；（4）空间中，两两相交的三条直线在同一平面内.A. 1B. 2C. 3D. 42. 若单位向量a，b的夹角为3，则ab=（ ）A. 2B. 12C. 32D. 13.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是16，记事件 A 为 “向上的点数是奇数” ， 事件 B 为 “向上的点数不超过 3” ， 则概率()P AB( )A.13B.23C.12D.564. 棱长为 3 的正方体的 8 个顶点均在同一个球面上，则此球的体积为（ ）A. 27B. 4 3C. 27 3D. 27325.如图正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A.8 cm B.6 cm C.2 1+ 3 cm D.2 12 cm6.已知向量2 5a ，(2,1)b，且ab，则a的坐标可以为（ ）A. (4,2)B. (2, 4)C. (2,4)D. ( 2, 4)7. 在长方体1111ABCDABC D中，3ABBC，12AA ，则异面直线1AC与1BB所成的角为( )A.30B.45C.60D.908.某校有住宿的男生 400 人，住宿的女生 600 人，为了解住宿生每天运动时间，通过分层随机抽样的方法抽到 100 名学生，其中男生、女生每天运动时间的平均值分别为 100 分钟、80 分钟.结合此数据，请你估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为（ ）A. 98 分钟B. 90 分钟C. 88 分钟D. 85 分钟9.如图，在正方体1111ABCDABC D中，O 是底面ABCD的中心，则直线1OC与平面11BCC B所成角的正切值为( )A55B12C5D210 在ABC中,5,ACAD E是直线BD上一点,且2BEBD 若AEmABnAC ,则mn( )A.25B.25 C.35D.35第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 80 分）分）二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分11. 12ii_.12.已知向量2,0a ，1, 3b ，则其夹角, a b _.13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_.14. 已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为260 cm，则此圆锥的体积为 3cm.15. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若222ab，sin3sinCB，则cos A_.三、解答题共三、解答题共 5 小题，共小题，共 60 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.设复数222 76zaaaai,其中aR,当a取何值时,（1）zR?（2）z是纯虚数?（3）z是零?17.在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c.已知2 2,5,13abc.（1）求角C的大小；（2）求sin A的值；（3）求sin 24A的值.18.为了了解我市参加 2018 年全国高中数学联赛的学生考试结果情况，从中选取60 名同学将其成绩（百分制，均为正数）分成40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100六组后， 得到部分频率分布直方图（如图） ，观察图形，回答下列问题：（1）求分数在70,80内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、均值； （3）根据评奖规则，排名靠前 10%的同学可以获奖，请你估计获奖的同学至少需要所少分？19.2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除某单位老、中、青员工分别有 72,108,120 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 25 人调查专项附加扣除的享受情况（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（2）抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为, , , ,A B C D E F享受情况如下表，其中“”表示享受，“”表示不享受现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访项目员工ABCDEF子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人（）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（） 设 M 为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M 发生的概率20. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面PAD 底面ABCD，E 为侧棱 PD 上一点（）求证：/ /CD平面 ABE；（II）求证：CDAE；（III）若 E 为 PD 中点，平面 ABE 与侧棱 PC 交于点 F，且2PAPDAD，求四棱锥 P-ABFE 的体积 2020-2021 学年度第二学期学年度第二学期高一数学 期末综合训练五高一数学 期末综合训练五第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分）一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1. 下面四个说法中，正确说法的个数为（ ）（1）如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；（2）两条直线可以确定一个平面；（3）若M，M，l，则Ml；（4）空间中，两两相交的三条直线在同一平面内.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【分析】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，即可判断 ； 利用两条异面直线不能确定一个平面即可判断；利用平面的基本性质中的公理3判断即可；若两两相交的三条直线相交于同一点，则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的 3 条侧棱） ，即可判断.【解析】如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合或者是相交，故（1）不正确；两条异面直线不能确定一个平面，故（2）不正确；利用平面的基本性质中的公理3判断（3）正确；空间中， 若两两相交的三条直线相交于同一点， 则相交于同一点的三直线不一定在同一平面内（如棱锥的 3 条侧棱） ，故（4）不正确，综上所述只有一个说法是正确的，故选：A【点睛】本题主要考查了空间中点，线，面的位置关系.属于较易题.2. 若单位向量a，b的夹角为3，则ab=（ ）A. 2B. 12C. 32D. 1【答案】B【分析】直接利用向量的数量积求解即可.【解析】解：单位向量a，b的夹角为3， 1coscos332a ba b .故选：B.3.抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是16，记事件 A 为“向上的点数是奇数”，事件 B 为“向上的点数不超过 3”，则概率()P AB( )A.13B.23C.12D.56【答案】B【解析】抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是16，所以31( )62P A ，31( )62P B ，21()63P AB ，所以1112()( )( )()2233P ABP AP BP AB，故选 B.4. 棱长为 3 的正方体的 8 个顶点均在同一个球面上，则此球的体积为（ ）A. 27B. 4 3C. 27 3D. 2732【答案】D【分析】先求得正方体的对角线长为3 3l ， 根据球的直径等于长方体的对角线长， 求得球的半径，结合体积公式，即可求解.【解析】由题意，棱长为 3 的正方体的对角线长为2223333 3l ，设外接球的半径为R，根据组合体的性质，可得23 3R ，即3 32R ，所以球的体积为33443 327()33322VR.故选：D.【点睛】 本题主要考查球的体积的计算， 以及组合体的性质， 其中解答中熟记组合体的性质，求得球的半径是解答的关键，着重考查推理与运算能力.5.如图正方形OABC的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是()A.8 cm B.6 cm C.2 1+ 3 cm D.2 12 cm【答案】A【解析】由直观图得，原图形是如图所示的平行四边形 OABC，其中 AOOB，可得OA 1 ，22 2O BOB ， 故222 213A B ， 原 图 形 的 周 长 为 ：2318.6.已知向量2 5a ，(2,1)b，且ab，则a的坐标可以为（ ）A. (4,2)B. (2, 4)C. (2,4)D. ( 2, 4)【答案】B【分析】设a的坐标，然后根据ab以及2 5a ，简单计算，可得结果.【解析】设,ax yr由(2,1)b，且ab，所以20 xy又2 5a ，所以222 5xy由可知：24xy 或24xy 故向量2, 4a r或2,4a 故选：B【点睛】本题考查向量的坐标运算，重在计算，属基础题.7. 在长方体1111ABCDABC D中，3ABBC，12AA ， 则异面直线1AC与1BB所成的角为( )A.30B.45C.60D.90【答案】C【解析】如图，连接11AC，因为11/BBAA，所以11A AC为异面直线1AC与1BB所成的角.因为2211111( 3)( 3)tan32ACA ACAA，所以1160A AC，故选 C.【点睛】本题考查圆柱的侧面积和体积的求解，属基础题.8.某校有住宿的男生 400 人，住宿的女生 600 人，为了解住宿生每天运动时间，通过分层随机抽样的方法抽到 100 名学生，其中男生、女生每天运动时间的平均值分别为 100 分钟、80分钟.结合此数据，请你估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为（ ）A. 98 分钟B. 90 分钟C. 88 分钟D. 85 分钟【答案】C【分析】由分层抽样的性质可得抽取的男女生人数,进而可得样本中学生每天运动时间的平均值,即可得解.【 解 析 】 由 分 层 抽 样 的 性 质 可 得 抽 取 男 生40010040400600人 ， 女 生60010060400600人，则样本中学生每天运动时间的平均值40 10060 8088100 x（分钟） ，故可估计该校全体住宿学生每天运动时间的平均值为 88 分钟.故选：C.【点睛】本题考查了分层抽样的应用，考查了总体平均数的估计，属于基础题.9.如图，在正方体1111ABCDABC D中，O 是底面ABCD的中心，则直线1OC与平面11BCC B所成角的正切值为( )A55B12C5D2【答案】A10 在ABC中,5,ACAD E是直线 BD上一点,且2BEBD 若AEmABnAC ,则mn( )A.25B.25 C.35D.35【答案】D【解析】2322(),55AEABBEABBDABADABABACmn .第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 80 分）分）二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 20 分分11. 12ii_.【答案】1355i【分析】首先根据题意得到121222iiiiii，再化简求值即可.【解析】21212213222555iiiiiiiiii .故答案为：1355i12.已知向量2,0a ，1, 3b ，则其夹角, a b _.【答案】23【分析】直接利用向量的夹角公式求解即可.【解析】因为向量2,0a ，1, 3b ，所以21032a b ；所以21cos,2 22a ba bab ，因为20,3,a ba b .故答案为：23.13.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_.【答案】16；23【解析】依题意得，甲、乙两球都落入盒子的概率为111236，甲、乙两球都不落入盒子的概率为11111233，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为12133.14. 已知圆锥的母线长为10cm，侧面积为260 cm，则此圆锥的体积为 3cm.【答案】96【分析】设圆锥的底面半径为r，根据题意计算出r的值，并计算出圆锥的高，再利用锥体的体积公式可得出所求圆锥的体积.【解析】设圆锥的底面半径为r，母线长为10l ，侧面积为1060lrr，得6r ，圆锥的高为22221068hlr，因此圆锥的体积为2211689633r h ，故答案为96.【点睛】本题考查圆锥体积的计算，解题的关键就是求出圆锥的母线长与半径长，考查运算能力，属于基础题.15. 在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若222ab，sin3sinCB，则cos A_.【答案】33【分析】由sin3sinCB， 根 据 正 弦 定 理 “ 边 化 角 ” ， 可 得3cb， 根 据 余 弦 定 理2222cosabcbcA，结合已知联立方程组，即可求得角cos A.【解析】sin3sinCB，根据正弦定理：sinsinbcBC， 3cb，根据余弦定理：2222cosabcbcA，又222ab，故可联立方程：2222232cos2cbabcbcAab，解得：3cos3A .故答案为：33.【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角，解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.三、解答题共三、解答题共 5 小题，共小题，共 60 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程16.设复数222 76zaaaai,其中aR,当a取何值时,（1）zR?（2）z是纯虚数?（3）z是零?【答案】 （1）1a 或6a （2）2a （3）1a 【解析】 （1） zR,只需2760aa,1a 或6a .（2） z是纯虚数,只需2220,760,aaaa2a .（3）0z ,2220,760,aaaa1a .17.在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c.已知2 2,5,13abc.（1）求角C的大小；（2）求sin A的值；（3）求sin 24A的值.【答案】 （1）4C （2）2 13sin13A （3）17 2sin 2426A【解析】 （1）解：在ABC中，由余弦定理及2 2,5,13abc，有2222cos22abcCab.又因为(0,)C，所以4C .（2）解：在ABC中，由正弦定理及,2 2,134Cac，可得sin2 13sin13aCAc.（3）解：由ac及2 13sin13A ，可得23 13cos1sin13AA，进而2125sin22sincos,cos22cos11313AAAAA .所以，1225217 2sin 2sin2 coscos2 sin44413213226AAA.18.为了了解我市参加 2018 年全国高中数学联赛的学生考试结果情况，从中选取 60 名同学将其成绩（百分制，均为正数）分成40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100六组后，得到部分频率分布直方图（如图） ，观察图形，回答下列问题：（1）求分数在70,80内的频率，并补全这个频率分布直方图；（2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、均值； （3） 根据评奖规则， 排名靠前 10%的同学可以获奖， 请你估计获奖的同学至少需要所少分？【答案】 （1）详见解析（2）众数为：75 和 85，均值为：70.5（3）88 分【分析】由频率分布直方图即可计算出分数在70,80内的频率由频率分布直方图得到本次考试成绩的众数，然后计算平均值结合题意计算出排名靠前 10%的分数【解析】（1）设分数在70,80内的频率为x，根据频率分布直方图，则有0.01 0.0150.020.0250.005101x，可得0.25x ，分数在70,80内的频率为 0.25.所以频率分布直方图为：（2）由图知，众数为：75 和 85均值为：45 0.1055 0.1565 0.275 0.2585 0.2595 0.0570.5.（3）因为分数在80.90内的频率为 0.25，90,100内的频率为 0.05，而0.0510%0.250.05所以得分前 10%的分界点应在 80 至 90 之间.设所求的分界点为90 x， 则0.0250.005 1010%x，解得2x .所以得分前 10%的分界点为 88，即获奖的同学至少需要 88 分.【点睛】 本题考查了频率分布直方图的实际运用， 在解题过程中一定要会分析频率分布直方图，并能正确计算出结果，较为基础19.2019 年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除某单位老、中、青员工分别有72,108,120 人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取 25 人调查专项附加扣除的享受情况（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（2）抽取的 25 人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有 6 人，分别记为, , , ,A B C D E F享受情况如下表，其中“”表示享受，“”表示不享受现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访项目员工ABCDEF子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人（）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（） 设 M 为事件“抽取的 2 人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件 M 发生的概率【答案】 （1）老、中、青员中分别抽取 6 人，9 人，10 人（2） （）见解析（）1115P M 【解析】 （1）由已知，老、中、青员工人数之比为 6:9:10，由于采用分层抽样的方法从中抽取 25 位员工，因此应从老、中、青员中分别抽取 6 人，9 人，10 人（2）（）从已知的 6 人中随机抽取 2 人的所有可能结果为： ,A BA CA DA EA FB CB DB E, ,B FC DC EC FD ED FE F共 15 种（）由表格知，符合题意的所有可能结果为 ,A BA DA EA FB DB EB FC EC FD FE F，共 11 种所以，事件 M 发生的概率1115P M 20. 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面PAD 底面 ABCD，E 为侧棱 PD 上一点（）求证：/ /CD平面 ABE；（II）求证：CDAE；（III）若 E 为 PD 中点，平面 ABE 与侧棱 PC 交于点 F，且2PAPDAD，求四棱锥P-ABFE 的体积【答案】 （）证明见解析； （II）证明见解析； （III）32【分析】（）根据线面平行的判定定理证明；（II）由面面垂直的性质定理证明CD 平面PAD，然后可得线线垂直；（III）证明AE就是四棱锥PABFE的高，然后求得底面积，得体积【解析】 （）证明：因为/ /CDAB，AB平面 ABE ，CD 平面 ABE ，所以/ /CD平面 ABE ；（II）证明：因为侧面PAD 底面 ABCD，CDAD，平面PAD平面 ABCDAD，CD 平面ABCD，所以CD 平面PAD，又AE 平面PAD，所以CDAE；（III）因为/ /CD平面 ABE ，CD 平面PCD，平面PCD平面ABEEF，所以/ /CDEF，所以/ /ABEF，CDAE，则EFAE所以ABFE是直角梯形，又E是PD中点，所以112EFCD，3232AE ，所以13 3(2 1)322ABFES，由（II）CD 平面PAD，PE 平面PAD，所以CDPE，从而EFPE，正三角形PAD中，E是PD中点，ADPE，AEFE，,AE EF 平面ABFE，所以PE 平面ABFE，112PEPD，所以113 3313322P ABFEABFEVSPE 【点睛】本题考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理与性质定理，考查求棱锥的体积旨在考查学生的空间梘能力，逻辑推理能力属于中档题