6.3.5平面向量数量积的坐标表示 教学设计-新人教A版（2019）高中数学必修第二册高一下学期.docx

1、6.3.5平面向量数量积的坐标表示(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第六章)一、教学目标1.经历两个向量数量积坐标表示的推导过程，并能运用数量积的坐标表示进行运算2.会利用向量的坐标计算向量的模3.能利用两个向量的坐标求向量的夹角二、教学重难点1.平面向量数量积的坐标表示2.向量的模和夹角的坐标表示三、教学过程（一）问题引入、知识回顾【问题引入】问题1：设a=(1,-3)，b=(5,5)，求a+b及3a的坐标【预设答案】通过之前学习的向量加减法的坐标表示和向量数乘的坐标表示，可以得到答案a+b=(6,2) 3a=(3,-9)问题2：改变问题 设a=(1,-3)，b=(5,5)，求ab.根据

2、向量数量积的知识ab=abcos可以想到要求a、b和cos那么这三个量又如何用向量的坐标来表示，这就是本节课要学习的内容。【设计意图】通过已知的内容进行推广提出问题，引入本节课的知识内容。【知识回顾2】教师通过填空的形式带领学生回顾向量数量积运算的一些知识（1）ab=abcos （2）cos=abab（3）aa=a2或a=aa （4）abab=0【设计意图】复习有关向量的内容，为后面的向量数量积坐标表示推导做铺垫，也利于得到向量夹角和向量模长的有关内容。（二）探索新知1、平面向量数量积的坐标表示【提出问题】已知a=（x1,y1）， b=（x2,y2），怎样用a与b的坐标表示ab呢？先引领学生对

3、前面向量加减法和数乘运算的坐标表示的推导方法进行回顾，思考能否类比用同样的方法解决不同的问题，想到用平面向量基本定理。根据之前所学习的平面向量基本定理可知a=x1i+y1j，b=x2i+y2j（i和j是两个分别与x轴、y轴方向相同的单位向量）ab=(x1i+y1j)(x2i+y2j) =x1x2i2+x1y2ij+x2y1ji+y1y2j2i2=i2=1，j2=j2=1，ij= ji=0ab=x1x2+y1y2这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。【设计意图】要强调是通过类比的思想想到用平面向量基本定理解决问题，突出不同的问题同一个解决方法的思想。2、向量的模和夹角的坐标表示【

4、提出问题】通过平面向量坐标表示的公式，我们还能够得到什么其他的信息？【预设答案】结合之前回顾的内容，还可以得到cos和a的坐标公式，以及ab的充要条件： a=aa=x12+y12cos=abab=x1x2+y1y2x12+y12x22+y22.abab=0x1x2+y1y2=0.（三）巩固练习例1：设a=-1,3，b=(5,5),求ab及a，b的夹角的余弦值【预设答案】ab=x1x2+y1y2=-10.cos=abab=-101050=-55.例2：用向量方法证明两角差的余弦公式cos(-)=coscos+sinsin【预设答案】假设A、B两点是角终边和角终边与单位圆的交点，所以根据三角函数的定义可得OA=(cos,sin) OB=(cos,sin)取向量数量积的坐标表示，有 OAOB=coscos+sinsin设OA与OB的夹角为，则 OAOB=OAOBcos=cos上面的两个式子里都存在OAOB，所以联系在一起有： cos=coscos+sinsin从图中我们可以观察到角和角具有两种位置关系，对应的 =2k+或=2k+-，kZ -=2k cos(-)=cos所以以cos为桥梁能够得到 cos(-)=coscos+sinsin【设计意图】用向量法重新证明之前学习过的三角函数中的定理，体现了向量应用的广泛性，也体现了数学中一题多解的奇妙，更能让学生体会到数学的乐趣。